整合科研与教学过程中数学史的趣味性应用——函数极值

李静

摘要：将数学史有机融入科研与教学中可以激发学生学习兴趣、培养其创造能力、启发其人格成长、预见其认知发展、指导并丰富教师的课堂教学等。

关键词：数学史趣味性函数极值

当前在高等数学教学中融合科研已经越来越普遍，在整合科研与教学中添加数学史会使得枯燥的学习变得更加具有趣味性。数学史在数学教育中不仅可以活跃课堂氛围提高学习兴趣，还可以增加学生的审美能力以及培养创造能力。但在我国数学教学中尚未得到重视及普及，究其原因主要是因为首先数学史有关书籍较少， 渗透数学史教育的相关文献则更少;其次，教材中数学文化知识较少， 数学史知识则更少。怎样将数学史融入科研与教学过程中去，有助于学生体验数学学习的快乐， 欣赏数学之美以及灵活运用数学思想解决实际问题。数学史与高等数学教学内容相结合的方式可为（1）古今方法比较[1];（2）某类数学问题的比较[2];（3）数学名题的应用[3];（4）欣赏数学之美[4]。

在高等数学教材中函数的极值是这样定义的：假设在点的某邻域内有定义，对于去心邻域内任一有， 则称是函数的一个极大值（极小值）。极值概念是局部性的，判断方法之一为必要条件：设函数在点可导却在该处取得极值，则， 该必要条件即为费马引理，联系费马引理可以适当引入皮埃尔·德·费马（法国著名的“业余数学小王子”）的人物简介或者趣闻帮助学生理解和建立联系.与此同时，费马对于极值的研究可以延伸到科研中， 古典变分法的核心内容是确定泛函的极值和极值点，在有限维空间中，如果泛函弱下半连续且强制，则该泛函必定取得极小值。变分理论的主要思想是通过广义解将微分方程的求解和泛函极值问题的求解联系起来，通过寻找适当泛函的临界点求微分方程的解。经典牛顿力学认为空间和时间处处连续， 基本物理量比如速度、加速度和力等都可以用整数阶的微分算子来定义，因而物理和力学演化过程可都可以用整数阶的微分方程来精确刻画。但是，在1926年有学者指出湍流的速度场是不可微的， 同时有大量的实验表明， 许多粘弹性材料的应用松弛是非指数型的，有记忆性传统的粘弹性整数阶微分本构模型不能精确表述其力学行为。基于以上种种原因，人们波切期待着有一种可以用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶的微分方程用于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚以及描述准确等优势，因而成了复杂力学和物理过程数学建模的重要工具之一。

在科学技术进步中，要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性高、精水平发展，从而使得非线性分析的成果不断积累，逐渐促成了分析数学内新分支学科的诞生.无论如何，在无限維空间框架中，处理分析学的线性和非线性问题的方式有着无穷的潜力。近数十年的成就足以有理由要求人们接受非线性泛函分析这一重要的分支学科。 椭圆型微分方程的研究起源于18世纪Laplace等人的工作，既有着悠久的历史，又不断更新着其研究对象、内容和方法，能够直接联系着众多的自然现象和实际问题，不断提出和产生需要解决的新课题和新方法。自然科学中很多问题都可以用椭圆型方程来刻画。

比如我们研究一类拟线性拉普拉斯方程

考察方程所对应的能量泛函

需要指出需要注意的是在工作空间中无法定义，为了克服这一困难需引入变量替换其中为

通过变量替换后变为

在相应的条件下，利用极值的方法得出泛函即的临界点，从而得出这一类拉普拉斯方程多解的存在性。一个问题用多种方法来解决是要从给定的信息中，能够尽可能全面具体的从各个方面思考同一个问题，能够不受现有知识或结论的常规束缚，关于创新提出新的构思，达到思维跃进的创新局面。数学问题源于客观的世界，用数的形式和法则来描述和分析世界， 充分利用数学教学、数学科研相结合让学生在体验数学知识发现的过程来培养学生的独立思考能力。

古人云，学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。科学研究大都从问题开始。在实际的应用过程中，我们注重学生的自主探索，加强学生之间与学生教师之间的多向合作，鼓励学生独立创新思考以及注重理论联系实际，善于发现生活生产中的实际例子。

参考文献

[1]徐传胜，吕建荣.亚伯拉罕棣莫佛的概率思想与正态概率曲线.[J]西北大学学报（自然科学版），2006，36（2）：339-343.

[2]李文林.数学的进化-东西方数学史比较研究.[M]北京，科学出版社，2005.

[3]李文林.三位一体数学史.[J]中国科技史杂志，2007，28（4）：444-448.

[4]梁宗巨.世界数学通史.[M]大连，辽宁教育出版社，2005.