应用型人才培养模式下数学分析教学的探索与实践

尚旭东 夏慧明

摘 要 本文在加强高等教育应用型人才培养模式的背景下，着重介绍了“数学分析”教学模式改革中的一些具体实践：（1）重视教学手段的运用，培养学生的学习兴趣;（2）重视逆向思维模式的运用，提高学生逻辑思维的灵活性;（3）融入数学建模的思想，增强学生解决生活实际问题的能力;（4）加强线上线下教学的融合，提高教学质量。

关键词 应用型人才 数学分析教学 人才培养

中图分类号：G424                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.09.043

Abstract Under the background of strengthening the training mode of applied talents in higher education， this paper mainly introduces some specific practices in the teaching mode reform of mathematical analysis： （1） attaching importance to the application of teaching means to cultivate students' interest in learning; （2） attaching importance to the application of reverse thinking mode to improve the flexibility of students' logical thinking; （3） integrating the idea of mathematical modeling to enhance students' understanding （4） strengthen the integration of online and offline teaching and improve the teaching quality.

Keywords applied talents; mathematical analysis teaching; talent training

随着我国经济的快速发展及高等教育自身改革的进一步深入，应用型人才的培养及培养质量越来越受到国家教育部门的重视。《中国教育现代化2035》中明确指出，要加大应用型、复合型、技能型人才培养比重。南京师范大学泰州学院作为一所应用型本科大学，已将提升应用型人才培养质量的措施贯彻到了平时的教学过程中。数学分析是高等院校数学专业的一门重要基础课，是学生学习实变函数、复变函数、概率论等后续课程的基础，同时也是学生今后从事数学应用和理论研究的理论基礎。数学分析学习内容多，内容涵盖实数理论、极限论、一元微积分、多元微积分及级数理论，学习时间跨度长，共三个学期二百五十六课时。学生在学习过程中普遍反映“难学”，难以把握数学分析的理论和思想方法。

他们觉得课堂上好像听懂了，但课后作业不会做。主要有两方面的原因，一是由于数学分析课程内容多、难度大，使学生产生畏难情绪;二是教材上相关问题的实际应用背景的介绍相对较少，会使学生体会不到所学数学理论的用处，进而影响了学生学习的积极性。如何利用有限的学时，高效合理的开展数学分析教学活动，使得我们的教学更加符合我校的应用型人才的培养目标，这是摆在我们面前的一个重要课题。我们结合多年的数学分析教学经验和本校学生的实际情况，在教学过程中从以下几个方面进行探索与实践。

1 注重运用适当的教学手段，培养学生学习数学分析的兴趣

伟大的物理学家爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”。一个人如果对某学科产生了浓厚的兴趣，就会主动地、专心致志地去探究它、钻研它。学习兴趣不是天生的，它是在后天的学习过程中逐步形成的。教师的教学活动在培养学生的学习兴趣方面起着重要的作用。

加强数学问题研究背景的介绍，增强知识的趣味性。例如我们在学习定积分的定义时，可以给同学们讲解课本上的定义的形成过程。首先柯西给出了关于定义在区间上的连续函数的定积分。如果函数在区间上具有有限个不连续的点，假设只有一个不连续点，柯西将积分定义为

其中假设所有的极限都存在。若有多个不连续点，可以类似的定义。然而，若函数在区间上具有无限多不连续点，柯西的积分定义就不再适用了。这时狄雷克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理，但他却没有在这方面提出过解决的思想，他只是给出了一个著名的函数例子，即我们课本上所说的狄雷克雷函数。1854年，黎曼在“大学执教资格讲演”这篇论文中，提出了如何理解？他假设函数在区间上是有界的，由此给出了我们教材上的定义。接着他还提出并解决了关键的问题：“在什么情况下函数可积，什么情况下函数不可积？”通过这一背景故事的介绍，可以拓宽学生的视野，提高学生的学习兴趣。

采用合适的教学方法，促进学生的学习兴趣。教学过程中引导学生提出问题、解决问题，采用灵活多变的教学方法，为学生创造思考的空间，扩展学生的思维，激发他们的学习热情。例如，在学习函数图像的讨论时，之前学生已经掌握了函数的单调性，凹凸性及求解函数的极值等知识，教师可以先设置几个简单的函数，让学生自己计算、作图、观察，最后总结出作图的一般步骤，最后教师进行必要补充和分析需要注意的事项。在讲解新知识时，可以运用类比的方法让学生联系所熟悉的知识，避免教学的平铺直叙。例如，我们学习极限性质时，可以先回忆收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性及四则运算法则，那么函数极限是否也具有这些性质？之间又有什么不同？如何证明？我们可以运用类比的方法，发现函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性等。这样可以调动学生学习的积极性，起到事半功倍的效果。

2 注重逆向思维的运用， 提高学生思维的灵活性

逆向思维是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。与常规思维不同，从问题的相反面深入地进行探索，其结果常常会令人大吃一惊，得到新的思想，新的认知。 在数学分析的学习中的分析法，就是典型的逆向思维。在解决一些数学问题时，顺推得不到结果或者说很困难，我们可以考虑逆推，直接计算不好实现，我们可以考虑间接计算。在数学分析的课堂教学实践中， 加强逆向思维的运用， 可以克服学生一些僵化的思维模式，促进他们思维的灵活性。

例如，收敛数列的保不等式性质：设数列和均为收敛数列。若存在正数，使得当时有，则。我们在讲完这个性质以后，让学生思考：若把条件换成严格不等式，结论是否也要跟着换成？让学生思考并加以解决，成立要给出证明，不成立要举出反例。通过学生们的热烈讨论，举出了例子否定了此命题。通过该问题的研究讨论，可以使学生精准的理解数学概念，更深刻的掌握数学中的定理，帮助学生多层面多角度观察思考问题，培养其良好的思维品质。

例如我们研究：设函数在开区间上连续，并且中的每一点都是的极值点，证明：函数在开区间上是常值函数。本问题若直接运用相关的定理或者知识证明，将无从入手，问题无法得到解决。但若采用反证法，间接论证的方法之一，问题将会得到轻松解决。

在平常的上课过程中，对于定理的证明，我们注重分析法的应用;在定义概念的教学中，注意阐述定义的可逆性;加大一题多解的训练，培养学生多角度全方位的思考问题。

3 注重数学建模思想的融入，提高学生分析问题、解决问题的能力

在解决实际应用问题时，先对问题进行观察、假设，将其转化为一个数学问题，然后建立数学模型，并对模型进行求解，最后根据结果去解释实际问题。在数学分析教学中，通过数学建模思想的融入，可以使学生的数学知识与应用能力得到共同提高， 提高学生的创新能力，这是培养学生数学应用素质的一条有效途径。

数学概念中融入数学建模思想。在数学分析中的概念讲授中，若直接将高度抽象的严密的数学概念用数学语言写出来告诉给学生，这样学生不能理解其意思，只是看到一些数学符号，会慢慢的失去对数学分析的学习兴趣。如果能够设置适当的情境，引导学生了解模型的构建过程，逐步获得对基本概念的直观认识，进一步得到严格的数学概念，这样效果更加显著。例如，在讲解定积分的定义时，我们可以讨论变速直线运动的路程问题：设一物体沿着直线运动，其运动速度是时间的连续函数，求在一段时间内该物体所走过的路程？我们知道，在匀速直线运动中，走过的路程等于速度与时间的乘积。但对于变速问题，我们以前所学知识已经无法解决该问题。我们知道，速度是时间的连续函数，在很短的时间内它的变化很小，时间间隔越小，速度的变化量就越小。因此我们可以将很短的时间间隔内的变速直线运动近似看成匀速直线运动，来求路程的近似值，最后再取极限。这时，我们可以建立模型，引导学生分析解决，最后总结出定积分的定义。

课后作业中融入数学建模思想。以往我们的课后作业就是对定义、定理的直接应用，主要是为了加强学生对于基本概念和理论的理解，但是缺少对于解决实际应用问题的题目，这样往往会让学生感觉不到数学的用处，觉得数学无用。因此，我们注重在平时的课后作业中补充一些实际问题，引导学生进行分析，假设、建立数学模型，这样不仅可以使学生掌握数学建模的方法，又可以使学生深刻体会到数学在解决實际问题的重要作用，这为把我校的学生培养成为应用型的人才提供了强有力的保证。例如在学完导数的应用以后，我们补充布置一些边际收益，最优价格等相关模型应用问题。让学生通过训练发现自己对相关知识的掌握不足，进而激发他们的求知欲。

经过几年的教学实践，我们在数学分析教学过程中不断融合数学建模思想的方法收到了良好的效果。

4 注重线上线下教学融合，提升课堂教学质量

“互联网+”时代对全球的教育行业产生了深远的影响，对我国的教育改革起到了推动作用。2018年6月，教育部在四川大学召开的新时代全国高等学校本科教育工作会议上，再次强调了持续推进现代信息技术与教育教学深度融合。这就要求我们广大教师必须具有强烈的信息技术与课堂教学融合的意识。在这一背景下，我校的数学分析课程利用蓝墨云班课进行线上线下混合式教学，将教学实践分为课前学生自主学习、课堂老师集中讲授、课后学生拓展学习三个阶段，实现了从以“教”为中心向以“学”为中心的转变，从对学生“知识传授”为主向“能力培养”为主的转变。通过几年的实践，取得了良好的教学效果。

课前自主学习，主要是教师提前备好教学资源，备好教学的重难点，提前设计好哪一部分内容讲解为主，哪一部分内容讨论为主。结合学生的知识水平和将要学习的内容，安排好学生的自主学习任务，任务的布置上对不同层次的学生要有弹性要求，这样既照顾到不同层次学生的学习。接下来通过蓝墨云班推送给学生，给定充足的学习时间，同时创建测试和讨论活动。教师通过云班课对学生的学习情况做到及时了解，及时掌握学生自主学习的实施情况，确定固定时间为学生答疑解惑。依据学生自主学习的结果，及时改变、优化课堂的教学内容和教学方法。

课堂集中讲授，主要是根据自主学习的开展情况，确定线下课堂授课内容，给予针对性的讲解。首先，对自主学习内容进行总结，了解他们对知识的掌握是“真知”还是“假知”;接下来运用合适的教学手段，引领学生掌握理解知识难点，讲解一定的例题，注意方法的多样化;最后，选取一些经典的题目让学生在黑板上做，并进行适时分析和评论，提高学生的口语表达能力。

课后拓展学习，补充适量的课后作业，注重作业的多元化，既要有能巩固和熟练基本概念和定理的作业题目，也要有可探索的题目，对于作业可以在云班里面让大家互评，提高学生的参与度;发布一些与所学知识相关的解决应用问题的视频资料，开阔学生的视野，提高学生的应用意识，鼓励学生参加各类竞赛及项目，例如：大学生数学建模竞赛、挑战杯、大学生创新训练计划等，提高学生运用所学知识解决问题的能力。

参考文献

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