浅谈函数的连续性

赵雪蕾 韩 娇

（商丘工学院，河南 商丘 476000）

在现实世界中，植物的生长，气温的变化等许多现象不仅是运动变化的而且运动变化的过程都是连续不间断。这种现象反应在函数上，就是函数的连续性。函数的连续性是函数的一个重要性质。函数的连续性对于后续研究函数的可导性，可积性有着重要的作用。我们知道可导的函数一定是连续的，连续函数一定是可积的，连续函数一定有原函数，闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值。从几何角度看，函数图像是连绵不间断的，我们就说函数是连续的。连续函数的特征是，当自变量变化趋向于零时，因变量的变化也趋向于零。根据函数连续性的定义，又可以得到左连续和右连续的概念。我们知道连续的对立面是不连续，或称为间断的。对于不连续的函数，我们称函数是不连续的，或者称函数是间断的。导致函数不连续的点，称为间断点或者不连续点。根据左右极限是否都存在，间断点又分为第一类间断点和第二类间断点。

一元函数的连续性与一致连续性是研究二元函数连续性和一致连续性的基础。函数的一致连续性相对于连续性而言是一个整体的概念，连续性相对于一致连续性而言是一个局部的概念。数学分析，高等数学等各教材都给出了函数连续性和一致连续性的定义。对于一元函数，我们可以用定义判断函数的一致连续性，在有限闭区间上也可以用康拓定理来判断函数的一致连续性。但是用定义判断函数一致连续性有时候会太过复杂，而康拓定理又有一定的局限性。这里对于各种区间总结给出了函数一致连续性的判定方法。并且给出了二元函数连续和一致连续的概念，总结了判断二元函数一致连续的定理和需要注意的地方。

1 函数连续性的定义

设函数f(x)为定义在区间I上的函数，对于任意小的正数ε，存在正数，使对任意x0∈I，当，则称函数f(x)在区间I上连续。

2 函数一致连续的定义

设函数f(x)为定义在区间I上的函数，若对于任意小的正数ε，存在正数δ，使得区间I内的任意两点x1、x2，只要都有则称函数f(x)在区间I上一致连续。

3 函数连续与一致连续的关系

连续与一致连续有着紧密地联系，又有着本质的区别。函数连续是考察函数在一个点的性质，连续函数的ε与δ有关还与x0有关，对于不同的x0，δ的大小会不一样（一般在图形较陡的地方，δ就越小）。一致连续是整体概念，定义中的δ对定义域内所有的x都成立。我们可以得到只要函数在区间内每一点都连续，则函数在此区间上连续。但是对于一致连续性不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，还要求函数的连续性是“一致”的。在区间上一致连续的函数一定连续，反之在区间上连续的函数不一定一致连续。例如反比例函数在区间(0,1)上是连续的，但是不一致连续的。

对一致连续性概念的理解要注意以下两点：

1）函数在区间上一致连续与连续的区别与联系；

2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个充分靠近的点的函数值的差可以任意小。

4 函数一致连续性的判定

4.1 有限区间上

命题1：康拓定理（又称一致连续性定理）：函数在有界闭区间上连续，则函数在区间上一致连续。

命题2：定义在区间上的函数一致连续的充分必要条件是区间内的两个数列，两个数列差的极限为零则作用在这两个数列上的函数值差的极限为零。

命题3：设函数在区间上满足利普希茨条件，则在区间上一致连续。

命题4：函数在有限开区间上一致连续的充分必要条件是函数在该区间上连续，且在区间端点是单侧连续的。

总结：判断一元函数一致连续性可以用定义，也可以用康托定理，但是很多时候要判断一个一元函数是否一致连续用定义是很麻烦的，而康托定理的局限性是只能用在闭区间上，对有限开区间和无数开区间都无法判断。阻碍一元函数连续性变为一致连续性的情况有以下两种：

1）对于有限开区间，这时区间的端点可能破坏一元函数的一致连续性。

2）对于无限区间，这时在区间无穷远处也可能破坏一元函数的一致连续性。

即使这样，只要我们在区间的端点和区间无穷远处附加一定的条件也可以把函数的一致连续性推广到有限开区间和无限区间。下面我们来讨论在无穷区间上一元函数的一致收连续。

4.2 无穷区间上

命题4.2.1 若函数在无限区间上满足利普希茨条件，那么在区间上一致连续。

命题4.2.2 若函数是实数域上的连续周期函数，那么该函数在区间实数域上一致连续。

命题4.2.3 若果函数在实数域上连续，且在正负无穷大处函数的极限都存在，那么该函数在实数域上一致连续。

命题4.2.4由两个连续函数复合得到的函数，在相应点也是连续的。

命题4.2.5 设函数在区间[b,∞]上连续，此函数在区间[b,∞]上一致连续的充要条件是区间[b,∞]上存在一个另一个一致连续的函数，且两个函数的差在无穷远处极限为零。

命题4.2.6 若函数在区间[a,∞]上连续，在无穷远处有渐进线，则函数在区间[a,∞]上一致连续。

命题4.2.7 函数在区间[a,∞]上可导，且函数值的绝对值不大于1，则在此区间上一致连续。

由4.2.7知正弦函数在实数集上一致连续。同理可证余弦函数、幂小于1的幂函数、对数函数、反正切函数都在实数集上一致连续。

命题4.2.8函数在[a,∞]上连续，且在无穷远处极限存在，则函数在[a,∞]上一致连续。

以上我们总结了一元函数的连续性与一致连续性的区别与联系，总结论述了一元函数一致连续性在有限闭区间、有限开区间、无限区间的判定方法。下面我们就一元函数的连续性和一致连续性推广到二元函数上来。

5 二元函数的连续性的定义

二元函数的连续性定义：设函数f(x)定义域为点集是点集D聚点或孤立点，动点p(x,y)∈D;如果任意小的正数ε，存在正数有两点的函数值差任意小，成立则称函数f关于集合D在点p0连续。（相对连续），特别的当点p0是内点时，称函数f在点p0连续（全面连续）。

6 二元函数的一致连续性定义

二元函数的一致连续性定义：设f是定义在点集二维实数域内某点集上的二元函数，任意小的正数ε，存在正数，使得点集内的任意两点p,q，只要ρ(p,q)＜δ,就有则称函数f在D上是一致连续的。

注：设函数是定义在二维实数域内某点集上的二元函数，如果函数在该点集上一致连续，那么其一定在该点集上一致连续。

7 二元函数一致连续性的判定定理

7.1 二元函数一致连续性的判定定理

引理7.1.1 设函数在凸区域上偏导数有界，则函数在凸区域上一致连续。

引理7.1.2 设函数在闭区间上连续，那么函数在区间上一定一致连续。

引理7.1.3 设函数在有界开区域一致连续的充分必要条件是函数在区域内上连续，当两个自变量趋于区域边界上的任意两点，都有函数的极限存在。

引理7.1.5 两个在其各自定义域上一致连续的函数，它们的和在两个定义域的交集上也一致连续。

推论 设有有限个函数在它们各自的定义域上一致连续，则在这些定义域的交集上，这有限个函数的线性组合也一致连续。

命题7.1.1 两个在其各自定义域上一致连续的函数，它们的差在两个定义域的交集上也一致连续。

命题7.1.2两个在其各自定义域上一致连续并且有界的函数，它们的乘积在两个定义域的交集上也一致连续。

7.2 二元函数一致连续性几个需要注意的地方

注1 引理1 强调一定要在凸区域上，否则函数在区域上导数有界不一定在此区域上一致连续。

注2 设函数在无限区间二维实数域上连续且有界，函数在二维实数域不一定一致连续；函数在二维实数域一致连续，函数在二维实数域上不一定有界。

注3 设函数在有界闭区域上的方向导数有界，则函数在区域上一致连续；反之若函数在区域上一致连续，方向导数不一定有界。

连续函数结论的几点补充：

1）对于在一点连续的有限个函数，它们的和、差、积、商（分母不为0）都在这一点连续。

2）基本初等函数在其定义域内是连续的，一切的初等函数在其定义域内区间上都是连续的。

3）闭区间上的连续函数有零点定理与介值定理。

4）一个区间上连续的函数，如果是单调的，则这个函数的反函数在相应的区间上也是连续的并且具有相同的单调性。