2021年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析

曲巍 王锐 吴丽华

摘  要：2021年高考数学对概率与统计、计数原理部分的考查，重基础、讲应用，在知识交会处体现综合性，在背景和设问中凸显灵活创新.试题对学生分析问题、解决问题能力，以及数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算、数学抽象等素养提出了较高要求，充分体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用.

关键词：概率与统计;计数原理;高考数学

概率与统计、计数原理问题依托丰富的实际背景，将数学与日常生活和生产实际紧密联系在一起，体现了较高的数学应用价值. 它们既是高考数学必考的知识内容，也是培养和提升学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养的有效载体.

本文主要针对全国高考数学试题中的概率与统计、计数原理内容进行命题分析，以期为2022年高考复习备考提供帮助.

一、考查内容分析

2021年高考数学命题立足《中国高考评价体系》的“一核”导向功能，有效体现“四层”“四翼”的考核要求与内容，依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》），聚焦数学学科核心素养，着重考查关键能力，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用. 概率与统计、计数原理部分的试题整体呈现出考点分布合理、题量适中、题型稳中求新、分值设置均匀、难度适当的特点，对学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养进行了全面考查.

2021年高考数学对概率与统计、计数原理内容的考查主要集中在以下几项.

计数原理——排列与组合的相关应用问题;二项展开式. 统计部分——数据收集与整理，统计图表中的频率分布直方图;样本估计总体，数据的平均数和标准差（方差）等数字特征的意义和计算;[2×2]列联表，独立性检验. 概率部分——频率与概率;概率的运算，相互独立事件;古典概型;几何概型;正态分布;离散型随机变量的分布列、均值、期望. 各试卷的具体考点分布情况如表1和表2所示.

[试卷 題号 差异度 考查内容 分值 题型 全国甲卷 理 2 相同题 频率分布直方图;

样本数字特征估计总体数字特征 5 单选题 文 2 5 理 10 姊妹题 古典概型 5 文 10 5 理 17 相同题 频率计算;

独立性检验 12 解答题 文 17 12 全国乙卷 理 8 姊妹题 几何概型 5 单选题 文 7 5 理 6 排列组合 5 理 17 相同题 样本的数字特征;

[试卷 题号 考查内容 分值 题型 全国新高考Ⅰ卷 8 独立事件的判断 5 单选题 9 样本的数字特征 5 多选题 18 事件与概率;

离散型随机变量的分布列及期望 12 解答题 全国新高考Ⅱ卷 6 正态分布 5 单选题 9 样本的数字特征 5 多选题 21 [2×2]列联表;

离散型随机变量的分布、期望 12 解答题 北京卷 11 二项式定理 5 填空题 18 离散型随机变量的分布、期望 14 解答题 天津卷 4 频率分布直方图 5 单选题 11 二项式定理 5 填空题 14 独立事件的概率 5 填空题 上海卷 6 二项式定理 4 填空题 10 古典概型 5 填空题 浙江卷 13 二项式定理 6 填空题 15 古典概型;

1. 考点相对集中，题型保持一致

从表1和表2可以看出，2021年的全国卷共有4套，均对样本的数字特征进行了考查. 全国甲卷文、理科结合频率分布直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布;其余3套试卷则直接考查平均数、方差、中位数、标准差、极差的概念和意义. 除全国乙卷文、理科以解答题的形式对样本的数字特征进行考查外，其余试卷均在选择题中对这部分内容进行了考查，且全国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都将此考点放置在多选题中. 全国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷也在解答题中对离散型随机变量的分布、均值和期望进行了不同程度的考查. 综观4套全国卷，对概率与统计、计数原理内容的考查均以选择题和解答题形式出现，未涉及填空题的形式.

自主命题的4套试卷均对二项式定理进行了考查（此内容近年来已连续出现在自主命题的试卷中），2套试卷（浙江卷、北京卷）考查了随机变量的分布列与期望;从题型上看，4套试卷都以填空题（上海卷1道、浙江卷2道、天津卷2道、北京卷1道）为主要的考查形式;仅北京卷在解答题中对此部分内容进行了考查，其余3套试卷未出现主观题的考查形式.

2. 分值基本相同，差异逐渐减小

4套全国卷中概率与统计、计数原理部分的试题所占的分值基本相同，除全国乙卷文科总分值为17分（1道客观题、1道主观题）外，其余试卷的总分值都是22分（2道客观题、1道主观题），与往年分数保持一致. 全国甲、乙卷的文、理科试卷对此部分的考查差异逐渐减小，相同题明显增多，姊妹题的考查内容和题目背景完全一致，文科难度低于理科.

自主命题的4套试卷中概率与统计、计数原理部分的试题所占的分值略有不同，上海卷最少，分值为9分;北京卷最多，分值为19分;天津卷分值为15分，浙江卷分值为12分.

3. 难度相对稳定，方法突出常规

2021年高考数学全国卷中的概率与统计、计数原理试题注重对基础知识、基本概念、基本思想的考查，关注学生未来发展所必需的必备品格与关键能力. 试题难度适中、稳定，以中档题和基础题居多. 例如，全国乙卷文、理科第17题，直接考查平均数和方差的定义与计算，面对全体学生，“起点低，好上手”，突出用基本概念、公式、定理解决问题的常规方法，直击学生的数学运算、数据分析、逻辑推理等素养.

二、命题思路分析

2021年高考数学概率与统计、计数原理试题，紧密结合社会生活与生产实际，紧跟时代发展步伐，创新问题情境. 例如，北京冬奥会志愿者的培训方案、微生物繁衍等背景的问题，突出了时代性和应用性的命题导向，体现了数学的应用价值. 试题对概率与统计、计数原理部分的核心概念和思想进行了着重考查，全面检测学生的“四基”“四能”与核心素养. 试题注重体现综合性，关注知识的交会与灵活运用，将概率与统计、函数与方程、导数应用等知识有机结合，在考查知识的同时考查能力，实现了科学选拔功能，体现了育人价值.

1. 立足“四基”“四能”，考查主干知识

例1 （全国新高考Ⅱ卷·6）某物理量的测量结果服从正态分布[N10，σ2]，则下列结论中不正确的是（    ）.

（A）[σ]越小，该物理量一次测量结果落在[9.9，10.1]内的概率越大

（B）该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5

（C）该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等

（D）该物理量一次测量结果落在[9.9，10.2]内的概率与落在[10，10.3]内的概率相等

【评析】该题是考查正态分布的基础性问题，要求学生了解正态分布密度曲线，对其几何特征有清晰的认知，明确均值与标准差在正态曲线中的几何意义. 正态分布在概率与统计中占据重要地位，在近几年的高考试卷中屡见不鲜，应予以重视.

例2 （全国新高考Ⅰ卷·9）有一组样本数据[x1，][x2，…，xn]，由这组数据得到新样本数据[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，L，n]，[c]为非零常数，则（    ）.

（A）两组样本数据的样本平均数相同

（B）两组样本数据的样本中位数相同

（C）两组样本数据的样本标准差相同

（D）两组样本数据的样本极差相同

【评析】该题具有知识点覆盖面全的特点，对平均数、中位数、标准差、极差的概念进行了考查，要求学生能够根据原始数据与新数据的关系确定数字特征之间的关系，体现了《中国高考评价体系》中“四翼”的考查要求.

例3 （全国新高考Ⅱ卷·9）下列统计量中可用于度量样本[x1，x2，…，xn]离散程度的有（    ）.

（A）[x1，x2，…，xn]的标准差

（B）[x1，x2，…，xn]的中位數

（C）[x1，x2，…，xn]的极差

（D）[x1，x2，…，xn]的平均数

【评析】该题与例2有异曲同工之妙，考查学生对平均数、中位数、标准差、极差本质的理解与掌握，要求学生能在明确目标需求的情况下，选择合适的样本数字特征反映样本特征.

2. 立足教材例题，注重回归教材

例4 （全国乙卷·理8）在区间[0，1]和[1，2]中各随机取1个数，则两数之和大于[74]的概率为（    ）.

（A）[79]   （B）[2332]   （C）[932]   （D）[29]

例5 （全国乙卷·文7）在区间[0， 12]随机取1个数，则取到的数小于[13]的概率为（    ）.

（A）[34]   （B）[23]   （C）[13]   （D）[16]

【评析】例4、例5是同根同源的姊妹题，考查几何概型的概率计算，设计简洁明了，源于人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学3必修》中“几何概型”的例2. 原题背景是送报问题，属于双变量下的二维几何概型问题，与例4的考查内容完全一致. 试题有一定难度，既要求学生对几何概型有深刻的理解，又要求学生能准确地将自然语言转化为代数语言再转化为几何语言. 相对而言，例5难度有所降低，考查了单变量的一维几何概型问题，更为基础.

例6 （全国新高考Ⅰ卷·8）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）.

（A）甲与丙相互独立

（B）甲与丁相互独立

（C）乙与丙相互独立

（D）丙与丁相互独立

【评析】该题源于人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册“10.2 事件的相互独立性”的例1，原题背景是4个球，判断两个事件是否独立. 该题在此基础上进行了拓展和延伸，考查学生对独立事件定义的理解，并在此基础上对事件的相互独立性进行判断. 与教材例题相比，提升了难度，展现了高考试题源于教材、高于教材的立意，注重对学生综合能力的考查.

3. 立足必备品格，关注核心素养

例7 （全国甲卷·理10）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）.

（A）[13]   （B）[25]   （C）[23]   （D）[45]

例8 （全国甲卷·文10）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）.

（A）0.3   （B）0.5   （C）0.6    （D）0.8

【评析】例7、例8都以古典概型为载体，虽是同根同源的姊妹题，但考查的侧重却略有不同. 例7考查学生对古典概型概率公式、排列组合方法及计算的理解与掌握;而例8对于没有计数原理知识基础的文科学生来说，更多是靠列举法解决问题，因此对他们的数学思维品质提出了较高的要求，综合考查逻辑推理、数学运算等素养.

例9 （全国新高考Ⅱ卷·21）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代. 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设[X]表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，[PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1]，求[EX];

（2）设[p]表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，[p]是关于[x]的方程：[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一个最小正实根，求证：当[EX≤1]时，[p=1]，当[EX>1]时，[p<1];

（3）根据你的理解说明第（2）小题结论的实际含义.

【评析】该题以微生物多代繁殖为背景，知识点多，难度较大. 第（1）小题根据具体的分布列求期望，属于基础题. 第（2）小题的证明，形式新颖，跳跃性大，全面考查学生对分布列的性质、函数与方程、导数的应用等知识的掌握与综合运用，对学生的知识迁移、问题转化能力都提出了较高的要求. 第（3）小题根据理解说明第（2）小题结论的实际含义，有一定的开放性，关注学科的应用价值. 该题的解决，不仅能充分反映出学生综合利用所学的数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、问题、情境进行独立的思考、探究、解决问题的能力，而且能反映学生在高考的紧张氛围下沉着、冷静地应对问题的良好心理素质. 对学生数学运算、数学抽象、数学建模、逻辑推理和数据分析素养进行了深层次的考查.

4. 立足生活实际，体现数学应用

例10 （全国甲卷·理 / 文2）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）.

（A）该地农户家庭年收入低于[4.5]万元的农户比率估计为6 %

（B）该地农户家庭年收入不低于[10.5]万元的农户比率估计为10 %

（C）估计该地农户家庭年收入的平均值不超过[6.5]万元

（D）估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于[4.5]万元至[8.5]万元之间

【评析】该题以农村经济情况调查为背景，利用频率分布直方图给出调查数据，考查学生的读图能力，要求通过对图形中样本数据的分析与计算，对总体进行估计，体现数学在生活中的广泛应用.

例11 （全国甲卷·理 / 文17）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表3所示.

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d].

例12 （全国乙卷·理 / 文17）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如表5所示.

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为[x]和[y]，样本方差分别记为[s21]和[s22].

（1）求[x，y，s21，s22];

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高.（如果[y-x≥2s21+s2210]，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）

【评析】例11和例12均以社会实际生产为背景，体现统计在生产中的应用价值，引导学生感受统计思想. 例11通过2[×]2列联表，考查学生对图表数据的理解和分析能力，要求学生能够利用表中信息计算频率，并能通过数据运算分析实际问题. 例12以图表的方式给出具体数据信息，考查学生对样本平均数与方差的定义和计算，并能根据题目所给的依据进行正确判断.

例13 （全国新高考Ⅰ卷·18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题. 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答. 若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比賽结束. A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记[X]为小明的累计得分，求[X]的分布列;

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【评析】该题以知识竞赛为背景，既具有时代特色又贴近学生生活，考查离散型随机变量的分布列和数学期望. 第（2）小题为使累计得分的期望最大，对两类问题的回答进行排序分析与判断，凸显了概率统计思想在服务决策中发挥的重要作用，引导学生会用数学思维思考世界.

5. 立足立德树人，创新问题情境

例14 （全国乙卷·理6）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）.

（A）60种       （B）120种

（C）240种   （D）480种

【评析】该题以北京冬奥会为背景，属于计数原理的典型问题，处理问题的角度与方式灵活多样，需要学生将实际问题转化为数学问题，考查学生的计数能力和对排列、组合的理解与应用.

例15 （北京卷·18）在核酸检测中，“[k]合1”混采核酸检测是指：先将[k]个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这[k]个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果为阴性，检测结束;如果这[k]个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（1）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

① 如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

② 已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为[111]. 设[X]是检测的总次数，求[X]的分布列与数学期望 [EX];

（2）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测，设[Y]是检测的总次数，试判断数学期望[EY]与（1）中[EX]的大小.（结论不要求证明.）

【评析】该题以新冠肺炎检测为背景，与社会生活紧密相连，较为基础地考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，在凸显概率统计实用价值的同时，增强学生的民族自豪感与自信心.

三、复习备考建议

1. 关注基础知识，注重理解记忆

2021年的高考数学试题再次给出强烈的信号：高考数学全面考查基础知识，突出考查学生灵活运用知识解决问题的能力. 因此，夯实“四基”、发展“四能”要落实到日常教学中. 教师在复习中要不断注重强化学生对知识的理解记忆，不能一味地记忆基本概念、公式、定理，而是要知道它是如何推导的，如何应用的，将知识的发生发展过程学懂弄通，用理解记忆替代死记硬背.

2. 关注知识架构，注重多元联系

课程改革倡导“大单元”教学的概念，教师要从整体引领学生认识数学，让学生既见“树木”又见“森林”. 因此，无论是重要的概念，还是公式、定理，都需要帮助学生构建宏观的、整体的知识框架，厘清各知识点之间的内在联系. 对于概率与统计、计数原理部分的知识内容，教师更需要耐心地做横向分析与比较. 以统计为例，它与传统的代数、几何等数学知识相比存在较大差异，没有绝对的对或错. 对于同一组数据，从不同的角度分析，会得到不同的判断. 例如，要刻画一组数据的集中趋势，平均数、中位数、众数都可以实现，但具体选择哪一个，要结合问题的实际背景和目标进行分析，所以教师既要引导学生深刻认识每个数字特征的意义，又要帮助学生理解不同数字特征之间的区别与联系，了解它们的共性与差异;不同的统计图表（扇形图、频率分布直方图、直线图、茎叶图、饼形图等）的优势和它们所能直接反映出的数字特征，都需要在复习中用联系的观点进行整体把握. 此外，还要注重概率与统计、计数原理知识与其他知识的交会和联系，提升学生分析、处理综合性问题的能力.

3. 关注基本方法，注重数学思想

高考数学突出对通性、通法的考查，不断弱化解题技巧，注重学生对数学思想方法的领会与运用. 对概率与统计、计数原理部分的复习，要紧紧抓住抽象、推理、模型这三个数学基本思想的核心要素，逐步提升学生的数学素养. 复习中要摒弃背题型、记套路，要循序渐进地引领学生掌握解决概率与统计问题的一般方法，螺旋上升地培养学生用概率与统计思想分析、解决问题的习惯和能力，明确在不同背景和需求下，使用不同的方法选择、统计、分析数据，结合实际建立合适的数学模型，实现思想方法的融会贯通.

4. 关注数学本质，注重能力培养

学生的能力培养与提升并非一蹴而就，即便是高三阶段，也不能拔苗助长，急于求成. 在复习中，教师要引导学生关注数学本质，明确概率统计的意义与价值，关注学生对基础知识的理解和对数学思想方法的掌握与运用，侧重提升学生逻辑推理的严谨性和对统计思想的感悟，增强学生“用数据说话”的意识，培养解决统计问题的能力，形成“有理有据”地支撑决策选择的思维习惯，分阶段、分层级地提升数学学科核心素养.

5. 关注教材使用，注重精讲精析

教材作为落实《标准》理念、传达《标准》要求的基本资料，既是高考命题的重要参考，也是教师教学、学生学习的重要资源. 历年高考试题中不乏教材原题的影子，这就需要教师引导学生回归教材，关注教材，掌握教材上的每一个知识点，并精选教材中的例题、习题，精讲精析，通过典型例題，帮助学生理解基础知识，归纳总结方法，深化数学思想，提升数学素养. 同时，要注重强化完整解答过程的板演，引导学生既关注过程，又关注解决问题的一般方法. 在精讲精析过程中，要注意典型问题的选取和练习、巩固变式，切忌一味模仿记忆. 只有学生真正学懂、弄通典型问题，才能做到举一反三、触类旁通，才能在解决问题时游刃有余.

四、模拟题欣赏

1. 某省党史学习教育巡回指导组7名党员干部（4男3女）要到三个单位调研走访，每个单位安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（     ）.

（A）72种 （B）108种

（C）144种 （D）210种

答案：C.

2.（多选题）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程. 若甲、乙、丙三名同学各只能体验其中一门课程，则（    ）.

（A）甲、乙、丙三人选择课程方案有120种方法

（B）恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为[59]

（C）已知甲不选择课程“御”的条件下，乙、丙也不选择“御”的概率为[2536]

（D）设三名同学中选择课程“礼”的人数为[ξ]，则[Eξ=12]

答案：BCD.

3. 对一个物理量做[n]次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果. 已知最后结果的误差[εn ～ N0， 2n]，为使误差[εn]在[-0.5，0.5]的概率不小于0.954 5，至少要测量的次数是      .（若[X ～ Nμ，σ]，则[PX-μ<2σ=0.954 5].）

答案：32.

4. 自新冠肺炎疫情暴发以来，中国科研团队一直在积极地研发疫苗，在科研人员的不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的疫苗，使我国的防疫工作获得更大的主动权. 研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验.

（1）实验1：选取10只健康白兔，编号1至10，注射一次疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染. 现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作[X]，求[X]的分布列和数学期望.

（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效相互不影响，相互独立. 试问，若将实验1中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率，那么1只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以，说明理由;若不可以，问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.

答案：（1）[X]的分布列如表6所示.

（2）不可以，每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足要求.

参考文献：

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