圆锥曲线解答题的“破与立”

薛德印

摘要：著名数学家华罗庚先生说：“读一本书要越读越薄。”想必学习数学也是这样的。对于圆锥曲线的知识量大，题型多，技巧多的特点，笔者从多年一线的教学实践中，去繁从简，总结归纳了一套易操作，实践性强，得分率高的解题策略，希望能够给学生学习圆锥曲线有一定的启发和帮助。

关键词：圆锥曲线;解答题;教学策略

一、分析原因

圆锥曲线是高中数学中的重要模块，但是对高中生来讲，圆锥曲线是一个难点，很多學生始终无法正确求解，特别是圆锥曲线的解答题，得分率很低。而对教师来讲，圆锥曲线还是很好解的。之间的障碍在哪里呢？如何破与立，引起了笔者的深思。

圆锥曲线解答题的特点：1.知识面广;2.题型多;3.运算量大

笔者认为学生得分低的原因是：

①没有掌握好解析几何的基础知识

②没有解题思路

③运算能力差

二、教学策略

针对（1）教学策略：复习解析几何知识点，并记住一些常见的二级结论（比如双曲线中焦点渐近线的距离为b等），让学生尽量理解和记住这些公式。

针对（2）的教学策略：归纳一些常见解题思路，让其先模仿。

解题思路归纳：

1.看到一个点，要写点的坐标

2.看到一个点，和有关直线，要写直线方程

3.看到直线与曲线相交与两点，要联立方程组，写出韦达定理，判别式

4.看到其他要求，要优先想几何关系，再想代数关系

针对（3）的教学策略：演绎运算，抛砖引玉。要突破，必须不怕运算。

教师板演几次运算，展示如何优化运算，接着让学生反复演练。

三、教学实践

在实际解题过程中，最重要的是解题思路，下面本文就解题思路的教学策略进行详细实践举例：

1.如何选择合适的直线（或者点）

在解题过程中，设出合理的直线方程是重要的一环。万事开头难，如果能设出合适的直线方程，可以大大减少运算，达到事半功倍的效果。常见的设置直线方程情况如下：

（1）当过（0，b）或斜率显然存在时，令直线方程为y=kx+b

（2）当过（a，0）或斜率可能会不存在时，令直线方程为x=my+a

（3）出现多条直线时，要选择一条当主直线，用主直线中的变量去计算

（4）有时会设点的坐标为变量代入，解题

例1.（2017.4浙江学考）已知抛物线C：y2=2px过点A（1，1）

①求抛物线C的方程

②过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的

点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，

求证：k1k2为定值

解：①略 ②令M（x1，y1），N（x2，y2），MN：x= m（y+1）+3代入y2=x得y2-my-m-3=0

由韦达定理得：

k1k2==-2为定值

2.优先考虑几何关系

在解题过程中，优先想有没有几何关系可以利用，因为有几何关系的解答题运算量会小很多。

例2.（ 2019.1浙南名校）

已知直线与椭圆

恰有一个公共点P，L与圆x2+y2=a2相交于A，B两点.

（I）求k与m的关系式;

（II）点与点关于坐标原点对称。

若当时，的面积取到最大值a2，求椭圆的离心率.

解：

（I）由，得（a2k2+b2）x2 +2a2kmx+a2（m2-b2）=0，

则，化简得m2 =a2k2+b2;

（Ⅱ）

法1：

令坐标，则Q令AB方程

O到AB的距离，，

∵P点坐标满足，

∴Q到AB的距离

∴（当 时取等号）

∴

法2：

因点与点关于原点对称，故=2

所以当时，取到最大值，此时，

从而原点到直线的距离，

又，故.

再由（I），得，则.

又，故，即，

从而，即.

四、教学效果反馈

在平时教学过程中，笔者尝试用上面的解题策略引导学生思考，取得了一定的成效。比如学生所参加的温州二模考试，也有多个同学第一小题取得满分，该题的平均分接近市平均分。

（2019.2温州二模） 如图，A为椭圆的下顶点，过A的直线交抛物线于B，C两点，C是AB的中点。

求证：点C的纵坐标是定值;

解：

方法1：，设，则

代入抛物线方程得：

得：

为定值

方法2：设AB方程：

令C坐标，B坐标

代入得：

则又

得

为定值

方法3：设AB方程：

令C坐标，B坐标

代入得：

则

因为C为AB中点，，化简得

所以C纵坐标或-1（舍去），为定值。

结语

其实圆锥曲线并不可怕，只要你掌握一些套路，积累一定的解题经验，归纳解题方法，多去算一算，圆锥曲线的问题就能够迎刃而解了。

参考文献

[1]2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

[2]2018学年第一学期浙南名校联盟期末考试（高三数学试题）

[3]2019年2月份温州市普通高中高考适应性测试（数学试题）