小学数学计算的算理结构及教学策略

薛翠艳

[摘  要] 算理结构是计算的内在脉络、灵活。在小学数学计算教学中，立足学生的经验、回归算法本源、利用直观表象、沟通结构脉络，促进学生分析、理解、应用计算的算理结构。在理解算理的基础上构建算法，有助于丰富学生的数学化思维方式，促进学生计算能力的可持续发展。

[关键词] 小学数学;计算教学;算理结构;教学策略

计算教学是小学数学教学的重要组成部分，是小学生数学核心素养的基石。没有良好的计算素养，学生的数学核心素养就无从谈起。著名的教育家赫尔巴特认为，“所有比较确定的知识，都必须从计算开始”。引导学生计算，不仅要让学生掌握技能、技巧等，更重要的是要让学生理解计算算理。其中，算理结构是计算的内在脉络、灵活，对算理结构的分析、理解有助于学生掌握计算方法、法则等，进而促进学生形成计算思想和方法等。在小学数学计算教学中，教师要引导学生深度分析、洞察计算的算理结构，让计算的算理结构成为学生计算心理的重要组成部分。

一、立足学生的经验，分析计算的算理结构

所谓“算理”，是指“计算的理论依据”。在小学数学学科中，算理包括计算的概念、性质、定律等。算理是计算法则的内在支撑，解决的是“为什么这样计算”的问题。在计算教学中，理解算理是一个核心的、关键的环节，发挥着基础性的功能和作用。只有深度理解了算理、把握了算理，才能有效地构造算法、进行计算。在小学数学教学中，首先要立足学生的经验，引导学生分析算理结构、理解算理。可以这样说，经验是学生理解算理的基石。

经验不仅包括学生的生活经验，也包括知识经验。比如教学“小数的加法和减法”（北师大版第8册）这部分内容时，教师可以从以下两个经验层面来引导学生认知、建构算法：一是基于“整数加减法的内在算理”来助推学生理解“小数加减法的算理”。我们知道，“小数点对齐”本质上也是“数位对齐”，是“计数单位相同才能直接相加减”。这样分析算理结构有助于学生整合算法。二是利用学生的经验来理解内在算理。教学中，教师或学生可以给抽象的小数加上“单位”——比如“1.23+3.5”，加上“元”“米”等单位——促进学生理解“小数加减法的内在算理”，从而让学生掌握“小数加减法的法则”。通过数学计算算理与学生的知识经验的融通，能让学生真正理解算理。同时，激活学生的经验，能为学生理解算理提供动力源泉，让算理在学生的心灵中扎根。

立足学生的经验，分析计算的算理结构，要注重引导方式，要助推学生自主发现、建构，要将新算理与学生的知识经验无缝对接。教学中，教师要引导学生整合算理、再构建算理，促进学生完成经验迁移和算理再创造。当学生理解了算理之后，就能“循理入法”“以理驭法”。

二、回归算法本源，分析计算的算理结构

相对于算法，算理应当更“接地气”。算法是抽象化、形式化、数学化的，而算理则是经验化、具体化、生活化的。在小学数学计算教学中，教师要善于发掘算法的本源，即在算法的生發、生长过程中引导学生理解算理。教学中，教师可以采用“以退为进”的策略，正如著名的数学教育家华罗庚所说，“学习数学要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”。

比如教学“有几瓶牛奶——9加几”（北师大版第1册）这部分内容，教师可以引导学生从“数概念”“运算意义”的本源性视角去思考、探究。比如教学中可以出示一个情境图：“在盒子里放了9瓶牛奶，在盒子外放了6瓶牛奶。”然后启发学生思考：“一共有多少瓶牛奶？”观察并思考情境图之后，学生会认识到，“求一共有多少瓶牛奶”就是“将盒子里的牛奶与盒子外的牛奶合并起来”。“合并”成了学生理解算理的关键。为此，教师可以引导学生进行多元化操作：其一，从加法的基数意义上引导学生先数盒子里的牛奶瓶数，接着数盒子外的牛奶瓶数;其二，从加法的序数意义上引导学生从盒子里的牛奶瓶数开始数起（即以9为起点数起），直接接着数盒子外的牛奶瓶数;其三，可以引导学生观察“盒子里差一瓶牛奶就可以凑成10瓶牛奶”，从而帮助学生建立“凑十法”的计算模型。如此，从加法的计算本源——“合并”上引导学生建构多样化的算法，促进学生理解算理、建构法则。在小学数学教学中，“数概念”“数意义”等是学生算法建构的源头，必须有意识地夯实。

在小学数学教学中，最基本的“加减乘除”的算法都是有其本源意义的。比如“加法”的表征是“合并”，“乘法”的表征是“相同加数的‘反复合并’”;“减法”的表征是“分解”，“除法”的表征是“相同减数的‘分解’”。在计算教学中，教师完全可以借助于数概念、数意义等的支撑，促进学生理解计算算理、建构计算算法。

三、利用直观表象，分析计算的算理结构

计算的算理结构是抽象化、形式化的，因此教师可以借助于形象化的图式、具象化的操作等手段、方法，帮助学生建立算理的直观表象，促进学生分析计算的算理结构。在小学计算教学中，教师可以借助于具有“齐性”特质的数学学具，比如小棒、圆片等，引导学生进行操作。通过对这些数学学具的操作（如重组、合并、分解等），引导学生分析计算的算理结构。在这个过程中，引导学生建立算理的直观表象，进而助推学生理解、迁移、应用计算的算理结构。

比如教学“分数乘分数”（北师大版第10册）这部分内容，教师可以启发学生根据分数的意义画出直观的长方形图。比如教学“×”，先让学生画出一个长方形表示单位“1”，然后将这个长方形竖着（或横着）平均分成3份，涂上斜线（单阴影）表示其中的2份;在此基础上，将图中的按相反的方向（原竖着现在横着，原横着现在竖着）平均分成5份，再用双阴影表示其中的3份。接着，启发学生：×就是将整个长方形平均分成了多少份？表示了其中的多少份？学生经历了画图的过程，通过结果的直观呈现，发现×=。由此，学生猜想：分数乘分数就是用分母相乘的积作新分数的分母（平均分的总份数），用分子相乘的积作新分数的分子（表示的总份数）。同时，学生会再一次举例验证，并且从分数乘分数的意义上加以理解，即分数乘分数表示的是几分之几的几分之几。在这个过程中，教师要引导学生进行比较、分析、概括。经过一系列的操作过程，学生就能建立“分数”（单阴影）、“分数乘分数”（双阴影）的算理认知，算理表象积极内化，学生对计算法则的理解便更加清晰、更加深入。

华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”。直观表象是学生理解算理结构的基石。在数学教学中，教师可以引导学生借助于动手操作（如画图），将抽象的算理转化成直观图形，从而帮助学生建立直观表象。借助于几何图形的直观表象，支撑学生理解算理，同时还促进学生的直观思维和抽象逻辑思维的协调发展。

四、沟通结构脉络，分析计算的算理结构

在小学数学计算教学中，教师还要将不同计算的算理、算法进行沟通，引导学生认识到算理、算法内在的一致性。通过沟通结构脉络，引导学生分析计算的算理结构。为了让学生摆脱非本质的认识，教师必须引导学生进行分析、比较，把握知识的相同点和不同点，进而达到对算理结构的深层次理解。沟通结构脉络，有助于学生理解计算算理，从形式化走向结构化。

比如教学“异分母分数相加减”（北师大版第10册）这部分内容之后，笔者将“整数加减法”“小数加减法”一起引入其中，引导学生比较算法。通过算法比较，深化学生的计算识别力，让学生主动把握算理的内涵，从而积极地类比算理，获得迁移能力。通过算法比较，学生认为，尽管“整数加减法”“小数加减法”和“分数加减法”的计算法则不同，但其本质（算理）是相同的，都是“只有计数单位相同才能直接相加减”。这样进行比较，让学生深刻理解不同加减法的计算算理内在的一致性。在算理的内在关联中，学生形成了对“整数加减法”“小数加减法”和“分数加减法”的算理、算法的整体性认知，有助于学生的算法迁移、算法应用。在算理的融通中，学生对计算算理不仅“知其然”，更“知其所以然”。

结构性的算理是算理教学的暗线。将结构性的算理显现出来，有助于凸显算理蕴含的数学思想和方法，有助于学生精致化理解算理。理解算理结构，有助于学生的算法迁移、算法应用，让学生感受到、体验到算理结构的力量。在理解算理的基础上构建算法，有助于丰富学生的数学化思维方式，促进学生计算能力的可持续发展。

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