COVID-19 在公交网络传播模型及防疫策略有效性分析*

牟振华 李 想 闫康礼 郭继杰

（1.山东建筑大学交通工程学院 济南250101；2.济南轨道交通集团有限公司 济南250101）

0 引 言

2019新型冠状病毒（2019-nCoV）引起的新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，使社会受到了严重损失。中国在面对COVID-19疫情初期就采取了检测隔离病患、居民居家隔离、切断或管控公共交通系统等强有力的措施[1-3]及时阻止了疫情更严重的扩散。此次COVID-19疫情在感染人数和传播范围方面都远远超过2002 年的SARS 疫情和2010 年的H1N1 疫情。这不仅与病毒的致病机理相关，现代发达的交通系统在为城市经济和人民生活带来极大便利的同时也会影响病毒在城市中传播的速度。疫情发生之后，研究者针对交通系统内疫情传播建模、疫情沿交通线路的传播机制、疫情中交通线路优化等方面进行了深入的研究[4-8]。且大部分研究者都不约而同地将研究视角放在了公共交通系统上，因为公共交通运量大，提高了疫情传播的风险，同时也担负着保障居民出行的责任[9]。在疫情防控常态化的大环境下，对公交网络传播模型和公交防疫措施的研究则显得极为重要。

病毒在传播本身就是1 个极其复杂的过程，若要研究其在公交系统中的传播及内在规律，则需要借助模型对病毒传播进行分析。复杂网络出现之后就常被用来描述很多社会中的真实系统，如社交网络、生物网络等，同时可以用来建模描述公交网络。集合种群模型所研究个体在种群之间的移动过程与公交网络中乘客的出行特征具有极大的相似性。因此，复杂网络理论和集合种群模型被引入病毒传播研究中。其中不乏有研究者基于此类模型进行拓展，如Ruan 等[10]，建立复杂网络上的集合种群模型来研究人在旅途过程中的感染反应，发现旅途会加剧病毒传播；也有部分研究分析了个体的出行特征及对传播的影响，Song 等[11]发现在现实生活中个体的运动往往具有周期性，而并非随机运动；Tang等[12]发现个体运动具有目的性，路径往往会按最短路径移动；并且这些特性会影响到病毒传播速度。由现有研究结论可知，病毒传播过程中最重要的是人员的流动和人与人之间的接触[13]。因此在不同背景和不同出行特征下，存在多种因素影响着传播过程，并且会导致较大差异。现有的研究中，研究者多将出行场景和出行模式进行简化处理，忽略了在人员出行途中的传播过程。而在疫情防控方面，部分学者提出切断公交线路、停运公交站点[14]，优化公交线路[6]等措施，但现有研究中缺乏对公交系统的管理措施及实施效果的量化分析，部分措施甚至无法保证居民的必要出行。

本文主要建立了公交网络上的传播模型并提出相应的防控措施。模型中着重构建了公交网络的服务特征和运行特征，并且考虑到了人使用公交出行的特性，使模型与实际相符。模型的分析结果也可以在疫情防控常态化下为公交防疫措施提供依据，并量化实施效果，帮助管理部门作出有理有利的决策，降低风险保障出行。

1 公交网络传播模型

1.1 公交网络模型

公交网络模型是整个公交网络传播模型的基础。笔者基于双层网络的建模思路，结合公交站点的实际服务特征，分2步建立公交网络模型。

1）根据公交站点的服务特征，以公交站点和所服务的学校、居民小区、商业中心、行政单位等公共场所作为节点并连接建立下层子网络。建立N 个区域作为独立的子网络Gi(i=1，2，…，N)，在每个子网络Gi中存在M 个节点，节点表示为vij(i=1，2，…，N;j=1，2，…，M)，每个节点都表示着1 个学校、居民小区、商业中心或者行政单位等公共场所，节点之间的边则表示了这些场所之间的连通关系，将子网络设置为ER随机网络，节点的平均度设置为ki。则子网络可表示为

式中：vij为Gi中的节点；vijki为Gi中的边。其物理意义为以公交站点为中心的服务范围内所有公共场所形成的网络关系。

2）公交站点之间通过形成公交线路，多条公交线路的交织形成了公交线网。选取各个子网络中度最大的节点作为此区域子网络中的公交节点，在每个子网络节点中至少存在1个公交站点。将N 个子网络中的公交节点相连，也同时将各个区域子网络之间建立了联系，即形成完整的上层公交线网。同样将公交节点网络设置为ER随机网络，公交节点的平均度设置为 kB，则公交线网GB可表示为

整个公交网络模型见图1，其中节点根据性质可分为2类：公共节点和公交节点。公共节点之间连线表示了真实的公共场所之间的互通关系；公共节点与公交节点之间连线表示了各公共场所与公交车站的服务关系；公交节点之间连线则表示真实的公交线网。

图1 公交网络模型示意图Fig.1 Bus network model

1.2 出行规则

出行者是整个公交系统的使用者，同时也是病毒的传播载体。因此，在复杂网络模型中实现出行者在网络中的移动这一过程则具有必要的意义。之前为了研究出行者在不同区域的移动在病毒传播中的影响，Colizza等[15]提出的集合种群网络模型，其中预设一些可在网络上节点移动的粒子代表出行者，研究中还包含粒子在不同节点间运动时与节点上其他粒子的反应过程。本文提出的出行规则也建立在集合种群网络模型的基础上。

出行规则模型中需要描述出行者在公交网络中的出行特征。其中出行者出行的随机性、规律性和公交系统的大运量、集中性需要具体说明。为了使出行规则符合复杂网络模型的特点，首先假设：所有的移动过程均选择最短路径[14]，并且每个时间步长可移动1个节点。

为了模拟公交网络中的出行者，向N个子网络中引入n个粒子，nij则表示节点vij上的粒子数，n=∑i∑jnij。粒子在初始时刻是随机连接在网络中任意的公共节点（不包含公交节点）上并且将此节点标记为粒子的初始节点。初始时刻所有粒子均处于静止状态A，在状态A下的所有粒子每个时间步长均有出行概率pb（网络中粒子由静止状态转向出行状态的概率，模拟出行者某时刻决定出行的概率）去往网络中其他节点，否则仍在原地处于状态A；出行的粒子到达目的地后必须停留时间ts（出行完成后在目的地停留时间，模拟出行者在目的地活动时间）；停留时间结束后粒子有概率pc（所有粒子出行并停留后返回初始节点的概率，模拟出行者出行完成后返程概率）返回初始节点后进入状态A，否则直接进入状态A。

当粒子在双层网络存在3 种运动类型：①下层子网络内运动，粒子由起始位置前往区域子网络内的公共节点或者公交节点；②上层公交线网中运动，粒子途径公交节点到达目的地子网络中的公交节点（即公交车运行状态）。设定公交节点间每次可移动的粒子数小于等于τ（公交最大载客人数）；③上层公交线网与下层子网络间运动：粒子在同一公交节点内在上下2层转换的运动。设定粒子在下层公交节点停留时间大于等于td（发车间隔）时，才能由下层网络移动至上层网络。粒子移动示意图见图2。

图2 粒子出行示意图Fig.2 Particle travel

1.3 传播模型

在现有2019-nCoV 传播研究中，范如国等[16]基于复杂网络理论，建立了SEIR 动力学模型对新冠疫情的传播及其拐点进行预测分析；张宇等[17]改进SEIR 模型建立交通线路传播模型，进而探索新冠疫情沿交通线路的传播机理。采用SEIR 模型对COVID-19进行研究不仅符合实际、可靠性强，并且与复杂网络模型可以较好融合。

公交网络模型中引入SEIR（S：易感染状态；E：潜伏状态；I：感染状态；R：免疫状态）模型[18]来描述每个节点上的传播过程时，设定t时刻节点vij上各状态的粒子数分别为：Sij(t)，Eij(t)，Iij(t)，Rij(t) 且nij=Sij(t)+Eij(t)+Iij(t)+Rij(t)为t时刻该节点上的总粒子数。SEIR模型传播可分为3个过程：①感染者I和潜伏者E在接触易感者S后都有概率β（根据国家卫健委公布数据感染者和潜伏者的感染概率相同）将其导致感染成为潜伏者E，且在节点vij上假定粒子为均匀接触；②潜伏者E 体内的病毒在潜伏一段时间后，有概率ω成为感染者I；③同时感染者I处在感染状态一段时间tR后则会恢复成为免疫者R，并且之后不再参与感染过程。则感染过程可表示为

根据现有研究，网络中感染者或者潜伏者与易感者同时处在相同节点才会发生接触感染，易感者在节点上被感染的概率则与t时刻在vij节点上的感染者和潜伏者的数量有关，节点上所有粒子的接触机会相等，则在t时刻在vij节点易感者被感染的概率为[19]θij(t)=1-(1-β)Iij(t)+Eij(t)。

2 模型仿真与结果分析

2.1 初始状态设置

将公交网络传播模型通过Matlab 编程进行仿真。设置模型的初始状态，根据现有研究得出的城市公交网络设定参数[20]设置公交网络中子网络N=50，每个子网络中的节点个数M=20。子网络中的平均度k i=5，公交线网的平均度k B=5。网络中设置粒子的数目n=104，则网络中每个节点上的平均粒子数=10。在粒子出行规则中，粒子的出行概率pb=0.02；返回概率pc=0.6。粒子出行后的停留时间ts=3 公交的发车间隔时间td=2，公交载客人数τ=30。初始状态下设置1%的粒子为感染者，且初始感染者只在同一区域子网络的节点中。根据国家卫健委公布数据确定新冠肺炎的传播概率β=0.48，潜伏转化概率ω=0.1，康复时间tR=10。基本再生数为3.9＞1，病毒会在网络中蔓延。且仿真运行至所有的感染者全部康复后，停止运行并输出数据。

2.2 结果分析

2.2.1 出行过程传播分析

仿真模拟首先研究公交系统对病毒传播的影响，在仿真中将公交网络传播模型中的上层公交线网的设置与取消作为区域有无公交连通状况对比仿真。如图3 所示，在有公交连通状况下，ρI(t)的斜率较大，峰值较高，疫情爆发经历时间较短。说明公交系统的运行会加快疫情传播速度，增大疫情防控困难程度。

图3 有无公交情况下的感染结果Fig.3 Infection results with/without public transportation

进一步研究公交出行量对传播范围的影响，图4表示在不同的出行概率pb的情况下的ρR(t)的曲线。通过观察可以直观看出，当出行概率由0.5降低至0.005 时，疫情扩散规模会缩小1 倍，扩散速度也会降低3倍，则控制出行量是有利于控制疫情传播，有助于实施防疫措施。

图4 不同出行概率的感染结果Fig.4 Infection results with different travel probabilities

图5 公交节点感染人数占比Fig.5 Proportion of infected people in bus nodes

通过图5 中可以发现，当出行概率pb越大时，通过公交节点被感染的人数占总感染人数的比值也在增大。当出行概率pb大于0.5 时，公交节点感染人数占总感染人数的比值随之达到50%以上。公交网络中的公交节点是整个传播的重点环节，接下来的分析需要针对此方面进一步展开。

为研究出行规律性的影响，需要设定固定的出行概率pb，对不同返回概率pc下的结果进行分析。pc越趋近于1出行轨迹越规律，出行者的起止点相同；pc越趋近于0，说明网络中出行轨迹越随机，出行经过的节点越多。图6 表示了在固定出行概率pb下，不同pc值的情况下，ρI(t)的曲线趋势。当出行轨迹规律时，传播速度会很大程度的受到限制；当出行轨迹越随机时，出行经过节点会增多，疫情爆发会因此加快。说明有规律的出行会限制传播规模。

图6 不同pc 值的感染人群比例曲线Fig.6 Proportion curve of the infected population with different values pc

2.2.2 公交节点传播分析

根据上文中的研究结果，发现网络中公交节点在疫情扩散的整个过程中极其重要，则需要详细分析公交节点上的感染过程。分析公交节点传播过程可分为上下2层：上层代表出行者乘坐在公交车上；下层则代表出行者在公交站点候车。

为了更好的模拟，增设满载率α参数，则公交车上的实际载客量即为满载率与额定载客量的乘积。通过对不同发车间隔和满载率分别仿真的结果（见图7～8）可以看出在发车间隔较小、满载率较高时，公交车上感染人群占比（公交车上感染人数占比=上层网络总感染人数/公交节点总感染人数）较高。反之，公交站点感染人群占比（公交节点感染人数占比=下层公交节点总感染人数/公交节点总感染人数）较高。从最终免疫人群比例曲线可以发现，发车间隔增加和满载率增大都会加剧疫情传播，则说明发车间隔和满载率共同影响着疫情传播过程。

为分析公交站点上经过的公交线路数对病毒传播是否有影响，将模型中的子网络设置为相同结构，并统计每个子网络内公交节点的度数。度越大的公交节点，则表示该节点上经过的公交线路越多。图9则反应当公交节点上的公交线路越多，在公交节点上感染的人数也越多。

图7 不同发车间隔下的感染结果Fig.7 Infection results at different departure intervals

图8 不同满载率下的感染结果Fig.8 Infection results at different full load rates

图9 不同度公交站点上的累计感染人数Fig.9 Number of infections in bus nodes of different degrees

综上分析，城市公交的运行会加快病毒传播的速度，疫情会随着公交出行的过程传播至整个网络。出行量的增加会导致感染范围的扩大，并且是最主要的影响因素。病毒感染的主要位置在公交节点上，发车间隔与满载率会影响到公交站点和公交车上的感染人数。公交站点上经过的公交线路条数较多时，也会增加出行者在公交节点上的感染风险。

3 策略分析

根据对影响病毒传播因素的分析，下面根据关键因素有针对性的对公交系统提出策略并进行有效性分析。策略包括宏观控制和微观调节2 个方面，有效性评价指标选取最终免疫人群比例ρRZ。ρRZ越小，疫情传播规模越小，表示防控策略效果越好。

3.1 宏观控制策略分析

公交系统防疫的宏观控制策略，主要是包括：切断公交线路和停运公交站点。在本文所建立公交网络中，此措施中切断比例为φ1的公交线路，停运比例为φ2的公交站点，并分析整个网络中的传播过程。

仿真结果见图10，当切断公交线路的比例φ1越大时，整个网络中的感染规模会降低。当切断公交线路比例φ1＞0.5 时，最终免疫人群比例ρRZ下降至0.3以下，防控效果明显。当停运公交站点的比例φ2越大时，整个网络中的感染规模会降低。当停运公交站点比例φ2＞0.4时，最终免疫人群比例ρRZ下降至0.3 以下。宏观控制策略则是在交通需求管理方面降低出行率来控制疫情传播。此结论与之前研究文献[14，19]相符。

图10 宏观控制策略效果Fig.10 Macro-containment strategy effect

虽然在宏观控制策略可以简单有效的控制疫情传播，但公交系统停运时间过长会对城市经济发展及城市居民生活产生较大影响。则需要更深入的研究公交运行状态下的防疫策略。

3.2 微观调节策略分析

根据上述分析，发车间隔和满载率同时影响公交系统中的病毒传播过程，所以在公交防疫微观调节策略中，不能仅研究单一因素对传播的影响，需同时对满载率和发车间隔同时进行调整。见图11，可以观察到调节满载率和发车间隔的防疫效果，当发车间隔td＜4 且满载率α＜50%时，ρRZ达到0.4 以下。此策略的运用较为灵活，特别是在疫情稳定后复工复产时期，这种策略能较好的满足居民出行需求，且达到良好的防疫效果。

图11 最终免疫人群比例与满载率和发车间隔关系Fig.11 Relationship among the proportion of final immunepopulation，the full load rate，and the departure interval

4 结束语

笔者在现有的研究经验基础上，建立了双层公交网络模型来研究公交出行模式对病毒传播的影响，并采用SEIR模型和出行规则与双层公交网络模型进行耦合，进而对传播过程和防疫策略仿真分析。通过分析发现：①公交出行会加快疫情传播的速度，公交出行量与传播范围呈正相关；但是有规律的出行会减小传播范围；②公交节点在整个网络的传播过程中起到了极其重要的作用。其中公交车上和公交站点上的感染过程与发车间隔和满载率息息相关，发车间隔大、满载率小时，感染多发生在公交站点；反之，感染多发生在公交车上。并且公交线路条数越多，公交节点上的感染人数也会增加，当单个节点的公交线路条数大于6 条时，该节点感染人数会增大35%；③公交防疫的宏观控制策略中，切断公交线路比例φ1＞0.5 或者停运公交站点比例φ2＞0.4时，最终免疫人群比例ρRZ会下降至0.3 以下；④在微观调节策略有效性分析中发现，要达到理想的防疫效果，需要同时调整公交满载率和发车间隔，当发车间隔td＜4 且满载率α＜50%，最终免疫人群比例在0.4以下，公交防疫会取得较好的效果。