基于方程思想为导向的解析几何解题探究

邵炎清

[摘  要] 解析几何中，解决直线与圆锥曲线的位置关系以及几何量的运算，通常应用“函数与方程”思想方法. 而数学运算是高中数学重要的核心素养，函数与方程思想是高中数学应用广泛的数学思想方法. 在解析几何的学习中，学生面临两个难点：其一，不能建立恰当的方程（组）;其二，缺乏解方程的运算能力与技巧. 文章着眼于学生学习解析几何的两大难点，归结解析几何中应用“方程思想方法”的题型及其运算技巧.

[关键词] 方程思想;直线与圆锥曲线;代换

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要知识点. 解析几何体现了数学中“形与数”的辩证统一，解题研究中主要运用“函数与方程”“数形结合”等数学思想方法. 因此，解析几何题对学生的代数运算能力与图形分析能力要求都很高. 而对直线与圆锥曲线的位置关系的探究，一直是解析几何解题研究的核心. 解决直线与圆锥曲线位置关系有两个关键点：其一，选择恰当的参数，将几何位置关系转化为代数方程;其二，运用运算法则与技巧，化简方程（组）中代数逻辑关系. 在解析幾何的教学中，我们不难发现，学生往往能够将几何关系转化为适当的方程关系式，却缺乏代数逻辑推理与运算技巧，由此导致解题半途而废. 因此，操控方程的能力往往决定了学生解决解析几何问题的能力. 笔者尝试从解析几何的“方程思想”解题研究中，总结了以“同方程同解”“同运算同结论”“同思维同结论”“同解同方程”为导向的解题思想方法与运算技巧.

同方程同解思想

高中解析几何研究的核心是直线与圆锥曲线的位置关系，通过方程将直线与圆锥曲线的几何关系转化为代数模型. 题设中存在多条与圆锥曲线几何位置关系相同的直线，这些直线与圆锥曲线方程的建立、整理、运算方法路径都相同，其方程的解也就相同. 这就是“同方程同解”思想.

例1：已知椭圆C： + =1上任一点Q（s，t），由原点O作圆Q：（x-s）2+（y-t）2=r2（r>0）的两条切线OM，ON，切线交椭圆分别于M，N，切线斜率分别为k ，k （k k ≠0），当k k 为定值时，探究OM2+ON2是否为定值.

解析：直线OM：y=k x与圆Q相切，圆心距d 等于圆半径r，d = =r，平方整理得方程①：（r2-s2）k +2stk +r2-t2=0，同理直线ON与圆Q相切，可得方程②：（r2-s2）k +2stk +r2-t2=0，故k ，k 是方程③：（r2-s2）k2 +2stk +r2-t2=0的两根. 由韦达定理，设k k = =m（m为常数）， + =1，即s2=8-2t2，所以k k = =m，即（2m+1）t2+mr2-r2-8m=0对t∈[-2，2]恒成立. 故对2m+1=0，mr2-r2-8m=0，得m=k k =- . 又 + =1，y=k x，解得点M（x ，y ），x = ，y = ，得OM2= ，同理可得ON2= ，而k =- ，所以ON = ，推出OM2+ON2= =12.

总结：本题中直线OM，ON与圆Q都相切，它们与圆Q建立的方程①②的系数是相同的，方程①②的解也就相同了，因此方程③的解就是方程①②的两解. 同样的，直线OM，ON与椭圆的几何关系也相同，它们与椭圆建立的方程也相同，解相同. 也就可以将M点解中的k 换成k ，形成N点的解. 在此类题型中，“同方程同解”思想方法的应用，简化了运算.

同运算同结论思想

解析几何中动态几何关系往往转化为代数不等关系. 迁移“同方程同解”思想，题设中存在多条直线与圆锥曲线有相同的动态几何位置关系，这些直线与圆锥曲线建立不等式的思路、运算方法都相同，其运算结论也就相同.

例2：已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=4，不经过点（0，1）的直线l交圆C于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点O，求直线OM斜率的取值范围.

解析：以MN为直径的圆经过原点O，即∠MON=90°，直线l不经过点（0，1），所以直线OM的斜率不为0，设为k，直线OM的方程为y=kx，与圆C有公共点M故d= ≤2，解得k≥- . 直线ON：y=- x与圆C有公共点N，同解- ≥- ，得k≥ 或k<0，所以OM的斜率取值范围为k≥ 或- ≤k<0.

总结：以MN为直径的圆经过原点O，即OM⊥ON. 此题可以逆思维，从原点O作两条互相垂直的直线OM，ON交圆C于M，N，利用不等式d≤r求出OM的斜率范围k∈- ，+∞，ON斜率不等式的建立和运算，与OM相同，进而ON的斜率- ∈- ，+∞，这就是同运算同结论的思想方法的应用.

同思维同结论思想

当题设中存在形式一致的代数关系式时，这些代数式体现的几何位置关系也就相同. 因此这些一致代数关系式的整合方法、操作思维、运算方式相同，其结论形式也一致，这就是“同思维同结论”思想.

例3：已知椭圆M： + =1上四点A，B，C，D，点P（1，1），满足 =2 ， =2 ，探究直线AB的斜率是否为定值.

解析：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），

由 =2 ，可得1-x =2（x -1），1-y =2（y -1），化简为x = ，y = . 点C在椭圆上，有 + =1，将x ，y 代换x ，y 并整理得①： + =4，点A在椭圆上，有②： + =1. ①与②作差得③：6x +8y +27=0，B，D的坐标运算过程与A，C运算过程相同. 所以得④：6x +8y +27=0. ③与④作差得：6（x -x ）+8（y -y ）=0，得k = =- .

总结：之所以可将运算A，C两点结论①中坐标分别代换为B，D两点的坐标得到②式，是因为题中 =2 ， =2 ，代数关系式形式一致. 处理关系式 =2 与处理关系式 =2 的思维和运算相同，其结论也相同.

同解同方程思想

若二次方程的解相同，那么方程也就相同. 当同一条直线与多条圆锥曲线交点相同时，意味着此直线与这些圆锥曲线联立方程组的解是相同的，那方程组消元后的方程也是相同的.

例4：已知椭圆C： + =1的上顶点M，斜率为1的直线交椭圆异于M的A，B两点，探究经过A，B，M三点的圆Q是否经过除点M外的某个定点.

解析：利用圆与直线系是求圆过定点的主要方法，故本题探究的就是能否用一个参数表示经过A，B，M三点的圆的方程. 设直线方程y=x+m（m为参数），设圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆Q经过点M（0，2），代入圆方程可得F=-2E-4. 直线与圆Q联立方程组x2+y2+Dx+Ey-2E-4=0，y=x+m，得方程①：x2+ （2m+D+E）x+ （m2+Em-4-2E）=0，其根为x ，x . 又直线与椭圆C联立方程组 + =1，y=x+m，得方程②：x2+ x+ =0，其根也为x ，x . 因为方程①②都是二次方程，根同为x ，x ，故方程①②中各项系数对应相等，即 = （2m+D+E）， （2m2-8）= （m2+Em-4-2E），整理得2m=3D+3E，（m-2）（m+2）=3E（m-2），因为m≠2，得D= ，E= ， 代入圆Q整理得到圆与直线系方程：x2+y2- x+ y- + （x+y-2）=0，令x+y-2=0，得x2+y2- x+ y- =0，解方程組得x=0，y=2，x= ，y=- ，所以，经过A，B，M三点的圆经过除点M外的定点 ，- .

总结：本题的解题方向就是只用一个参数m表达出圆Q的方程，若用直线与椭圆联立方程解出A，B两点坐标，再利用A，B，M三点求解圆Q方程，运算量很大. A，B两点既是直线与椭圆的交点，又是直线与圆Q的交点，即直线与椭圆所得方程和直线与圆所得方程是同一方程，利用待定系数解出圆Q方程.

结语

通过代数分析几何图形最能反映学生的数学核心素养. 高考中的解析几何考查的重点是直线与圆锥曲线的位置关系，而图形位置关系通过代数方程体现. 方程思想是解析几何中的核心思想方法. “同方程同解、同解同方程思想”主要应用于题设存在相同几何位置关系和相似代数关系的处理，整合建立其方程的形式与思维一致，处理运算方程的方法相同，所得结论也相同. 因此，“同方程同解、同解同方程”不仅是一种数学思想方法，更是一种方程的运算技巧. 它不仅在解析几何解题中应用广泛，在函数的解题研究中作用也很大.