中学课程“思维建模”教学意义探析

曹炳友

(山东省泰安第二中学，山东 泰安 271000)

思维建模是借助于一些特定的工具和方法，将内在思维过程建立模型，进行可视化表征的认知方法①D·H·乔纳森，祝智庭．技术支持的思维建模［M］．上海:华东师范大学出版社，2008．。它是将未知转化为已知，用已知解决未知，通过将研究对象概念、方法、理论进行具象、汇整，继而转化为普遍的认知规律，生成一个已有的关系、共性或结构，用以解决现实问题的思维方法。近几年，思维建模已在生物、化学、地理、语文等学科得到广泛的应用实践，已成为创设建构主义课堂的一种重要工具和认知方法，诸如:赵苹②赵 苹．生物教学中实施思维建模的策略［J］．新课程学习(综合)，2010(7):125－125．探索了高中生物教学中实施思维建模的策略;韩殿君③韩殿君．思维建模在中学化学教学中的应用［D］．天水:天水师范学院，2017．系统研究了思维建模在中学化学教学中的应用，并提出了应用策略;夏清滢④夏清滢．高中生地理思维建模能力的评价研究［D］．南京:南京师范大学，2015．探索了高中生地理思维建模能力评价的研究，提出了培养高中生地理思维建模能力的建议;司礼霞⑤司礼霞．基于思维建模的初中地理综合思维能力培养路径［J］．启迪与智慧，2020(7):5．研究了基于思维建模的初中地理综合思维能力培养的路径;方东流⑥方东流．群文读写思维建模［J］．教育科学论坛，2020(9):45－51．立足阅读教学以及写作原理，借助两则教学案例，探究了读写思维建模。

数学是其他诸多学科的基础，解决实际问题离不开提取数学思维模型的精华。数学思维建模，就是借助于一些特定的工具(例如:思维导图、概念图示、比较表格等)和方法，将自己对数学知识和解决数学问题的思维过程建立模型，并进行可视化表征的认知方法。数学思维建模有利于学习者自主建构数学知识并形成系统的知识体系，有利于学习者发展抽象、类比、归纳等高阶思维能力，有利于学习者全面提升数学核心素养。

一、“思维建模”教学是建构主义学习理论的一个实践案例

(一)由建构主义的知识观看

建构主义知识观认为，知识并不是对现实的准确表征，也不是最终答案，而只是一种解释、一种假设;知识并不能精确地概括世界的法则，在具体问题中，并不能拿来就用，而是要针对具体情景进行再创造;尽管我们通过语言符号赋予知识一定的外在形式，甚至这些命题还得到了普遍的认可，但并不意味着每个学生对这些命题都会有同样的理解，因为理解只能由学生基于自己的经验背景建构起来，取决于特定情境下的学习历程。具体到教育领域，应明确:知识并非绝对的真理，教师不能用知识的权威来压制学生的创造性，要培养学生的批判性精神。“思维建模”教学主张学生在建构知识、方法和经验时，要敢于评价和质疑，要用批判性思维去分析前人所建立的知识和经验，在批判的过程中，逐步把握知识的本质，使认识向真理更靠近一步。同时，在建构自己的方法和经验时，也要对自己的思维成果不断地反思和评价，要多验证即将形成的结论，多听别人的意见和看法，使这些结论经得起时间的检验。

(二)由建构主义的学生观看

建构主义学生观强调，学生的经验世界是丰富的，学生的潜能是巨大的;同时强调学生经验世界的差异性，每个学生着眼问题的角度不同。学生不是空着脑袋走进教室的，教师要了解学生已有的知识和经验，引导学生理解新材料或修正以往的概念。“思维建模教学”主张，在建模过程中，学习者要根据先前的知识和经验，使用所给予的物件和工具探究当前的情境，建构起对当前情境的理解，并将自己的理解表达出来。在这个过程中，还要完成“概念转变”的任务，因为有的学习者大脑所存有的许多先前概念中，有正确的也有错误的，有完整的也有片面的，“概念转变”就是试图理解和解释这些先前的“迷思概念”是如何转化为科学概念的。建立思维模型，可以有效促进学生对知识的理解和转变概念。

(三)由建构主义教学观看

建构主义教学观认为，学习不是由教师向学生传递知识，而是学生建构自己知识的过程。学习者不是被动的信息吸收者，相反，他们要主动地建构意义，不能由他人代替;学习是通过对某种社会文化的参与而内化相关知识和技能、掌握有关工具的过程，这一过程需要学习共同体的合作互动来完成;知识存在于具体、情境性的、可感知的活动之中，不是一套独立于情景的知识符号，只有通过实际应用活动才能真正被人理解。学习的主动建构性、社会互动性和情境告诉我们:教师要促进学生的自主学习、合作学习和探究学习。将思维建模教学过程设计为“学习新知”“尝试建模”“修正表征”“巩固应用”四个环节，“学习新知”环节结束后，教师引导学生立足于知识的情境，自主建构其中的“思维模型”，进行“回顾知识、梳理思维、提炼归纳”，用精炼的语言以及适合的建模工具建立思维模型。然后，学生应用已有的思维模型尝试解决教师提出的问题，对模型进行评价、反思和调整，保留模型中合理的成分，在师生互动下修改模型中不合理的因素，运用适当的建模工具表征模型，最后通过刻意训练巩固模型。这样，建构主义理论便给“思维建模”教学赋予了科学性和实践意义。

二、“思维建模”教学有利于落实教学核心素养目标

教育部《普通高中数学课程标准》(2017年版)①中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［M］．北京:人民教育出版社，2018．(以下简称“标准”)提出了普通高中数学六个核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中四个核心素养涉及到对模型构建的要求，即数学抽象素养、数学建模素养、直观想象素养、数据分析素养。针对数学抽象素养，《标准》中谈到:“数学抽象主要表现为，获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系”。提出模型是数学抽象的思维成果之一，例如，通过对细胞分裂次数和分裂后细胞个数的关系规律等问题的抽象，获得了“指数函数”概念模型;通过对某些“有序”计数问题的抽象，获得了“排列”概念;通过对自然界和人们生活中某些变量分布规律的抽象，获得了“正态分布”模型，等等。数学中的许多概念模型、方法模型、经验模型，都离不开数学抽象。

针对数学建模素养，《标准》中谈到:“数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”。解决实际问题是数学教学的一项重要任务，体现了数学教育的应用价值，对学生的终生发展意义重大。不同的问题，蕴含着不同的数学模型，教育和引导学生了解常用的数学模型，熟悉数学建模的基本流程，进而培养学生提出问题、分析问题、解决(建立模型)问题的能力，提高学生实践应用素养。

针对直观想象素养，《标准》中谈到:“借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。”数学是研究现实世界数量关系与空间形式的一门科学，有些空间形式问题直接与空间几何体模型相关联，研究某些“数”的问题，可以利用其几何意义转化为“形”，通过“形”的直观模型解决问题，从而大大弱化其抽象性。

针对数据分析素养，《标准》中谈到:“数据分析过程主要包括，收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推理，获得结论。”大数据时代，人们的生活和工作离不开数据和数据分析，数据模型在预测和控制方面发挥着越来越大的作用，因此，指导学生掌握从收集数据到构建模型，进而用模型进行推理和获得结论的数据分析流程，具有很强的现实意义。

总之，模型素养是数学核心素养的重要内容，史宁中教授把数学基本思想归结为三个核心要素:抽象、推理、模型。他同时指出:“通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界的故事，构建了数学与现实世界的桥梁”。因此，增强模型意识，提升建模能力，通过建构思维模型内化数学知识、解决数学问题，是指向国家课程标准要求、精准落实数学核心素养、全面提升学生数学关键能力的根本性措施。

三、“思维建模”有利于学生深刻理解学科知识

学习数学应把对知识的理解放在首位，在这个过程中，不同人有不同的学习方法。由于数学知识的抽象性较强，有人往往花了大量时间和精力也没能很好地理解有关知识，其中可能存在思维方法的问题。“思维建模”的任务之一是站在思维层面上研究如何解决知识层面上的问题。“背景引入——典例解析——概括属性——给出定义——概念辨析——概念应用——建立联系”，这一模型可以有效提升学生对知识的理解和掌握。

运用“背景引入——典例解析——概括属性——给出定义——概念辨析——概念应用——建立联系”这一思维模型教学数学概念，能使概念的产生基于一定的知识情景或生活情景，顺应从具体到抽象的认识事物的过程建立概念，同时在概念的辨析和联系中把握概念的本质特征，并在应用中进一步巩固概念，有效地提升了对科学概念的认知水平。

四、“思维建模”有利于发展学生的思维能力

“思维建模”过程包括“分析”“建模”“用模”三个阶段。“数学是思维的体操”，数学思维建模恰好迎合了数学学科本身对学习者思维灵活性的客观要求，是学习者提高思维水平和创造能力的有效途径。

分析。分析的过程主要是对一类特定的研究对象(原型)的主要信息进行抽象、概括的过程。在构建“数学概念的抽象过程”思维模型时，可列举出多个数学概念作为分析的对象。分析的目的在于把握这些研究对象的本质特征，这个过程有效地锻炼了学生的分析、比较以及抽象等思维能力。

建模。建模的过程主要是运用抽象思维，对研究对象的主要信息和本质特征做出必要的简化、假设和一般化处理，并用适当的文字、公式、符号等方式去再现研究对象功能、结构和关系。在对上述不同数学概念的形成过程进行分析之后，接下来要横向分析这些概念的形成过程，抽象、归纳出它们在形成过程的“相似”环节，把这些“相似”环节固化下来，用准确、形象、简洁的名词加以表征，形成所需要的模型。例如每一个数学概念的提出都离不开一定的背景，如生活背景、学科背景、知识背景等，由此可抽象出“背景引入”;之后，我们会拿一些与概念相关的例子去分析其属性，进而概括出它们的共同属性，于是又抽象出“典例解析”“概括属性”环节等等。这样，建立数学概念的过程可抽象成如下的思维模型:“背景引入——典例解析——概括属性——给出定义——概念辨析——概念应用——建立联系”，这个过程很好地锻炼了学生的比较、抽象、概括能力。

用模。用模主要是通过逻辑思维方式，运用已建构的思维模型去解释研究对象(原型)和解决实际问题。在上面的问题中，有了抽象数学概念过程的思维模型，就可以应用模型来建立数学概念了。

由此可见，分析、建模、用模三个阶段，与多种思维方式相伴，从记忆、理解、运用等低阶思维方式，到分析、抽象、归纳、综合、评价、创造等高阶思维方式，在每个环节都能体现出对学生思维能力的锻炼。

五、“思维建模”有利于提高学生的学习效率

学习数学课程，首先要学习数学知识，没有数学知识，就没有数学能力，进而就不会有数学素养。数学知识包括概念、性质、法则、公式、定理等，数学方法也可以看作知识范畴。提高学生学习知识的效率，首先取决于把“知识”摆在什么位置。因此，从模型的角度看，需要重构概念教学，通过重构，发掘概念的实用价值。所有好的学习方法背后的底层逻辑是“结构化思维”，模型能够提高学习效率是因为模型首先是一种结构化思维，当我们对某一类知识或某一类方法建构了思维模型后，只要触及到这个模型的一个因素，那么模型的其他因素就在瞬间被激发出来。例如，如果已建构了一个关于平面向量数量积计算方法(定义法、投影法、基底法、坐标法)的思维模型后，当回忆起这个模型中的一种方法时，其它所有的方法就会很快涌现出来，即使首先想到的方法对解决某个问题不奏效，我们总能在其它方法中找到适合的方法，这在一定程度上提高了解决问题的效率。因此，应充分应用模型解决问题，一方面发挥模型的高效作用，体会模型在解决问题时的便捷性;另一方面，通过应用模型察觉模型的不足，及时调整、优化和丰富模型。伴随着模型的进一步应用，就能逐渐将模型“固化”下来，最终达到“自动化”的程度，从而发挥出模型的最大价值。

综上所述，将思维模型嵌入课程教学过程，能让学生对知识的理解更深刻，对方法的把握更灵活，对问题的解决更高效。思维建模为提高学生的抽象概括能力、聚合思维能力、批判性思维能力、创造性思维能力，提供了很好的支持。思维建模能在短时间内整合自身或他人的经验，使之形成思维模型，并通过应用此模型发挥经验。因此，建构并应用思维模型解决问题，是培养学生学习兴趣、优化学生思维方法、提高学生核心素养的有效措施。