例谈向量问题中数学转化思想的培养

南通大学附属中学 王军臣

在和向量有关的综合性问题中，往往涉及更多的范围问题或最值问题，我们把它统一归纳为函数类问题。通常情况下，构建函数模型是解决这类问题的主要途径，需要将向量数量化，运用代数运算解决问题，也可以考虑向平面几何转化，利用平面几何性质解决。

一、限制“自由”，准确定位

图1

分析：平面向量的自由性强，在问题

转化过程中需要将自由向量定位，将其坐标化，最后转化为代数运算。

点评：本题以向量基本运算为载体，在坐标运算过程中注意到动点C 的轨迹方程为定圆，进而将问题转化为圆的问题。若在构建函数的过程中出现双变量情况，应积极寻找两变量之间的隐含关系，尝试消元；在两变量没有隐含关系的情况下，应主动向轨迹方程转化，利用几何意义进行突破。

图2

点评：例1和例2的条件有共同之处，即向量的数量积是一个定值，得到对应点的轨迹方程均为圆。学生将问题转化成平面几何，利用平面几何知识解决问题。

二、合理转化，探求多解

分析：观察发现，条件和共线定理的推论有相似之处，那么想到利用该结论尝试解题，对应解法一；注意到单位圆，受前两例题的启发，采用特殊值法研究，对应解法二。

图3

解法二：如图4，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直。

图4

又∵C 是劣弧AB(包含端点)上一动点， 设点C 坐标为(x，y)，

点评：对比两种方法，通过消元的方式构建函数时，若能有效地抓住一些几何特点或者结论，会大大方便问题的突破。

总之，复杂的问题简单化、陌生的问题熟悉化、抽象的问题形象化构成了数学转化思想的核心内容。在平时的教学过程中，教师要有意识地培养学生的转化思想，使学生在学习中逐步提升分析和解决问题的能力。