以问题串为灯照亮一次函数的复习方向

福建省漳州第一中学 颜月红

在初中研究一次函数的过程中不停地渗透着数形结合的思想、函数与方程思想、化归与转化思想，所研究的内容和方式对后续函数的学习都起到铺垫和类比的作用，因此，学生对一次函数知识的认识及掌握情况在整个初中阶段的学习中显得尤其重要。在中考总复习过程中，教师采用问题串的形式组织教学，通过富有层次性的问题串，帮助学生理清知识点之间的关系，进一步引导学生完成一次函数的中考复习过程。

模块一：基础知识复习

例1：请写出一个过点（1，2）的一次函数的表达式。

问题串：（1）你求出的表达式是唯一的吗？

（2）请说说你是怎样求的，条件是什么？为什么可以是那样的条件？

【设计意图】因为正比例函数是特殊的一次函数，值的确定只需一个点，所以大部分学生写出了y=2x 这个表达式。老师可以再追问两个问题来引发学生思考，一次函数y=kx+b 的表达式的确定需要两个条件，在已知的一个条件下，学生至少还有3 种添加条件的方式，可以是一个点，可以是k 的值，也可以是b 的值。通过引导学生进行思维碰撞，不仅能回顾一次函数表达式的确定条件以及待定系数法的应用，而且还能开拓学生的思维，活跃课堂气氛。

（3）请写出一个与直线y=2x 平行的直线的表达式，你能写出几种？理由是什么？

（4）请写出一个与直线y=2x 相交的直线的表达式，说说你是如何求解的，理由是什么？并求出两直线的交点坐标。

（5）在（4）的条件下，记l1：y1=2x，所求直线记为l2：y2=kx+b，求出当x 为何值时，y1≤y2？

【设计意图】该问题串的设置让学生明晰了从数与形两个角度来判定直线位置关系的方法，同时也复习了如何求两直线的交点坐标。让学生比较两直线对应的函数值大小，是综合考查函数、方程、不等式的关系。

例2：请画出函数y=-2x+3 的图像，你是怎么画的？

问题串：（1）如何大致判断你所画的图像是正确的？

（2）若该图像上有两点，坐标分别是（-1，y1）和（3，y2），请比较y1与y2的大小，并用两种方法说明。

（3）若该图像上有两点，坐标是（x1，y1）和（x2，y2），当x1＜x2时，比较y1与y2的大小。上述两种方法是否可用，为什么？

（4）对于y=kx+b，若x1＜x2时，y1＞y2，求k 的值。

（5）对于一次函数y=（a-4）x+b，y 随x 的增大而增大，求a的取值范围。

【设计意图】通过几个问题串的设计来复习一次函数的增减性，特别是一次函数增减性的图形语言、文字语言和符号语言的表述以及相关运用。

模块二：一次函数的运用

例3：(2019 聊城)某快递公司每天上午9 ：00－10：00 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图像如右图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为( )

A. 9：15 B. 9：20 C. 9：25 D. 9：30

问题串：（1）请说明图中横轴、纵轴及点A、B、C、D 表示的意义。

（2）说明甲图像上升，乙图像下降的理由？想想如何求甲、乙的表达式？

（3）“两仓库快递件数相同”是指什么相同？在图像上如何体现？

（4）结合本题说说解决图像问题，关键点是什么？

【设计意图】本例问题串设置是引导学生从图像的角度认识一次函数，进一步巩固学生利用一次函数图像解决实际问题的基本技能以及如何根据题意将文字语言转化到图像中，让学生明白解决该类型题的关键是要看懂图像中点的意义。

例4：（2015 年十堰市中考数学节选）市场调查发现，种植草莓不超过20 亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500 m，当超过20 亩时，y=1380m+2400。而当种植樱桃的面积不超过15 亩时，每亩可获利润为1800 元，超过15 亩时，每亩利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式如下表。（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）请写出z 与x 之间的关系式。

x（亩）20 25 30 35 z（元）1700 1600 1500 1400

问题串：（1）你认为z 与x 之间满足的函数关系是什么？你是怎么判断的？

（2）请你根据表格说明，x 每变化1 个单位，z 的变化情况是什么样的？

（3）对于任意一次函数y=kx+b，x 每变化1 个单位，y 的变化情况是什么样的？

【设计意图】解决本例的关键是求出z 与x 的关系式，而用表格的方式来描述一次函数的模型是学生比较薄弱的，因此，本问题串的设置是引导学生从表格里点的坐标之间的变化关系分析一次函数的本质属性，巩固学生根据表格数据判断函数模型的方法，培养学生数据分析能力和数学建模能力。因此，本题的重点放在z 与x 的关系上。

综上，以问题串为灯，步步引导学生完成一次函数的中考复习，开启复习课的奇妙之旅。