几何问题中直线参数方程的应用解析

陈立勇

（四川省绵阳中学实验学校 四川绵阳 621000）

直线参数方程是解析几何中的有效工具，解题方法是解析几何中常用的通性通法，因而得到了广泛的运用，可以对几何中的各种难点问题进行更好的解决，比如，存在性问题、最值、位置关系、轨迹方程、位置关系等。和一般式方程比较，使用直线的斜截式、点斜式方程更加简便，无需讨论斜率是不是存在，还可以对计算过程进行简化，提升学生解题的效率和准确率。

一、知识解析

基于点斜式推导出直线的参数方程，即y-y0=k（x-x0）。（x0，y0）是直线经过的定点，k=tanα，α是直线的倾斜角，α∈[0，π）。直线方程是y=y0+tsina；x=x0+tcosα。无论α是钝角、锐角，直线上已知点（x0，y0）处t=0，直线所有点都存在唯一对应的t，沿着直线向上运动，参数t会不断变大。这时的直线就好像是一条数轴，已知点（x0，y0）是数轴的原点，沿着直线向上是其正方向，数轴上所有点的刻度是该点处的参数t。数轴上任意两点A，B的距离符合| AB|= |t1-t2|。在碰到直线上求弦长时就可以运用该知识点。

二、几何问题中直线参数方程的应用

在空间解析几何中，直线是贯穿整个过程中，不仅能运用直线的参数方程对各种分相交和垂直问题、二次曲面相切、相交进行研究，还可以重新证明课本中提到的一些数学结论，比如，几种距离公式，点到直线、两异直线距离和点到平面的距离[1]。

（一）在相交方面的运用

可以看到，两种解法中，运用直线的参数方程解题要更具优势，可以对解题步骤进行简化，解题思路也更明确。教师在教学中要让学生掌握直线的参数方程的运用方法，通过正确的引导，让学生树立用直线参数方程解题的意识。碰到如上面这种类型的题目时，学生就要把握住关键词“相交”，之后运用参数方程写出交点坐标，再结合题目中给出的信息逐步求解，提升学生的解题效率。

（二）在距离方面的运用

课本中包括几种距离公式，分别是点到平面、两异面直线间和点到直线间。其实课本上给出的这几种距离定义都属于最短距离，就分析层面来说，最短距离就是得到的距离函数的最小值，所以，运用直线与平面的参数方程可以重新求出几种距离公式[2]。虽然课本中给出了距离公式，教师在教学中也可以引导学生对公式进行重新推导，帮助学生更好的理解教材中距离的定义，也就是最短距离。还能够让学生学会数学分析中求解极值的方法，在碰到求垂直的问题时，就可以运用这种方法。

（三）在相切中的运用

从二次曲面S外一点向曲面引切线，那么这些切线生成的曲线就是切锥面。特别地，若是曲面S为球面，那么切锥面就是圆锥面。比如，教师在教学中给学生展示题目“给定椭圆抛物面S，方程是z=3x2+4y2+1，求以原点O为顶点的切锥面的方程”。解这道题时，应该先设M（x，y，z）为切锥面上任意一点（不是原点），直线OM上存在唯一的切点N，那么就有唯一的实数t，N的坐标是（tx，ty，tz），因为切点M在椭圆抛物面上，因此，坐标符合椭圆抛物面方程，得出tz=3（tx）2+4（ty）2+1，整理可以得到（3x2+4y2）t2-tz+1=0，结合有关条件可以得出Δ=z2-4（3x2+4y2）=0，进而得出切锥面的方程，即z2=4（3x2+4y2）。教师在教学中，若是碰到相切问题，就要引导学生运用直线的参数方程，将切点问题进行改变，变成关于参数t的一线二次方程的相等实根问题，帮助学生更好的解题。

三、结束语

综上所述，直线的参数方程在几何问题中得到了广泛的运用，比如，解析几何中的证明型问题、求几何最值问题和解析几何定值型问题等。虽然一般方法也能够解答几何问题，然而在很多题目中运用都比较复杂，学生的运算过程较多，且容易出错。因此，教师要引导学生使用直线的参数方程，将复杂的方程进行简化，进而让学生更快更好的解决几何问题，提升学生解题的效率和准确性，提升数学几何问题的教学效果。