区间互补判断矩阵一致性水平修正的离散化方法

吴志彬,陈 雪,徐玖平

(四川大学商学院,四川成都610065)

1 引言

多属性决策是现代商业社会常见的一类决策问题.决策者常常使用Saaty[1]提出的层次分析法来解决经济管理领域的各种复杂决策问题.这一方法的核心思想就是将备选方案两两配对比较,构造判断矩阵来反映方案的排序情况[2-4].然而,由于复杂和不确定的社会经济环境以及人类判断的内在主观性质,有时难以获得准确的判断.在与研究领域相关人员的交谈中以及从文献中发现,企业界和学术界均已经使用多种方法来处理及表示这种不确定性.区间判断矩阵就已经广泛应用于多属性评价和决策中表示人们的主观判断信息,以解决偏好信息的不确定性和偏好强度的模糊性.然而,使用区间判断矩阵进行决策有两个亟待解决的问题:如何定义区间判断矩阵的一致性指标?如何修正不满足一致性水平要求的区间判断矩阵? 常用的区间判断矩阵主要为区间互反判断矩阵和区间互补判断矩阵[3,5],本文集中于讨论区间互补判断矩阵.

同判断矩阵一样,区间判断矩阵的一致性指标可用来判断决策者给出的判断是否是合理的和符合逻辑的.由于区间偏好具有不确定性,初始的区间互补判断矩阵很难满足给定的个体一致性水平[6].高度不一致的判断矩阵可能产生误导性的决策结果.但是,学术界对区间互补判断矩阵的一致性指标定义还没有达成共识.Liu 等[7]考虑了所有区间边界值的排列组合,定义了区间互补判断矩阵的弱一致性指标,以此反映决策者的有限理性程度.此外,Wang[8,9]对区间偏好的最大值和最小值求取几何平均值,定义了区间互补判断矩阵的几何一致性指标.这些一致性指标定义方法仅考虑了众多区间内部偏好信息的排列组合中的某种特殊情况[10],而且当其一致性指标定义不被满足时不能得出其不一致性水平具体达到的程度[6,11].为此,Dong等[12]将区间偏好看作正态分布,定义了区间互补判断矩阵的均值一致性指标,也定义了最优一致性指标和最差一致性指标.最优一致性和最差一致性指标能反映从属于区间互补判断矩阵的确定型互补判断矩阵的一致性水平范围.首先,当为提高决策者偏好的一致性水平,为他们提供辅助的修正意见时,决策者希望知道他们给出的不确定判断矩阵信息中包含的所有确定型判断矩阵中最差的一致性水平不会低于多少.其次,当区间互补判断矩阵最优一致性指标和最差一致性指标得到了改进,其均值一致性指标在某种程度上也得到了提升.因此改进区间互补判断矩阵的最优一致性指标与最差一致性指标具有重要的理论意义,能较为科学全面地保障决策者所给偏好信息的质量和可靠程度.

当区间互补判断矩阵未达到预定的一致性水平要求时,需要调整区间偏好[13].各种区间判断矩阵一致性指标及其改进方法被提出,这些方法在特定的研究背景中都取得了比较好的效果，但已有研究仍然存在不足之处.Dong 等[12]仅讨论了改进均值一致性指标的方法,迫切需要建立改进区间互补判断矩阵最优一致性指标和最差一致性指标的方法.另一方面,现有的部分一致性指标改进方法提出的建议往往是连续的数值[13].然而,决策者使用的原始判断标度往往是有具体含义的离散标度集[6,14],因此可假设决策者更容易接受符合离散标度集的修正意见.基于以上分析,本文提出了互补判断矩阵个体一致性指标改进的新的迭代方法,进而建立了改进区间互补判断矩阵的最优一致性指标和最差一致性指标的方法.这些方法给出的建议符合初始的评估标度集,更易于被决策者理解.算例及比较分析验证了本文所提方法的有效性.

2 互补判断矩阵的一致性

本节首先回顾了经典的互补判断矩阵的一致性定义,接着提出了一种迭代方法来识别不一致元素,用于改进互补判断矩阵的个体一致性水平.

2.1 互补判断矩阵的一致性定义

设X={x1,x2,...,xn}为方案集,记N={1,2,...,n}.决策者对X中的方案两两比较后构成矩阵F=(fij)n×n.

定义1[15]若矩阵F=(fij)n×n满足fii=1,0 ≤fij≤1,fij+fji=1,∀i,j ∈N,i/=j,则称矩阵F为互补判断矩阵.

F中的元素表示方案xi优于方案xj的隶属程度.fij＞1/2 意味着方案xi优于方案xj,fij=1/2 意味着方案xi与方案xj具有同等的重要性.决策者在给出其判断偏好时,仅须提供矩阵中上三角位置的元素,下三角元素可通过互补性得出,即fij+fji=1.

在决策过程中,决策者需要依赖于一个评估标度集,来表示fij的取值.最常用的两个标度集为

S[0,1]={0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1},S[0.1,0.9]={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}.

S[0,1]与S[0.1,0.9]均为离散的标度集,其中每一个元素本质上对应一个语言判断或语言术语.决策分析的方法通常假定决策者接受一个给定的离散语言标度集(与一个具有有限的奇数个元素的语言术语集相对应),从而使得他们给出的偏好更易于理解和后继分析.标度集S[0,1]考虑了0 和1 两个极端偏好,而已有大部分相关献给出的例子并没有极端偏好值.使用哪种标度集并不影响后文算法的提出,因此不失一般性后文所提出的方法假定决策者在给出偏好时基于的标度集为S[0.1,0.9].

定义2[16]若互补判断矩阵F=(fij)n×n满足fij+fjk+fki=3/2,i,j,k ∈N,则称F是完全一致的互补判断矩阵.

定义3[17]互补判断矩阵F=(fij)n×n的一致性指标CI(F)定义为

式(1)可写为

一致性指标从侧面反映了个体偏好的理性程度.CI(F)度量了F的基数一致性水平.如果CI(F)=1,则称F为一致性互补判断矩阵.对于给定的阈值CI,若CI(F)≥CI,则称F具有满意的一致性水平.

2.2 互补判断矩阵的一致性改进原理

2.3 互补判断矩阵的一致性改进方法

由2.2 节的分析可知,为达到提高修正速度、减少迭代次数的目的,需要在原始矩阵元素中选取|ρij|最大值时对应的偏好(最不一致元素)进行修改.在不改变FS中元素的正负号的原则下,修改量越大,对提高一致性指标的作用越大.因此,对于给定的互补判断矩阵,一致性指标改进的步骤如下.

表1 算例1 的结果Table 1 Results for example 1

文献[18]在修改此算例时,先后修改了f24与f34,是此判断矩阵个体一致性修正的另一种可行的方法.但是文献[18]并未定义元素的修改范围.文献[19]提出了一种离散化修改的迭代方法,采用文献[19]的方法修改此算例,修改的也是f24与f34两个元素,上三角的修改量为0.7,与本文方法得到的修改量相同.

3 区间互补判断矩阵的一致性

本节首先引入区间互补判断矩阵的最优一致性指标与最差一致性指标的定义,随后将算法1拓展应用于区间互补判断矩阵的一致性指标改进当中.

3.1 最优一致性指标与最差一致性指标

3.2 区间互补判断矩阵的一致性改进方法

4 算例与对比分析

表2 算例2 区间互补判断矩阵修改结果Table 2 Results for example 2

Dong 等[12]提出的方法是针对区间互补判断矩阵均值一致性指标的改进,但是其本质是逐步缩小区间,提高均值一致性指标.与文献[12]的对比结果如表3所示.

表3 文献[12]与本文方法修改结果对比Table 3 Comparison results between the proposed method and method in literature[12]

在两种算法修改后的矩阵的最差一致性指标值相同的情况下,本文方法的修改量更小,修改元素的个数也更少.

算例3设决策者给出的区间互补判断矩阵为[22]

该区间互补判断矩阵的最优一致性指标和最差一致性指标分别为CCI(R)=1 和WCI(R)=0.9.为便于比较,设置和本文的修改结果和Meng 等[22]的结果对比如表4所示.Meng 等[22]虽然修改了所有的上三角元素,但是其最差一致性指标WCI 仍然不满足可接受的一致性水平.主要原因是文献[22]定义的一致性指标同本文不同,在那里作者并没有对最差一致性指标进行控制.

表4 文献[22]与本文方法修改结果对比Table 4 Comparison results between the proposed method and method in literature[22]

算例4设决策者给出的区间互补判断矩阵为[23]

该区间互补判断矩阵的最优一致性指标和最差一致性指标分别为CCI(R)=1 和WCI(R)=0.733 3.为便于比较,设置和本文的修改结果和Liu 等[23]的结果对比如表5所示.虽然两种方法的修改量差不多,但是在文献[23]中几乎修改了判断矩阵的所有元素.

表5 文献[23]与本文方法修改结果对比Table 5 Comparison results between the proposed method and method in literature[23]

从算例2 到算例4 这几个例子看出,本文所提方法得出的修改量同已有方法比较不一定是最优的,因为本质上本文所提的方法潜在的目标是使得修改的元素个数最小.本文所提方法的另一个显著特点是为决策过程的意见交互阶段提供离散的修改意见,从而提高结果的可解释性和可接受性.值得注意的是,如果在以上算法中使用的是第一种标度集合S[0,1],则修正后的判断矩阵同前述结果仍然是一致的.

5 结束语

在区间互补判断矩阵信息环境下,最优与最差一致性指标是衡量决策者给出的判断信息的理性程度的一种方式.本文提出的离散化方法通过识别、修改最不一致元素改进区间互补判断矩阵对应的最优一致性指标和最差一致性指标,从而对区间互补判断矩阵的一致性水平进行控制.跟已有文献的对比分析表明了所提方法的优越性.最优一致性指标及最差一致性指标的阈值的确定反映出对决策者所给偏好信息的理性程度要求.目前的研究多是采用主观方式直接设定,尚未有明确和统一的设置这些阈值的客观方法.未来的研究可考虑用模拟的方法来确定出这些一致性指标阈值与修改量、修改次数的关系,从而为偏好信息修改提供更精准的指导.偏好的次序一致性是比基数一致性更为基本的一种理性度量概念,本文考虑的个体一致性属于基数一致性,如何结合次序一致性研究区间判断矩阵的个体一致性是进一步研究的方向.