HPM视角下的“基本不等式”同课异构课例分析

赵丽红 汪晓勤

【摘 要】运用HPM课例分析框架，对HPM视角下“基本不等式”的两节课进行比较和分析。两节课都运用了丰富的数学史素材，这些素材符合科学性、可学性、趣味性和人文性等原则。在史料的运用上，其中一节课采用了附加式、复制式、顺应式和重构式，而另一节课只采用了前三种方式。在数学史的融入上，两节课均体现了方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效的教育价值。在融入的自然性上，其中一节课由于未采用重构式，因而未能体现知识之谐，所用史料对部分教学目标的达成作用不大，未满足有效性要求。

【关键词】HPM;基本不等式;同课异构;数学文化

【作者简介】赵丽红，华东师范大学教师教育学院在读硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤，教授，博士生导师，HPM工作室主持人，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）

一、引言

“基本不等式”是沪教版数学教材高一上册第2章“不等式”的第4节内容。在学习本节内容之前，学生在初中不等式知识的基础上学习了一元一次不等式、一元二次不等式及其他不等式的基本性质和解法，具备一定的代数运算基础。教材的引入方式是引述客观世界中一些恒成立的不等关系，进而直接呈现基本不等式，然后用作差法进行代数证明，再用赵爽“弦图”给出几何解释。这里，教材虽然运用了数学史，但“弦图”原本是用来证明勾股定理的，数学史上的基本不等式并非源于弦图。因此，我们尚需运用更恰当的数学史料，去揭示基本不等式产生的真正动因，从而更好地激发学生的学习动机。

HPM视角下的数学教学，在设计上，关注学生的学习动机与认知起点，选择恰当的数学史料、创设具有历史底蕴的情境、揭示知识产生的必要性并增加知识的趣味性。在实施上，力求将数学史自然而然地融入课堂教学。在评价上，从知识维度看知识之谐和方法之美，从过程维度看探究之乐和能力之助，从情感维度看文化之魅和德育之效。随着HPM教学理念的传播和HPM教学案例的增多，越来越多教师对HPM产生浓厚的兴趣，HPM视角下的同课异构现象进入人们的视野。

对于“基本不等式”这一课题，来自上海市两所不同高中的教师A和教师B精心选择相关的历史素材，各自从HPM视角进行教学设计。本文运用HPM课例分析框架，对两节课在数学史料的选择、融入方式、运用效果等方面的异同点进行比较和分析，以期为HPM课例研究提供参考。

二、基本不等式的历史素材

（一）古希腊数学文献

公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已研究过算术中项、几何中项与调和中项。后来，尼可麦丘和帕普斯统一了各类中项的定义。欧几里得《几何原本》第2卷命题5称：将一条线段二等分，再分成不相等的线段，则由二不相等的线段构成的矩形与两个分点之间一段上的正方形之和等于原线段一半上的正方形[1]。设不等的两条线段长分别为a和b，上述命题相当于一个代数恒等式，即ab+b-a22=a+b22。

欧几里得的证明思路是“将矩形化为等积的矩尺形，再将其补成正方形”（如图1），由上述恒等式可得不等式：ab0，b>0，a≠b）①，ab0，b>0，a≠b）②。

公元前2世纪左右，古希腊数学家芝诺多鲁斯著《论等周图形》一书，给出了以下命题：“在边数相同的等周多边形中，等边且等角的多边形面积最大”[2]。考虑长为b、宽为a的矩形以及与之等周的正方形，即得不等式①或②。

公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯在同一个半圆上作出了三类中项。如图2，以AB为直径作半圆ADB，CDSymbol^A@

AB，OD为半径，CESymbol^A@

OD，则OD、CD和DE分别为AC和CB之间的算术、几何和调和中项[3]61。

（二） 中国古代数学文献

公元3世纪，赵爽在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时，给出“大方图”（如图3）[3]62。设Rt△EBF的勾、股、弦分别为a、b、c，则有（a+b）2=（b-a）2+4ab，（a+b）2=2c2-（b-a）2=2（a2+b2）-（b-a）2，因此可得不等式4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）。

图2

图3

《九章算术》勾股章中设题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何。”其解法是：“并勾股為法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。”[4]刘徽利用出入相补原理证明了上述公式。如图4，用对角线将长和宽分别为a和b的矩形分成两个直角三角形，并用不同颜色标记不同类型的图形，得到“勾股容方图”。将图形重组，形成矩形（如图5），即得出与直角三角形共直角的内接正方形边长为d=aba+b。

图4

图5

利用“勾股容方图”，可以导出均值不等式。如图6，延长IH交EG于点K，得到Rt△HKE。由三角形的相似性，易得HK=b-2aba+b，KE=2aba+b-a。由CD > CB，得HK > KE，故b-2aba+b>2aba+b-a，即2aba+b

图6

（三）相关应用

1471年，德国数学家雷吉奥蒙塔努斯在给爱尔福特大学罗德教授的信中提出问题——一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪一点看上去它最长？[5]即“最大视角”问题，这被称作数学史上的第一个极值问题。

16世纪，意大利建筑大师帕拉第奥认为建筑的美产生于形式，他在著作《建筑四书》中指出，具有一定形式和比例的房间是优美的[6]。他给出了优美房间的长、宽和高所满足的规则，其中有两类房间的高分别等于长和宽的算术中项与几何中项。

三、两节课的宏观比较

（一）教学目标和重难点

两节课共同的教学目标如下。

（1）了解数学史料，经历基本不等式的探究与发现过程;

（2）掌握两个基本不等式及其应用前提，并利用它们求解最值问题;

（3）通过最值的应用，理解基本不等式在实际生活中的应用与重要性。

不同之处在于，教师A注重让学生去亲历基本不等式产生的过程，培养学生逻辑推理、直观想象和数学建模的素养，使学生理解基本不等式的意义;教师B则着重从历史上的数学问题出发，让学生在探究中发现基本不等式，领悟转化的思想、品味数学文化。

两节课的教学重点和难点也是一致的。

（1）教学重点：基本不等式的证明方法与应用前提;

（2）教学难点：基本不等式的几何探究及其在最值问题中的灵活应用。

（二）教学过程

教师A和教师 B 的教学过程主要分为情境创设、证明探究、新知应用、课堂小结和布置作业五个环节，具体内容见表 1。

从表1可以看出，教师A和教师B均从HPM的视角进行教学，相同之处在于以学生（激发兴趣）、活动（合作探究）、方法（数形结合）、文化（中西交融）、应用（走向生活）为着眼点。不同之处在于，教师A从生活的角度出发、关注学生的认知起点，蹦床公园中的海绵池形状改建的教学情境具有历史文化底蕴，引入比较自然;接着在证明探究环节，自然过渡到欧几里得的命题，基本不等式发生与发展的过程顺畅且贴切。教师B直接从历史角度出发，用蕴含算术、几何中项的建筑引入;在证明探究环节，借助“勾股容方”问题及其解法导出基本不等式，整个过程散发浓郁的数学文化气息，创新性较强。

四、两节课的微观比较

以下从史料的适切性、融入的自然性、方法的多样性和价值的深刻性[7]对两节课进行微观比较。

（一）史料的适切性

在 HPM 实践中，史料的选取原则有科学性、趣味性、有效性、可学性和人文性[8]。本文按照教学环节来分析史料的适切性，见表2。

由于HPM专业学习共同体实现数学史资料共享，教师A和教师B所用的素材来自高校研究者的历史研究，其科学性均得到保障。教师A在情境创设环节引入蹦床公园中海绵池的改建问题，体现了趣味性、可学性和有效性。在证明探究环节，欧几里得几何图形为引出基本不等式创造了条件，体现了可学性和有效性。在新知应用环节，引入数史上第一个极值问题——“最大视角”问题，体现基本不等式的应用，虽符合有效性和趣味性原则，但由于该问题的求解需要利用和角正切公式，不符合学生的知识基础，缺乏可学性。接着用微视频介绍赵爽的“大方图”，引起学生好奇，富有趣味性和人文性;补充的证法增进学生对基本不等式的理解，体现有效性。拓展作业涉及帕普斯的半圆模型，为学生提供进一步探究基本不等式的机会，符合可学性和有效性原则。

教师B在情境创设环节引入算术中项与几何中项的建筑背景，体现了人文性;帕拉第奥“好房间”所涉及的两类平均数，为基本不等式的探究做好了铺垫，体现了趣味性和人文性。在证明探究环节，提出“勾股容方”问题，并介绍刘徽的证明方法，为基本不等式的推导创造了条件，符合可学性和人文性原则，但有效性体现不足。

（二）融入的自然性

要将数学史自然地融入数学教学，教师需要将知识的历史序、逻辑序和学生的心理序有机统一。以下是兩位教师的教学片段与评析。

1教师A的教学片段

师：正方形海绵池与长方形海绵池有什么关系？

生：周长相等。

师：其实这就是历史上的等周问题，古人很早就进行了研究。从课前问卷中可看到有的古人认为周长越长，面积就越大，你觉得古人的想法合理吗？

生：不合理。

师：那么他们如何探究这个问题呢？古代数学家并不会代数解法，他们其实是借助了几何作图。今天我们就追寻古人的足迹，进行小组合作、利用尺规作图截出正方形的边长，探究长方形与正方形的面积关系。

（小组探究活动之后，学生代表分享了作图方法，教师A借助几何画板进行直观演示。）

师：同学们发现了什么？

生：长方形面积比正方形面积小。

师：能用简单的式子表达吗？

生：当a≠b时，ab

师：非常好，大家从几何模型抽象出了这个代数表达式，那么它背后隐含的几何意义是什么呢？

生：周长相等的矩形中正方形的面积最大。

师：对，这就是我们今天要研究的基本不等式。

评析：关于基本不等式，教材中采用的逻辑体系是从一般的不等关系、代数不等式及其解法到基本不等式。在这样的逻辑体系中，基本不等式只是作为特殊的不等关系出现，因而教材无意去探求其背后的动因。从历史来看，等周问题是导致基本不等式诞生的动因之一，教师A借助海绵池面积问题引出基本不等式，符合历史序。关于等周长方形和正方形面积的大小关系，学生在小学和初中阶段已有接触，因此该情境符合学生的认知基础。同时，教师A在课前问卷中介绍了古人对周长和面积关系的误解，再加上课上提出的实际问题，有效地激发了学生的学习欲望。事实上，当教师在课堂上再现知识的历史动因时，往往就激发了学生的学习动机。另一方面，从海绵池形状变更前后的几何模型，学生实际上建立了长方形与正方形面积之间的恒等式，因而遵循了“从等式到不等式”的逻辑序。可见，在教师A的课堂上，数学史的融入是比较自然的，基本实现了逻辑序、历史序和心理序的统一。

2教师B的教学片段

师：同学们知道了出入相补原理，接下来进行小组合作，把“勾股容方图”拆开来重新拼，求出正方形的边长x。

（活动之后，各小组展示了几类长方形的拼图方案。）

师：很棒，这就是古代数学家刘徽的做法。同学们求出x是多少？

生：x=aba+b。

师：这种方法非常简洁，接下来我们继续研究“勾股容方图”中的Rt△HKE（如前文图6），试试看，能否求出两条直角边？

生：能。

师：好，请同学们说说思路。

（两名学生分享了自己的做法：一名学生利用相似三角形法，另一名学生利用各边长之间的数量关系做差求解，两名学生都得出HK = b-2x，KE=2x-a。）

师：HK与KE之间有什么数量关系呢？

生：HK > KE。

师：为什么？

生：因为Rt△HKE与Rt△DCB相似，而CD > CB。

师：很好，那么大家把正方形的边长代入HK > KE中，看看式子能不能化简？

生：化简得ab

师：还能发现什么？

生：两边开方，得出几何平均数小于算术平均数。

评析：教师B从刘徽的“勾股容方图”出发，引导学生先求出直角三角形内接正方形的边长，然后根据直角三角形的相似性，从直角三角形两直角边的大小关系得出基本不等式，遵循“从几何上的不等关系到代数上的不等关系”的逻辑序，具有创新性。但是，刘徽的“勾股容方图”本身并非是基本不等式产生的历史动因，就像赵爽“弦图”初衷也无关基本不等式一样。如今“勾股容方图”和“弦图”也被用于基本不等式的证明。相比较而言，“弦图”显然比“勾股容方图”更直观。因此，虽然教师B的设计很创新，但从“勾股容方图”到基本不等式，并不符合历史序，也未能有效地揭示基本不等式产生的动因，因而也不符合学生的心理序。可见，在教师B的课堂上，数学史的融入在自然性上打了折扣。

（三）方法的多元性

数学史融入教学有四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。

教师A首先从海绵池的改建方案中抽象出长方形等周问题，引导学生用尺规作图法作出与长方形等周的正方形，从中探究等周正方形与长方形的面积关系;接着用代数形式来表征上述关系，得出代数恒等式;最后从恒等式中得出基本不等式。因此，教师A重构了基本不等式的产生过程。学生在探究过程中所借助的几何模型，实际上是《几何原本》中命题所涉及图形的改编，是数学史料的顺应式运用。在新知应用环节，复制式地采用了雷吉奥蒙塔努斯的“最大视角”问题。通过微视频介绍赵爽的“大方图”以及基本不等式的相应证明，属于附加式。利用帕普斯半圆模型设计探究任务，也是数学史料的顺应式运用。

教师B结合学生课前观看的建筑视频，首先附加式地引出帕普斯的算术中项与几何中项定义。接着，让学生计算帕拉第奥“好房间”中与高相关的两类平均数，是数学史料的顺应式运用。然后，复制式运用“勾股容方”问题让学生求解。在学生交流解决方案之后，教师B介绍刘徽的原始解法，建立古今联系，是历史上问题与解决方法的复制式运用。教师B借助“勾股容方图”，引导学生进一步探究直角三角形的边长关系，最后导出基本不等式，是数学史料的顺应式运用。最后，在新知应用环节，改编帕拉第奥“好房间”中与高相关的问题，并以等周问题为背景设置应用题，也属于顺应式。

可见，在教师A和教师B的课堂上，数学史的运用方式都是多元的，但教师A运用了重构式，而教师B没有。

（四）价值的深刻性

数学史融入数学教学的教育价值主要有六种：知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效。

1教师A的教学

在知識维度上，教师A重构了基本不等式的发生和发展过程，构建了知识之谐。在证明探究环节，欧几里得的几何方法、微视频所呈现的基于“弦图”和“勾股容方图”的几何证法，彰显了方法之美。

在过程维度上，教师A综合借鉴历史上的等周问题以及《几何原本》中的命题来设计探究活动;基于数学史的几何方法有助于培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养;提供的课后拓展材料也有助于提升学生的阅读能力，体现了探究之乐和能力之助。

在情感维度上，从欧几里得作图法到赵爽的“弦图”、从等周问题到“最大视角”问题，既有中西文化的交融，又有数学文化对生活的启示，展示了文化之魅[9]。探究活动之后，教师A将学生的方法与欧几里得方法进行对照，提升了学生学习数学的自信心。问卷调查表明，等周问题让学生感悟到数

学背后的理性精神。此外，数学史的融入激发了学生的学习兴趣。因此，教师A借助数学史达成了德育之效。

2教师B的教学

在知识维度上，虽然教师B从建筑的角度引入，设计比较新颖，但算术平均数与几何平均数的定义以及两者的关系是直接提出来，比较突兀，在知识之谐的构建上有待改进。在证明探究环节，教师B利用“勾股容方图”，引导学生发现基本不等式，彰显了方法之美。

在过程维度上，“勾股容方”问题为学生提供了探究机会，也有助于培养学生的直观想象和逻辑推理素养，体现了探究之乐和能力之助。

在情感维度上，设计的情境充满数学文化味，既让学生感受到数学与建筑之间的联系，又体会到数学背后的多元文化，展示了文化之魅。从问卷调查可知，“勾股容方图”给学生带来新奇的感受，激发了他们的学习兴趣。而且，中国古代的“勾股容方”有助于学生了解中国古代的数学文化。因此，教师B的课堂蕴含了比较丰富的德育元素，达成了德育之效。

五、结语

综上分析可知，教师A和教师B所用的史料都比较丰富，符合科学性、趣味性、可学性和人文性原则，但教师B所用史料的有效性不足。教师A和教师B运用数学史的方式均有附加式、复制式和顺应式，教师A还运用了重构式。教师A重在重构基本不等式的发生与发展过程，基本实现了逻辑序、历史序和心理序的统一，融入较为自然;教师B注重基本不等式的几何探究与推导过程，呈现了清晰的逻辑序，但未能兼顾历史序和心理序。在两节课中，数学史都体现了多元的教育价值，但由于教师B未采用重构式，在追求教学设计创新的同时忽略了知识之谐的构建。

通过对两节课的比较和分析，我们得到以下启示。

1数学史融入数学教学，营造了不一样的课堂。数学史为学生提供了探究的机会，为培养核心素养创造了条件;数学史让课堂变得人性化，充满文化的芬芳;数学史也为课堂注入了丰富的德育元素。因此，HPM视角下的数学教学有着广阔的前景，必将成为一种常态。

2在将数学史融入数学教学时，教师需要在创新性和有效性之间寻求平衡。发生教学法强调，要让学生认识到新知的产生是源于问题解决的需要[10]。透过数学史，我们才能找到知识产生的动因;课堂上运用数学史的重要目的之一在于揭示新知的必要性，激发学生的学习动机。如果学生学会了一个命题的推导，却不知道该命题从何而来、为何而来，那么他对于命题不可能有深刻的理解，数学史也就失去了应有的意义。这就是为什么说有效性是教师选取数学史材料的重要原则之一。

3教育取向的数学史研究始终是教学实践的重要基础，HPM视角下数学教学是否成功与精彩，往往取决于史料本身。本文中两节课所采用的数学史料均局限于几何领域，而基本不等式本身所属代数领域的史料却付之阙如，有待深入挖掘和整理。

参考文献：

[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[2]汪晓勤，郭锦融.古希腊数学中的均值不等式[J].中学数学月刊，2015（2）：54-56.

[3]汪晓勤.均值不等式：从历史到课堂[J].数学传播，2014（4）： 53-67.

[4]汪晓勤.从“勾股容方”到均值不等式[J].数学通报，2015 （2）：7-9.

[5]关嘉欣.HPM视角下均值不等式的教学设计[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（5）： 32-33.

[6]文静.行走中欣赏西欧现代建筑之十：维琴察的巨匠：帕拉第奥[J].中国对外贸易， 2013（1）： 88-92.

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[8]陈晏蓉，汪晓勤.数学史料的选取原则与案例分析[J].教育研究与评论（中学教育教学）， 2017（12）：37-43.

[9]汪晓勤.基于数学史的数学文化内涵课例分析[J].上海课程教学研究，2019 （2）：37-43.

[10]吴骏，汪晓勤.发生教学法：从理论到實践——以数学教学为例[J].教育理论与实践，2013 （2）：3-5.