例谈分段数列*

福建省泉州市第七中学 (362000) 纪建灵 黄永生 饶真平

分段数列逻辑性强，灵活度大，在试卷中经常扮演选择填空压轴题的角色.本文从分段数列的特点出发，归纳分段数列的考查类型及易错点，希望对考生突破高考数列压轴题有所帮助.

1分段数列特点

①通项公式分段，如数列{an}，满足

②递推关系分段，如数列{an}，满足a1=1，

2 分段数列类型

类型一 由通项与前n项和的关系

例1 已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn,且an+1=(a-1)Sn+2，其中a>1，求{an}的通项公式.

类型二 由奇偶分类引起分段

评析：数列{an}中含有(-1)n，sinnπ，cosnπ，…时，需对n进行奇偶性讨论，通过研究奇数项和偶数项的特征，求得通项公式；求Sn时，可先讨论n为偶数的情形，此时奇数项与偶数项的项数相等，比较简单.n为奇数时，可通过递推关系Sn=Sn+1-an+1直接求得.

类型三 由递推关系引起分段

类型四 由绝对值讨论引起分段

例4 数列{an}是递增的等差数列，且a1+a6=-6，a3a4=8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n的和Tn.

解析：(1)易得an=2n-10.(2)记Sn=a1+a2+…an，则Sn=n2-9n.当n≤5时，an≤0；Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=9n-n2；当n≥6时，an>0，则Tn=-a1-a2-…a5+a6+a7+…an=-2S5+Sn=n2-9n+40.

评析：本例中直接求数列{|an|}的前n项和比较困难，需要对的正负性讨论.当n≤5时，|an|=an，Tn为{an}的前n项和；n≥6时，数列{an}中的项有正有负，需要分段讨论.

分段数列试题不仅考查基础知识，更侧重考查考生的运算能力、理解能力、推理能力、论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法等.考生遇到分段数列时，可以先通过合情推理，大胆猜想，再演绎论证，归纳总结，逐步培养并形成解决分段数列问题的思维习惯.