浅谈混合式教学在高校课程中的应用——以《数学分析》为例

丁 盈 李素兰

（浙江工业大学理学院 浙江·杭州 310023）

一般来说，混合式教学是指把网络教学的优势和传统教学的优势结合起来的一种“线上+线下”的教学模式。通过“线上+线下”两种教学的有机结合，混合式教学能引导学习者由浅到深地学习。在学习过程中，该模式既能发挥教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又能充分体现学生作为学习主体的主动性、积极性与创造性。

数学分析课程是浙江工业大学健行学院理科实验班的大一必修科目，也是很多后续课程的基础，其重要性是显而易见的。但这门功课对于初入大学校门的新生来说，难度较高。分析原因主要有三。首要原因是学生不易改变已有的思维方式，对抽象的概念的理解往往不到位。其次是学生不适应高校的教学模式。学生往往对教师有很大的依赖性，缺乏自主学习的能力。第三是学习方法有待提高。学生往往重视刷题而轻视归纳和应用。

健行学院理科实验班的学生来源主要由三部分组成，一是三位一体招考入学，二是高考高分考入，三是在大一第二学期初由全校优秀学生选拔进入。总体来看，这些学生的学风端正，心态积极，综合素质高，而且数学基础知识比较扎实。但我们也发现，这些学生存在某些不足。例如，健行学院的学生定位较高，学生要完成的学业量要远远高于其他学院。这就在客观上造成了学生精力分散、学习时间不足的现象，进而形成学生无法对所学课程深入思考，却只能浅尝辄止的结果。主观上，学生与学生之间的差异较大。一些学生对上课的重点要点只能看到表象无法深入，缺乏理解能力；一些学生只能模仿，无法独立思考，缺乏举一反三的能力；一些学生对课堂内容掌握得较好，但无法由点到面，缺乏对知识整体性的理解；还有些学生掌握知识的能力较强，但缺乏处理实际问题能力。

对此，我们在已有的线下课基础上，对数学分析课程进行了混合式教学模式的改革，重点增加线上课程，强调线下线上课程的结合。我们通过线上课程为学生提供教学视频、教学电子图书、作业实时反馈等，通过线下课程为学生精讲细讲课程的重点难点，与学生进行面对面的交流、互动与激励，以期通过两种模式的融合，扬长避短，最大限度地发挥两种模式的优势，因材施教，让学生获得个性化的教学辅助，充分享受各种有针对性的教育资源。在本次改革中我们主要做了以下工作。

1 通过线上课引导学生理解数学问题产生的背景，通过线下课给出学生解决问题的概念和方法

数学问题往往是从实际生活中产生的。因此在学习如何解决数学问题的过程中，背景介绍就不可或缺。介绍背景不仅可以帮助学生理解问题本身，也可以帮助学生透过现象看本质，逐渐养成用数学思维看问题的习惯。为此，在每次推出新的数学概念之前，我们都会在线上课中给出详细的背景介绍。例如，在给出导数概念之前，我们会在线上课中给出用牛顿和莱布尼兹的方法分别求运动物体的平均速度和任意曲线的切线方程的背景介绍；在给出泰勒公式之前，我们会在线上课中用多项式来逼近拟合函数，用高次泰勒多项式提高精度并讨论函数；在给出定积分概念之前，我们会在线上课中给出切块求曲边梯形面积和变速物体运动路程的模型介绍。通过网络视频、计算机模拟和动画效果等线上手段，可以极大地激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，增强学生对问题的直观感受。在此基础上，在面对学生进行线下教学时，我们不仅可以针对问题直接给出抽象概念和操作方法，还可以在给出概念和方法之后返回实际背景，在背景中找到相应的要素，实现理论和实际的结合。这样通过线上线下课的配合，有效地避免了学生在学完某一章节的内容后，虽然知道具体的概念方法却不知道如何应用以及在哪里应用的现象的出现。

2 通过线下课精讲细讲重要的概念和定理，通过线上课厘清概念定理之间的差异

众所周知，概念和定理是学习数学的重中之重。在学习重要的概念和定理最好采用面对面的交流与互动，这不但有利于学生反馈掌握程度教，而且有利于师掌控学生的理解情况。因此，我们在线下课中安排了精讲细讲重要概念和定理的环节。例如，在讲解数列极限存在的“-N”语言时，我们分别从的任意性，N的存在性，以及nN的任意性等角度着手，结合几何直观，反复讲解。在学生对概念有了一定认识之后，我们通过具体实例来寻找N，让学生在实际操作中体会到和N的意义。我们还运用反例角度辅助学生理解和N的关系。之后，再通过介绍函数极限性质的证明，让学生逐渐熟悉这个概念并学会应用。在线下精讲细讲后，为了帮助学生厘清各类概念定理之间的差异，我们在线上课专门对此进行比较。例如，我们在线上课中对数列极限存在的“-N”语言和函数极限存在的语言进行了比较。比较的重点放在N与的差别和联系上。又如，我们在线上课中对收敛数列的有界性和函数极限存在时的局部有界性仅了比较，重点放在讲清为什么后者只是局部有界而非全局有界。这样的比较能使学生通过对前后知识进行对比梳理，加深理解,避免出现由于概念定理混淆导致解题时思路混乱的现象出现。

3 通过线上课抛出问题并引导学生多角度思考，通过线下课用多种方法解题

从不同的角度思考数学问题往往会给出不同的解法。一题多解不仅能让学生牢固地掌握和运用知识，而且能开阔学生思路，培养学生的创造力。因此我们鼓励学生多角度地思考问题和比较问题。我们常常在线上课中先给出一些可以一题多解的例子，拓宽学生的思路，然后抛出问题，引导学生自己从多个方面进行思考。例如，在计算极限时，我们给出不同类型的题目，提示学生从极限的定义、等价无穷小的比较、泰勒展开公式、极限的运算法则、重要极限、洛必达法则、微分中值定义、夹逼定理、单调有界定理等多个角度入手。又如，在函数求导的过程中，我们提示学生可以用从复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导等多角度入手，并让学生自行演算。在深入思考一段时间后，我们组织线下课，和学生面对面地逐一对这些题目进行讲解比较。我们让学生在黑板上展示不同的做法供大家参考借鉴，使学生能通过对不同解法的比较体会到每种解法的着眼点，相互之间的联系和区别，以及每种解法的优势和劣势。这样不仅加深了学生对问题本身的理解，而且能引导学生触类旁通地把解法迁移到其他问题中去，从而达到一题多解的目的。

4 通过线下课详细讲解知识要点，通过线上课归纳总结对比知识点之间的脉络关系

数学分析这门课程的内容繁多，知识点之间的关系紧密，一环扣一环。而初学者在学习过程中往往只重视当次所讲的要点，而忽视要点和要点之间的关联。时间一长，容易造成知识点割裂散碎的现象出现。于是，对知识点进行梳理，使之成为有机整体，就显得格外重要。因此，我们一般安排在线下课中详细讲解知识要点，在线上课中归纳总结知识点之间的联系。例如，在线下课中讲了函数的可微性后，我们会在线上课中把它和等价无穷小量联系起来；在线下讲了微分中值定理后，我们会在线上总结它和函数可微性之间的关系；在线下讲了泰勒公式后，我们会在线上把它和等价无穷小、函数可微性以及微分中值定理串起来讲。通过这样的串讲，学生容易体会到几个要点之间的联系。又如，在线下讲了多元函数的性质后，我们会在线上总结对比一元和多元函数的各种性质。我们从连续性、可微性、可导性等角度出发，给出两者之间的联系和差别，让学生认识到多元函数不是一元函数的简单推广，一旦维数增加，情况的复杂程度会大大增加。在线上课的示范下，学生会逐渐学会对学习内容进行归纳总结。这些总结能使学生对自己的薄弱环节有更清晰的认识，从而促成更有针对性的高效复习。

5 通过线下批改作业指出学生错误原因，通过线上课统一讲解易错点和关键点

作业反馈是学习数学分析课程必不可少的环节，它能帮助学生明确自己在认知上存在哪些错误和不足。这些错误和不足中，有些是由于学生自身理解不到位造成的，有些是具有共性的。对这两种类型的问题，我们采用了区别对待的方法。对于个别学生的问题，我们通过线下一对一的方式解决。我们往往采用面谈的方式分析错误所在，中间穿插知识点的讲解，并要求学生订正。对于有共性的问题，我们会在线上课中一起讲解。讲解不仅包括错误和不足点，也包括由此引申出的相关知识点。这些讲解能把学习的重点、难点和关键点集中起来，帮助学生辨析知识点，有助于学生系统学习知识，做到及时回顾整理，起到温故而知新的作用。同时，对于一些线下课已经讲过但对部分学生来说仍然难以掌握的问题，我们也会在线上课中重新讲解，让学生通过回放的方式反复理解直至掌握。

综上所述，我们在本次《数学分析》混合式教学的教学改革中，通过“线上+线下”两种教学的有机结合，为学生提供了多样化的学习途径，为培养学生学习的主动性、创造性提供了有力的保障。希望本次改革能对后续的其他实践活动产生一定的参考意义。