素特征域上Witt 代数及极大子代数的2-局部导子

姚裕丰，王惠

（上海海事大学文理学院，上海 201306）

代数的导子指该代数上满足Leibniz 法则的线性变换。代数上导子代数的结构对该代数的研究至关重要。SEMRL[1]最先引入代数的2-局部导子概念，并研究了2-局部导子的性质。代数的2-局部导子对该代数性质的研究有重要作用。

近年来，在特征零的代数闭域上对一些重要李代数的2-局部导子的研究取得了一定进展。AYUPOV 等[2]证明了有限维半单李代数的每个2-局部导子都是导子，且每个维数大于2 的幂零李代数均存在一个非导子的 2- 局部导子。YUSUPOV[3]证明了无限维Witt 代数的每个2-局部导子均为导子，并给出了无限维李代数的一些非导子的2-局部导子的例子。ZHAO 等[4]证明了秩为n的Witt 代数及其部分子代数的2-局部导子均为导子。

在素特征p＞3 的代数闭域F上，Witt 代数W1是变量X的截头多项式代数的导子代数，这是WITT 在20 世纪30 年代发现的素特征域上第一个非典型单李代数。Witt 代数的每个导子均为内导子[5]。更一般地，文献［6］确定了素特征域上Jacobson-Witt 代数的2-局部导子。本文研究Witt 代数及其极大子代数的2-局部导子。

下文第1 部分给出素特征域上Witt 代数的定义及基本性质。第2 部分证明Witt 代数的每个2-局部导子都是导子，从而将文献［3-4］中的主要结果推广至素特征域。第3 部分证明Witt 代数的极大子代数的每个2-局部导子均为导子。

1 预备知识

假设F是特征p＞3 的代数闭域，所有线性空间（代数）均定义在F上且是有限维的。

1.1 李代数的导子和2-局部导子

设L是域F上的李代数，则L上的导子D：L→L是L上的线性变换且满足：

记Der(L)为L的所有导子的集合，则Der(L)将通常的换位运算作为一个李代数，称其为L的导子代数。对于任意的x∈L，定义

则ad(x)∈Der(L)。令

则ad(L)是Der(L)的理想。

L的2-局部导子Δ 是L上的变换（不一定是线性 变 换），且对于任意的x，y∈L，存 在Dx，y∈Der(L)，满足

1.2 Witt 代数

域F上的Witt 代数W1即为Α上所有导子的李代数。记ei=Xi+1∂，−1≤i≤p−2，由文献［5］，有

其中，W1上的李括积定义为

下文若不特别说明，均假设g=W1，则g有自然的Z-阶化：

其 中，g[i]=FXi+1∂，−1≤i≤p−2。 结合该阶化，g有以下Z-滤过：

其中，

特别地，g0是g的极大子代数。

对于x∈g(或g0)，定义x在g(或g0)中的中心化子为

则zg(x) 是g的子代数，zg0(x)是g0的子代数。进一步，有zg0(x)⊆zg(x)，x∈g0。

对g及g0中的元素中心化子，有以下刻画：

引理1[7]设g=W1是域F上的Witt 代数，x∈gigi+1。，则

特别地，有

从而，有

引理2[5]设g=W1为域F上的Witt 代数，则

引理2 说明Witt 代数上每个导子都是内导子。

类似于引理2，以下结论表明Witt 代数g的极大子代数g0的每个导子都是内导子。

引理3设g=W1为域F上 的Witt 代数，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p−2}是g的极大子代数，则

证明对于t∈Z，令

则

即Der(g0)是Z-阶化代数。

下证Der(g0)的每个阶化部分

步骤1首先注意到g0的Z-阶化结构，显然有Der(g0)[t]=0，t≥p−1 或t≤1−p。

步骤2当t=0 时，任取D0∈Der(g0)[0]，设

将D0作用于[e0，e1]=e1等式两边，得

从而有a0=0。将D0作用于

等式两边，得

从而有

将D0作用于[e1，e4]=3[e2，e3]等式两边，得

由式（1）和式（2），进一步得

因此

步 骤 3当 1≤t≤p−2 时 ， 任 取Dt∈Der(g0)[t]，则 有

设

将Dt作用于

等式两边，得

因此有

从而有

即

因此

步 骤 4当 2 −p≤t≤−1 时 ，任 取Dt∈Der(g0)[t]，则 有

设

将Dt作用于[e0，e−t]=−te−t等式两边，得

从而有

将Dt作用于

等式两边，得

从而有aj=0， −t+1≤j≤p−2。

因此，Dt=0，2 −p≤t≤−1。

综 上 所 述，有Der(g0)[t]=ad(g0)[t]，t∈Z。因此，Der(g0)=ad(g0)。

证毕。

2 Witt 代数的2-局部导子

g=W1是 域F上 的Witt 代 数。由引理2 知，若Δ 是g的2-局部导子，则对于任意的x，y∈g，存在ax，y∈g，使得

本节将证明g的每个2-局部导子均为导子。为此，需以下引理。

引理4设Δ 是g的一个2-局部导子，且

证 明任 取i∈{1，2，…，p−2}。 由 于Δ 是g的2-局部导子，因此存在ae0，ei∈g，使得

由于Δ(e0)=0，有ae0，ei∈zg(e0)。故由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，ei=be0，有

由于Δ 是g的2-局部导子，则存在ae−1，ei∈g，使得

由于Δ(e−1)=0，从而有ae−1，ei∈zg(e−1)。故由引理1知，存在c∈F，使得ae−1，ei=ce−1。有

由式（3）和式（4）知，b=c=0。因此，

证毕。

由引理4，进一步得到

引理5设Δ 是g的2-局部导子，且

则Δ ≡0。

证明由2-局部导子的定义，显然有Δ(0)=0。 由引理4 知，对于任意的−1≤i≤p−2，有Δ(ei)=0。

（ⅰ）l＞0。

一方面，由于Δ 是g的2-局部导子，存在ae−1，x∈g，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae−1，x=be−1，故

另一方面，由2-局部导子的定义，存在ae0，x∈g，使得

由引理1 知，存在d∈F，使得ae0，x=de0，故

比较式（5）和式（6）的阶化最高项，知d=0，由式（6）知，Δ(x)=0。

（ⅱ）l=0。

此时，x=c−1e−1+c0e0，由式（5）得

又由2-局部导子的定义知，存在ae1，x∈g，使得

由引理1 知，存在k1，k2∈F，使得

因此有

由式（7）和式（8），可得b=k1=k2=0，从而有Δ(x)=0。

（ⅲ）l=−1。

此时，x=c−1e−1，由2-局部导子的定义，存在ae−1，x∈g，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae−1，x=be−1。因此，

证毕。

定理1设g=W1是域F上的Witt 代数，则g的任一2-局部导子均为g的导子。

证明设Δ 是g的任一2-局部导子，则存在De−1，e0∈Der(g)，使得

令Δ1=Δ −De−1，e0，则Δ1是g的2-局部导子，且满足

由引理5 知，Δ1≡0，即Δ=De−1，e0。因此，Δ 是g的导子。

证毕。

3 极大子代数g0 的2-局部导子

g=W1是域F上的 Witt 代数 ，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p−2}是g的极大子代数。由引理3 知，若Δ 是g0的2-局部导子，则对任意的x，y∈g0，存 在ax，y∈g0，使 得 Δ(x)=[ax，y，x]，Δ(y)=[ax，y，y]。

引理6设Δ 是g0的2-局部导子，且

证明任取i∈{2，3，…，p−2}，由于Δ 是g0的2-局部导子，存在ae0，ei∈g0，使得

由 于Δ(e0)=0，从 而 有ae0，ei∈zg0(e0)。故 由 引 理1知，存在b∈F，使得ae0，ei=be0，有

由于Δ 是g0的2-局部导子，则存在ae1，ei∈g0，使得

由 于Δ(e1)=0，从 而 有ae1，ei∈zg0(e1)。故 由 引理1 知，存在k1，k2∈F，使得ae1，ei=k1e1+k2ep−2，有

由式（9）和式（10）知，b=0。因此，

证毕。

由引理6，进一步得到

引理7设Δ 是g0的2-局部导子，且

则Δ ≡0。

证明由2-局部导子的定义，显然有Δ(0)=0。 由引理6 知，对于任意的0 ≤i≤p−2，有Δ(ei)=0。为证明本引理结论，对任意的0 ≠x=只需证Δ(x)=0。为此，令

（ⅰ）l=0。

若ck=0，1≤k≤p−2，则x=c0e0。

一方面，存在ae0，x∈g0，使 得0=Δ(e0)=[ae0，x，e0]。 故由引理1 知，存 在b∈F，使 得ae0，x=be0，有

若存在1≤k≤p−2，使得ck≠0，则令

由于Δ 是g0的2-局部导子，存在ae0，x∈g0，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，x=be0，从而有

另一方面，存在ae1，x∈g0，使得

由引理1 知，存在k1，k2∈F，使 得ae1，x=k1e1+k2ep−2，从而有

比较式（11）和式（12）的最低项和最高项知，如果k1≠0，则l′=1。比较式（11）和式（12）的各项系数，可得cl″=0，矛盾，因此k1=0。如果k2≠0，比较式（11）和式（12）知，l′=l″=p−2，从而有x=c0e0+cp−2ep−2。又由2-局部导子的定义，可知存在ae2，x∈g0，有

由引理1 知，存在b1，b2∈F，使得

从而有

比较式（12）和式（13），可得k2=b1=b2=0。因此Δ(x)=0。

（ⅱ）l＞0。

由于Δ 是g0的2-局部导子，一方面，存在ae0，x∈g0，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，x=be0。从而有

另一方面，存在ae1，x∈g0，使得

由 引 理1 知，存 在k1，k2∈F，使 得ae1，x=k1e1+k2ep−2，从而有

比较式（14）和式（15）的最低项，知b=0，从而有

证毕。

定理2设g=W1是域F上 的Witt 代数，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p−2}是g的 极 大 子 代 数，则g0的任一2-局部导子均为g0的导子。

证明设Δ 是g0的任一2-局部导子，则存在De0，e1∈Der(g0)，使得

令Δ1=Δ −De0，e1，则Δ1是g0的2-局部导子，且满足

由 引 理7 知，Δ1≡0，即Δ=De0，e1。 因 此Δ 是g0的导子。

证毕。

4 结 论

讨论了特征p＞3 的代数闭域上Witt 代数g及其极大子代数g0的2-局部导子的性质（引理4～引理7），得到Witt 代数g及其极大子代数g0的所有2-局部导子均为导子（定理1 和定理2）。