三变元欧拉函数方程φ（xyz）=φ（x）（φ（y）+φ（z））的可解性

席小忠，孙乐，冷春勇

（宜春学院数学与计算机科学学院，江西 宜春336000）

0 引 言

欧拉函数φ（n）在数论中是一种极为重要的函数，该函数由它的首位研究者欧拉命名 （Euler′s totient function），欧拉给出的定义为：在数论中对于任意正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。例如：φ（9）=6，因为1，2，4，5，7，8 均与 9 互质。 欧拉函数具有许多良好的性质，在文献[1]有详细介绍，本文会应用部分比较重要的性质。近年来，国内许多学者对与欧拉函数有关的不定方程进行了大量研究，得到了许多结论，如：张明丽等探讨了欧拉方程 φ（mn）=22×3（φ（m）+φ（n））的正整数解的问题，并利用初等方法给出了该欧拉函数方程m≤n当时的所有正整数解[2]；张四保等讨论了一个形如 φ（xy）=k1φ（x）+k2φ（y）（k1≠k2）的具体方程 φ（xy）=5φ（x）+7φ（y）的可解性，并给出了其一切正整数解，且根据这一方程解的情况，得出了（x，y）=（k1+k2，k1+k2）是 方 程 φ（xy）=k1φ（x）+k2φ（y）（k1≠k2）的一组正整数解的结论，其中 k1，k2的皆为正整数[3]；多布杰讨论了 φ（φ（n））=2ω（n）方程的可解性问题，并求出了此方程的所有正整数解[4]；王洋等探讨了含有复合欧拉函数的方程φ（φ（n-φ（φ（n））））=2 正整数解的问题，利用初等数论的知识和方法给出了其所有正整数解[5]；席小忠也在文献[6－7]中分别对两类欧拉函数方程进行了讨论，并得到了这两类方程的部分正整数解或全部正整数解。

虽然在很多学者的努力下，关于欧拉函数方程的可解性研究得到了一系列重要结果，然而大部分都是研究一元或二元欧拉函数方程的可解性和正整数解，对于三元或更多元欧拉函数的方程研究较少。笔者分析其中原因，主要是由于变元的增多，逻辑分析的复杂性会成倍增长，稍不注意就会漏掉一些正整数解，如近期文献[8-13]。为此本文主要研究三变元欧拉函数方程：

的可解性，介绍与此方程相关的理论知识，得到该方程当x≤100时的全部正整数解，同时给出该欧拉函数方程的普遍求解方法。

1 主要引理

引理 1[1]对于任意正整数 n，若 n=1，2，则φ（n）=1，若 n＞2，则 φ（n）为偶数；且当 n＞1 时，有φ（n）＜n。

引理 2[1]对于任意正整数 x，y，若 gcd（x，y）=d，则

引理 3[1]设，其中 Z+为正整数集 pi（i=1，2，…r）为互不相同的素数，则 φ（n）=

引理 4[1]对于任意正整数 x，y，若 gcd（x，y）=1，则 φ（xy）=φ（x）φ（y）。

引理 5[1]当 n 是素数时，φ（n）=n－1。

引理 6[1]对于任意正整数 x，y，若 x|y，则 φ（x）|φ（y）。

引理7[1]当n=14时，方程φ（x）=n无正整数解。

引理8[1]对于任意正整数n，p，若p为素数，且gcd（n，p）=p，则 φ（np）=pφ（n）。

证 明：因为 p 为素数，且 gcd（n，p）=p，所以p|n，由整数分解定理可令 n=pαn1，其中 p不整除n1，则由引理 6 知 φ（n）=φ（pαn1）=pα-1（p-1）φ（n1），而φ（np）=φ（n1pα+1）=pα（p-1）φ（n1），所以 φ（np）=pφ（n）。

2 主要结论

定理 1 设 z为正素数，若 gcd（xy，z）=1，则欧拉函数方程 φ（xyz）=φ（x）（φ（y）+φ（z））有正整数解，且当 gcd（xy，z）=d=1 时方程正整数解的形式为（x，y，z）=（x，4，3），其中 2，3 都不整除 x。如 x≤100 时的 正 整 数 解 为 ： （x，y，z） =（1，4，3）， （5，4，3），（7，4，3），（11，4，3），（13，4，3），（17，4，3），（19，4，3），（23，4，3），（25，4，3），（29，4，3），（31，4，3），（35，4，3），（37，4，3），（41，4，3），（43，4，3），（47，4，3），（49，4，3），（53，4，3），（55，4，3），（59，4，3），（61，4，3），（65，4，3），（67，4，3），（71，4，3），（73，4，3），（77，4，3），（79，4，3），（83，4，3），（85，4，3），（89，4，3），（91，4，3），（95，4，3），（97，4，3）；当 gcd（x，y）=d＞2的正素数时，方程正整数解的形式为 （x，y，z）=（dαx1，d，2），其中 d 和 2 都不整除 x1，2 也不整除 d。如当 gcd （x，y）=d=3，x≤100 时的正整数解为：（x，y，z） =（3，3，2）， （9，3，2）， （15，3，2）， （21，3，2），（27，3，2），（33，3，2），（39，3，2），（45，3，2），（51，3，2），（57，3，2），（63，3，2），（69，3，2），（75，3，2），（81，3，2），（87，3，2），（93，3，2），（99，3，2）。

证 明：因为 z为一个素数，gcd（xy，z）=1，所以由引理4和引理5得：

令 gcd（xy，z）=d，则 d|x，d|y，由引理 6 可设φ（x）=k1φ（d），φ（y）=k2φ（d），其中 k1，k2为正整数。所 以 再 由 引 理 2 得 φ代入式 （2）、 式 （3） 得 （z-1）·=k1φ（d）（k2φ（d）+z-1），化简可得（z-1）k2d=k2φ（d）+z-1，即（z-1）（k2d-1）=k2φ（d）≠0，所以因而d只能为1或不小于2的素数。以下可分d=1、d=2、d＞2的素数3种情形讨论。

定理 2 设 z为正素数，若 gcd（xy，z）=z，则方程φ（xyz）=φ（x）（φ（y）+φ（z））有正整数解，且解的形式为（x，y，z）=（zαx1，1，z）和（x，y，z）=（zαx1，2，z），其中 2不整除 x，z不整除 x1。 当 z=2，x≤100 时方程（1）的正整数解为：（x，y，z）=（2，1，2），（4，1，2），（6，1，2），（8，1，2），（10，1，2），（12，1，2），（14，1，2），（16，1，2），（18，1，2），（20，1，2)，（22，1，2），（24，1，2），（26，1，2），（28，1，2），（30，1，2），（32，1，2），（34，1，2），（36，1，2），（38，1，2），（40，1，2），（42，1，2），（44，1，2），（46，1，2），（48，1，2），（50，1，2），（52，1，2），（54，1，2），（56，1，2），（58，1，2）， （60，1，2）， （62，1，2）， （6 4，1，2），（66，1，2），（68，1，2），（70，1，2），（72，1，2），（74，1，2），（76，1，2），（78，1，2），（80，1，2），（82，1，2），（84，1，2），（86，1，2），（88，1，2），（90，1，2），（92，1，2），（94，1，2），（96，1，2），（98，1，2），（100，1，2），（1，2，2），（3，2，2)，（5，2，2），（7，2，2），（9，2，2），（11，2，2），（13，2，2），（15，2，2），（17，2，2），（19，2，2），（21，2，2），（23，2，2），（25，2，2），（27，2，2），（29，2，2），（31，2，2），（33，2，2），（35，2，2），（37，2，2），（39，2，2），（41，2，2），（43，2，2），（45，2，2），（47，2，2），（49，2，2），（51，2，2），（53，2，2），（55，2，2），（57，2，2），（59，2，2），（61，2，2），（63，2，2），（65，2，2），（67，2，2），（69，2，2），（71，2，2），（73，2，2），（75，2，2），（77，2，2），（79，2，2），（81，2，2），（83，2，2），（85，2，2），（87，2，2），（89，2，2） （91，2，2），（93，2，2），（95，2，2），（97，2，2），（99，2，2）；当 z=3，x≤100 时方程（1）的正 整 数 的 解 为 ： （x，y，z） =（3，1，3）， (3，2，3)，（6，1，3），（9，1，3），（9，2，3），（12，1，3），（15，1，3），（15，2，3），（18，1，3），（21，1，3），（21，2，3），（24，1，3），（27，1，3），（27，2，3），（30，1，3），（33，1，3），（33，2，3），（36，1，3），（39，1，3），（39，2，3），（42，1，3），（45，1，3），（45，2，3），（48，1，3），（51，1，3），（51，2，3），（54，1，3），（57，1，3），（57，2，3），（60，1，3），（63，1，3），（63，2，3），（66，1，3），（69，1，3），（69，2，3），（72，1，3），（75，1，3），（75，2，3），（78，1，3），（81，1，3），（81，2，3），（84，1，3），（87，1，3），（87，2，3），（90，1，3），（93，1，3），（93，2，3），（96，1，3），（99，1，3），（99，2，3）；当 z=5，x≤100，时方 程 （1） 的 正 整 数 的 解 为 （x，y，z）=（5，1，5），（5，2，5），（10，1，5），（15，1，5），（15，2，5），（20，1，5），（25，1，5），（25，2，5），（30，1，5），（35，1，5），（35，2，5），（40，1，5），（45，1，5），（45，2，5），（50，1，5），（55，1，5），（55，2，5），（60，1，5），（65，1，5），（65，2，5），（70，1，5），（75，1，5），（75，2，5），（80，1，5），（85，1，5），（85，2，5），（90，1，5），（95，1，5），（95，2，5），（100，1，5）。

证 明：因为 z为正素数，gcd（xy，z）=z，由引理 4、引理5、引理8得

设 gcd（x，y）=d，则由引理 6 可设 φ（x）=k1φ（d），φ（y）=k2φ（d），其中 k1，k2为正整数，再由引理 2 得代入式（4）、式（5）得：

化简可得 zdk2=k2φ（d）+z-1，即 z（dk2-1）=k2φ（d）-1，这样可以按k2和d的取值分以下3种情形讨论。

情形一：当 d＝1，k2＝1 时，φ（y）＝φ（d）＝1，所以y＝1，2；又因为 z为正素数，所以可以考虑 z＝2，3，5，…，p（素数）时方程的解；由 gcd（xy，z）=z得：

1）当 z＝2 时，因为 xy 是 2 的倍数且 gcd（x，y）=d=1，所以当 x 为 2 的倍数时，（x，1，2）均为方程（1）的正整数解，所以x≤100时方程（1）的正整数解为（x，y，z） =（2，1，2）， （4，1，2）， （6，1，2）， （8，1，2），（10，1，2），（12，1，2），（14，1，2），（16，1，2），（18，1，2），(20，1，2），（22，1，2），（24，1，2），（26，1，2），（28，1，2），（30，1，2），（32，1，2），（34，1，2），（36，1，2），（38，1，2），（40，1，2），（42，1，2），（44，1，2），（46，1，2），（48，1，2），（50，1，2），（52，1，2），（54，1，2），(56，1，2)，(58，1，2)，（60，1，2），（62，1，2），（64，1，2），（66，1，2），（68，1，2），（70，1，2），（72，1，2），（74，1，2），（76，1，2），（78，1，2），（80，1，2），（82，1，2），（84，1，2），（86，1，2），（88，1，2），（90，1，2），（92，1，2），（94，1，2），（96，1，2），（98，1，2），（100，1，2）；当 x 不为 2 倍数时，（x，2，2）均为方程（1）的正整数解，所以x≤100时方程（1）的正整数解为（x，y，z）=（1，2，2），(3，2，2)，（5，2，2），（7，2，2），（9，2，2），（11，2，2），（13，2，2），（15，2，2），（17，2，2），（19，2，2），（21，2，2），（23，2，2），（25，2，2），（27，2，2），（29，2，2），（31，2，2），（33，2，2），（35，2，2），（37，2，2），（39，2，2），（41，2，2），（43，2，2），（45，2，2），（47，2，2），（49，2，2），（51，2，2），（53，2，2），（55，2，2），（57，2，2），（59，2，2），（61，2，2），（63，2，2），（65，2，2），（67，2，2），（69，2，2），（71，2，2），（73，2，2），（75，2，2），（77，2，2），（79，2，2），（81，2，2），（83，2，2），（85，2，2），（87，2，2），（89，2，2），（91，2，2），（93，2，2），（95，2，2），（97，2，2），（99，2，2）。

2）当 z＝3 时，因为 xy 是 3 的倍数且 gcd（x，y）=d=1，则 x 是 3 的倍数时，（x，1，3）和（x，2，3），x 不是2的倍数时，均为方程（1）的正整数解，所以x≤100 时方程（1）的正整数解 为（x，y，z）=（3，1，3），(3，2，3)， （6，1，3），（9，1，3），（9，2，3），（12，1，3），（15，1，3），（15，2，3），（18，1，3），（21，1，3），（21，2，3），（24，1，3），（27，1，3），（27，2，3），（30，1，3），（33，1，3），（33，2，3），（36，1，3），（39，1，3），（39，2，3），（42，1，3），（45，1，3），（45，2，3），（48，1，3），（51，1，3），（51，2，3），（54，1，3），（57，1，3），（57，2，3），（60，1，3），（63，1，3），（63，2，3），（66，1，3），（69，1，3），（69，2，3），（72，1，3），（75，1，3），（75，2，3），（78，1，3），（81，1，3），（81，2，3），（84，1，3），（87，1，3），（87，2，3），（90，1，3），（93，1，3），（93，2，3），（96，1，3），（99，1，3），（99，2，3）。

3）当 z＝5 时，因为 xy 是 5 的倍数且 gcd（x，y）=d=1，则 x 是 5 的倍数时，（x，1，5）和（x，2，5），x 不是2的倍数时，均为方程（1）的正整数解，所以x≤100 时方程（1）的正整数解 为（x，y，z）=（5，1，5），（5，2，5），（10，1，5），（15，1，5），（15，2，5），（20，1，5），（25，1，5），（25，2，5），（30，1，5），（35，1，5），（35，2，5），（40，1，5），（45，1，5），（45，2，5），（50，1，5），（55，1，5），（55，2，5），（60，1，5），（65，1，5），（65，2，5），（70，1，5），（75，1，5），（75，2，5），（80，1，5），（85，1，5），（85，2，5），（90，1，5），（95，1，5），（95，2，5），（100，1，5）。

4）当 z＝p 时，因为 xy 是 p 的倍数且 gcd（x，y）=d=1，则 x 是 p 的倍数时，（x，1，p）和（x，2，p），x 不是2的倍数时，均为方程（1）的正整数解，即所以方程（1）的正整数解的形式为（x，y，z）=（zαx1，1，z）和（x，y，z）=（zαx1，2，z）。

情形二：当 d＝1，k2≠1 时，由 z（dk2-1）=k2φ（d）-1， 可得 z=1， 方程（1）变为 φ（xy）=φ（x）·（φ（y）+1），再由引理 4 知，此时方程（1）无正整数解。

情形三：当 d＞1 时，由引理 1 知 d＞φ（d），又因为 z≥1，因此无正整数 k2满足条件 z（dk2-1）=k2·φ（d）-1，所以此时方程（1）无正整数解。

3 结 论

本文在z为素数的条件下，对三变元欧拉函数方程 φ（xyz）=φ（x）（φ（y）+φ（z））的可解性进行了研究，得到了方程有正整数解的条件和解的一般形式。然而z为合数的情形显然比z为素数的情形要复杂，在文中没有进行讨论，这是本文的不足之处，也是以后的研究方向之一。