考虑阻尼装置的斜拉索车致非线性振动分析

刘桢杰 李小珍

（1.浙江省交通规划设计研究院有限公司，杭州 310000；2.西南交通大学 土木工程学院，成都 610031）

斜拉索作为斜拉桥的关键组成构件，具有柔度大、质量小、低阻尼等特点，极易受风、雨、车辆等荷载激励发生较大幅值和较为频繁的振动。文献［1］对主跨890 m Tatara大桥的3根不同索长斜拉索进行了振型阻尼测试，其平均对数阻尼实测结果为0.007 4～0.013 0（对应的模态阻尼比平均值为0.12%～0.20%）；文献［2］对长143 m的斜拉索按12∶1制作了缩尺模型并测试了其在4种张力水平下的前6阶模态特性，发现模型各阶模态阻尼比均小于0.35%。可见，依靠斜拉索结构自身的模态阻尼减振效果不佳，且其振动响应衰减较慢，从而加剧了斜拉索的疲劳损伤。

近年来，国内外学者针对斜拉索振动特性和振动控制分析做了大量研究。文献［3-4］在斜拉索内部附加高阻尼材料来抑制斜拉索的振动响应，然而斜拉索振动时产生的附加应变较小，导致其减振效果并不理想。工程中常在斜拉索靠近主梁锚固端附近安装减振阻尼器来提高减振能力。文献［5］分析了黏性阻尼装置对大跨度斜拉索模态阻尼比的贡献，并对比了钢拉索和CFRP（Carbon Fibre Reinforced Plastics）拉索的模态阻尼比特性。文献［6］应用一种国产油阻尼器进行了斜拉索实索减振试验，对比油阻尼器安装前后斜拉索的前3阶模态对数衰减率。文献［7］分析了斜拉索弯曲刚度、垂度、阻尼器阻尼系数及安装位置等参数对斜拉索-阻尼器系统动力特性的影响。研究表明阻尼器对斜拉索振动响应有较大的影响，通过调整阻尼系数及安装位置，斜拉索前3阶模态阻尼比可提高0.6%～1.5%。

本文以一座主跨600 m斜拉桥为工程背景，通过列车-线路-桥梁耦合振动理论求解桥梁主体结构动力响应，将其作为斜拉索端部激励，并采用子结构法从全桥模型中分离出单根斜拉索以大刚度法求解其局部振动响应，探讨车辆荷载激励下阻尼器阻尼参数对斜拉索局部振动特性的影响。

1 计算方法

1.1 列车-线路-桥梁耦合振动模型

列车-线路-桥梁耦合振动系统（图1）是以车辆子系统、轨道子系统、桥梁子系统、车辆与轨道之间的动态轮轨关系、轨道与桥梁之间的动态桥轨关系组成的空间耦合时变系统。

图1 列车-轨道-桥梁耦合振动模型

本文车辆子系统采用35个自由度的二系悬挂四轴机车车辆模型，包括1个车体、2个转向架、4个轮对，共7个刚体。每个刚体均考虑横移、沉浮、侧滚、点头和摇头5个自由度。将钢轨、扣件、轨枕、道床等简化为三层弹性点支撑的支撑梁来模拟有砟轨道结构。桥梁子系统采用有限单元法建立。通过轮轨、桥轨相互作用关系将三大子系统联系起来，利用数值积分求解各子系统的动力响应。列车-线路-桥梁耦合振动理论详细表达式以及相关参数取值参见文献［8-9］。

1.2 斜拉索非线性振动求解方法

高速列车通过铁路斜拉桥时将引发桥梁主梁、桥塔的振动，从而带动斜拉索的局部振动。为便于考虑阻尼器的作用和斜拉索的几何非线性，采用子结构方法从全桥模型中分离出单根斜拉索求解其局部振动响应。

由于车辆荷载激励下斜拉索的振动源自其锚固点位置的位移激励，属于多点激励问题，故可通过大刚度法求解端点位移激励下斜拉索的局部振动响应。基于大刚度法的斜拉索振动分析模型（附加阻尼器）见图2。

图2 基于大刚度法的斜拉索振动分析模型（附加阻尼器）

图中：C为2个成一定夹角安装的阻尼器，便于控制斜拉索的面内、面外振动；oxyz为全桥总体坐标系，o0x0y0z0为斜拉索单元局部坐标系（x0方向与斜拉索轴向平行）；ui，vi，wi为列车荷载作用下桥梁主体结构位移响应（i=1，2，3），并作为斜拉索和阻尼器锚固点的位移激励分别作用于1，2，3号节点；K为斜拉索、阻尼器锚固节点与不动点之间的大刚度，通常取结构总刚度的103～108倍［10］。

应用大刚度法求解端点位移激励下斜拉索振动响应时，需将斜拉索的所有自由度按照锚固节点和非锚固节点分块，绝对坐标系下其运动方程为

式中：Mss，Css和Kss分别为斜拉索非锚固节点自由度的质量、阻尼和刚度矩阵；Mbb，Cbb和Kbb分别为斜拉索锚固点自由度的质量、阻尼和刚度矩阵；Csb和Ksb分别为反映斜拉索非锚固节点自由度与锚固节点自由度之间相互影响的质量、阻尼和刚度矩阵；Cbs和Kbs分别为矩阵Csb和Ksb的转置矩阵；uss，ubb分别为斜拉索非锚固节点、锚固节点自由度的位移列向量，其1阶、2阶导数分别为速度列向量、加速度列向量；u0为作用于斜拉索锚固节点的位移激励列向量，结合图2 可知，u0=（u1/v1/w1/u2/v2/w2/u3/v3/w3）T。

为消除应用大刚度法时Rayleigh 阻尼产生的附加阻尼力，须对u0进行β项修正，详细表达式参见文献［11］。为充分考虑自重垂度、索力对斜拉索结构刚度的影响，采用非线性时程积分法求解式（1）。

2 计算条件

2.1 工程概况

主跨600 m 双线铁路钢混组合梁斜拉桥总体布置见图3。主梁梁高4.5 m，宽24 m，采用3 种结构形式：主梁中跨286 m 梁段采用钢箱双主梁，边跨采用整体预应力混凝土箱梁，钢箱双主梁与混凝土箱梁之间采用混凝土双主梁连接。桥塔采用高低塔形式，低塔为A形桥塔，桥面以上塔高129 m，桥面以下塔高40.8 m；高塔为Y 形桥塔，桥面以上塔高242 m，桥面以下塔高27 m。斜拉索呈双索面布置，全桥共设98对斜拉索。

图3 主桥总体布置（单位：m）

2.2 计算参数

为探讨车辆荷载激励下阻尼器阻尼参数对斜拉索局部振动响应的影响，列车模型采用CRH2动车组，车辆编组为重联（动车+拖车+5 节动车+拖车+动车），共16 节，车速200～350 km/h。轨道不平顺采用德国低干扰谱转换的时域不平顺样本［9］。

采用Rayleigh阻尼模式考虑全桥结构阻尼和斜拉索单索结构分布阻尼，桥梁总体结构阻尼比为1.5%，单索阻尼比为0.15%，参考频率均考虑第1阶和第20阶［12］。

3 算例

3.1 计算工况

车辆荷载激励易引起桥上部分斜拉索发生主共振振动，其振动响应明显超过未发生主共振振动的斜拉索［8］。经计算，R⁃M33，R⁃M27，R⁃M9 号斜拉索分别在车速200，300，350 km/h 时振幅较大，且振动衰减缓慢，即发生了明显的1 阶主共振响应。故取上述3 种斜拉索进行车辆荷载激励下的局部振动分析。CRH2列车以200 km/h 通过桥梁时，R⁃M33 号斜拉索与主梁、桥塔锚固点位置的动力响应及R⁃M33 号斜拉索的局部振动响应见图4。可知：①CRH2列车在桥上运行时间约20 s，列车驶离桥梁后，主梁、桥塔振动响应已急剧减小，斜拉索仍然维持大幅振动，振动幅值沿时间历程衰减较慢，即斜拉索自身的结构阻尼比抗振动衰减能力弱；②发生1 阶主共振的R⁃M33 号斜拉索振动频率为0.238 Hz，与该斜拉索基频一致。

图4 车辆荷载激励下桥梁动力响应

为探讨阻尼器阻尼系数、安装位置对车辆荷载激励下1 阶主共振斜拉索局部振动响应的影响，按表1所列参数进行建模计算分析。其中，阻尼器的安装位置参考文献［13］相关研究成果并结合工程实际进行取值。

表1 斜拉索局部振动响应分析参数

3.2 斜拉索局部振动响应分析

对比不同阻尼条件下斜拉索的局部振动响应差异，绘制响应时程曲线见图5、图6。可知，黏性阻尼器安装位置相同、阻尼系数不同时，除振幅沿时间历程衰减程度不同以外，斜拉索振动响应时程曲线之间存在时间差，即3条曲线并非同一时刻达到振幅最大值；当阻尼器的阻尼系数相同，而安装位置不同时，斜拉索局部振动响应时程曲线也存在时间差。

图5 斜拉索中点局部振动位移时程（2.5%L）

图6 R⁃M33号斜拉索中点局部振动响应时程（c=200 N·s·mm-1）

取图4（b）中 65～150 s 作为R⁃M33 号斜拉索自由振动时程，研究阻尼器对斜拉索局部振动特性的影响。不同阻尼参数对斜拉索自振频率的影响见图7。

图7 不同阻尼参数对斜拉索自振频率的影响

由图7可知：①阻尼器安装位置一定时，随着阻尼系数的增大，斜拉索频率呈上升趋势，并在阻尼系数为0～300 N·s/mm时变化最明显；阻尼系数一定时，阻尼器安装位置4.0%L对应的斜拉索频率更大。②阻尼系数、阻尼器安装位置均会影响斜拉索振动频率，从而影响斜拉索振动周期，导致振动响应时程曲线出现时间差。

R-M33斜拉索在一个振动周期T内某时刻各节点沿z方向的振动形状见图8。可知，阻尼系数较大时，在索长为11.5 m 处（即阻尼器安装位置）斜拉索基本无变形，且斜拉索在0.15T～0.35T的形状改变情况与不设阻尼器时接近。这说明阻尼系数并不是越大越好，阻尼系数太大，相当于与阻尼器相连接的斜拉索节点固定，仅仅缩短了斜拉索自由振动长度，对减振贡献不大。

图8 R⁃M33号斜拉索各节点沿z方向振动形状（2.5%L）

对 R⁃M33 号斜拉索 1/4 点在 0～150 s 段的局部振动频域响应进行了归一化处理，得到局部振动归一化频谱，见图9。可知：①斜拉索1/4 点振动响应包含其1 阶、2 阶振动频率特性，且当阻尼系数c=200 N·s/mm时，其2 阶振动频率成分占比明显减小；②与图5 和图 7 对比可知，阻尼系数c=200 N·s/mm 时，斜拉索减振效果较好，振动形状相对简单，为自振频率对应的振型形状。

图9 R⁃M33斜拉索1/4点局部振动归一化频谱

目前通用的阻尼器减振效果评估方法是测量斜拉索在安装阻尼器后低阶模态的阻尼比ξ［6］。自由振动衰减法是测量阻尼比最简单、最常用的方法。本文采用文献［5］的方法获得斜拉索自由衰减振动响应时程曲线，并通过式（2）计算相隔m个周期的2个位移幅值之比来确定系统的阻尼比，绘制阻尼系数与1 阶模态阻尼比关曲线（图10）。

式中，vn，vn+m分别为斜拉索自由衰减振动曲线第n个和第n+m个振幅的峰值。

图10 阻尼系数与1阶模态阻尼比关系曲线

由图10可知：①随着阻尼系数的增大，3根斜拉索的1阶模态阻尼比的变化规律一致，均先增大后减小，且当阻尼系数相同时，各斜拉索1 阶模态阻尼比相差在16%以内，差异不大。②阻尼器安装位置离斜拉索端部越远，斜拉索1阶最优模态阻尼比越大，对应的阻尼系数越小。③车辆荷载激励下发生1阶主共振斜拉索的振动响应中斜拉索基频成分占较大比例，通过在斜拉索锚固端附近安装阻尼器来抑制斜拉索振动，可以参考斜拉索1阶模态阻尼比计算结果选择合适的阻尼器阻尼系数。

4 结论

1）阻尼器阻尼参数（阻尼系数、安装位置）的改变对斜拉索局部振动特性有一定影响，阻尼系数取值越大、安装位置离斜拉索端部距离越远，斜拉索自振频率增大越明显。

2）阻尼系数并不是越大越好，若取值过大对减振贡献小；阻尼系数存在最优取值范围，该范围内阻尼器的减振效果最佳，且有助于减小斜拉索局部振动响应的高频成分比例，使自由振动阶段斜拉索各个周期内的振动形状更简单。

3）随着阻尼系数增大，各斜拉索的1 阶模态阻尼比的变化规律一致，且当阻尼系数相同时，各斜拉索1阶模态阻尼比数值相差在16%以内，差异不大；阻尼器安装位置离斜拉索端部越远，斜拉索1 阶最优模态阻尼比越大，其对应的阻尼系数越小。

4）通过在斜拉索锚固端附近安装阻尼器来抑制频率分布较集中的1 阶主共振斜拉索振动，可以参考斜拉索1阶模态阻尼比计算结果选择合适的阻尼器阻尼系数。