直观与抽象并行 凸现数学概念本质——以《弧度制》的教学过程为例

江苏省启东中学 胡 勇

数学概念是数学知识的基础、数学学习的起点和逻辑推理的重要依据，而概念课的教学是培养学生核心素养、实现“数学育人”目的的重要教育素材。三角函数是高中数学的重要内容，弧度制是三角函数这一内容的重点。弧度制这一概念的形成是弧度制教学中的难点， 2019 年10 月，笔者参加江苏省优课比赛并获得一等奖，下面以参赛课题 “弧度制”部分教学过程为例，谈谈对概念教学的认识和感悟。

一、实验：直观感知

PPT 展示圆形蛋糕，经过中心将圆形蛋糕切三刀分成了6 块，这6 块大小相差无几，现从中挑出最大的一块，有什么办法？

问题1：在半径为r 的圆O 中，如何比较∠AOB 与∠COD 的大小，并说明理由。

生1：用量角器量角。∠AOB=55.2°，∠COD=62.5°。

师：很好！通过用量角器直接测量，这是比较精确的，因为我们初中已学过角的度量，将一个圆周角分成360 等份，每一份就叫作1 度，所以周角等于360°，平角等于180°。根据需要，还可将1°分为60 等份，也就是1°=60'，同理，1'=60"。我们把这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制。

生2：比较弦AB 和CD 的长。

师：那你这样操作的理由是什么呢？

生2：在同圆或等圆中，等弦对等角，等弦对等弧。（老师补充完善）

师：很棒！同学们在初中学得很扎实！那么后两种方案是在什么前提下完成的？

生：在同圆或等圆中。

师：非常好！我们通过方案三（生3）可以发现：在同圆或等圆中，可以用弧长比较两个角的大小(即半径一定时)。

【设计意图】 数学源于生活，对生活中的深刻研究是数学发现的最自然的来源。结合情境，让学生直观感知，抽象出数学模型，并通过实验操作、合作交流来比较∠AOB 与∠COD 的大小，重温了角度制，对同圆或等圆中的弦、弧、圆心角之间的关系进行了回顾，培养了学生直观想象、数学建模的能力。

二、引导：实践应用

做一做：在下图中写出各特殊角所对应的弧度数。

例题：请将下表中的弧度和角度互化。

-3.5角度 252° -11°15'弧度

【设计意图】 强化弧度与角度之间的互化，一方面帮助学生巩固所学，正确进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数；另一方面，通过规范化思考问题，提升学生的数学运算素养。

师：同学们，我们刚才进行了角度制和弧度制的互化，初中我们学习过扇形的弧长和面积公式，那么现在学习了弧度制，这些公式又是怎样的呢？

三、教学感悟

1.精心设计问题，感悟概念的本原与发展

根据建构主义理论，建立在真实事件或真实问题上的概念生成，不仅能够激起学生的学习兴趣，而且对学生更具有感染力。所以对概念的认识应当是有具体背景的，通过合适的问题情境，让学生感悟问题的本原和数学表达的意义。本节课从“切蛋糕挑出一块最大的”生活场景引入，亲切自然，让学生通过直观感知抽象出数学模型。对于弧度制的概念，不是直接呈现给学生，避免学生感到生硬、“无中生有”的感知，而是通过实验操作、合作交流，让学生体会各种不同比较角的大小的方法，逐步领悟角的大小与弧长、半径之间的关系，让学生感受到弧度制衡量角的大小的科学性和实用性，在激发学生学习兴趣和好奇心的同时，提高学生对概念本质的数学理解，为新知搭建桥梁，促使学生顺理成章地进入弧度制概念的探究中。

2.注重思维提升，发挥学习的自主性和能动性

充分发挥学生学习的自主性和能动性，学习才能高效发生。 本节课在学生探究出弧度制的概念后，由于新的度量角的系统对学生来说非常陌生，已有的角度制在学生头脑中根深蒂固，只知道一个角是多少度，怎么能够用一个实数来表示角呢？为了扭转学生这种认知上的冲突，让学生逐渐接受新的概念，并将新概念融入原有认知架构中，如通过具体的半径与弧长，让学生亲手操作，体会弧度制这一新的度量角的系统，熟悉熟练用实数表示角的大小；通过量角器，让学生感受弧度制、弧度制与角度制的互化，进一步加深对概念本质的熟悉理解。在此环节中，提倡学生敢想、敢做、敢说，充分发挥学生学习的自主性和能动性，学生思维极度活跃，踊跃提出自己的观点，享受数学发现的喜悦，最大限度地让学生在体验中学习数学技能，体验其中蕴含的发现，提升学生思维的发散性和灵活性。

3.培养数学能力，达成核心素养发展目标

对学生而言，弧度制概念的难点在于“为什么可以这样规定？”为了让学生突破这些困惑，教学中，弧长与半径的比值为定值没有直接呈现给学生，而是引导学生从一些生活场景中自主发现，渗透用数学眼光观察世界的核心素养。本节课的探究过程是培养学生数学核心素养的很好素材，践行数学六大核心素养的背后，是培养学生的理性精神，是培养学生的学习能力，让学生学会思考、学会学习。这是学生应具备的、能够适应其终身发展需要的关键能力，是“数学育人”的关键所在。在这个教学过程中，由于学生思维的高度参与，课堂充满了活力，学生对弧度制的本质有了更深刻的理解，学生思考问题的意识、角度、方法和能力都会得到提升。我想，数学课除了应该教给学生知识，还应该让学生体会知识背后的智慧，教育的本质是知识遗忘之后剩下的全体。