数学化：助推学生的数学建模

仇月华

[摘  要] 学生的数学学习过程从某种意义上来说就是一个数学建模的过程。在数学建模的过程中，数学化发挥着重要的作用。学生的数学学习不仅要横向数学化，而且要纵向数学化，更要综合性地纵横数学化。只有深入“建模”的意义，才能称得上是一种真正的、有深度的数学学习。

[关键词] 小学数学;数学化;数学建模

从根本上说，数学是一门模型的科学。所有的数学概念、定理、法则等说到底就是一个个数学模型，它们都是对现实世界中的问题的数学化刻画。因此，学生的数学学习过程从某种意义上来说，就是一个数学建模的过程。作为教师，既要引导学生对实际问题进行细致入微地观察、分析和描述，将现实问题抽象成数学模型，同时又要注重将数学模型运用到实际中，用数学模型诠释。数学化在其中发挥着重要的作用。学生的数学学习，只有深入“建模”的意义，才能称得上是一种真正的、有深度的数学学习。

一、横向数学化——引导原型转化

数学化这一术语是由荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔提出的。弗氏将数学划分为“横向数学化”（水平数学化）和“纵向数学化”（垂直数学化）。所谓“横向数学化”，是指“从现实世界引向符号世界”。所谓“纵向数学化”，是指从数学的符号到数学的概念，是一个抽象化、形式化、公理化的过程。这个过程也是一个知识的深化过程。如何促成学生经历横向数学化呢？笔者认为，教师要引导学生注重对生活原型的转化。

小学数学是一种质性数学，或者说是一种生活数学。从生活中汲取教学的素材、资源是数学教学的应有之义。作为教师，可以创设生活化的现实情境，引导学生经历从生活实际问题抽象成数学问题的过程，这就是横向数学化的过程，也是生活原型的转化过程。比如教学“分数的初步认识（一）”（苏教版三年级上册）时，教师就应当从学生的生活世界之中取材。因为，分数的概念是抽象的，如何让这种抽象化的分数概念变得形象起来、直观起来，从生活世界出发是唯一的出路。笔者在教学中，借助学生生活世界中的“分蛋糕”等这样一个对学生极为有意义的“事件”，引导学生认识“半个”，逐渐过渡到“ ”“ ”等。在此基础上，用一个个不同大小的圆圆的、方方的纸片作为“蛋糕”，引导学生操作，比如将蛋糕平均分成三份、四份，表示其中的一份等。在这个过程中，学生能够深刻地认识到：尽管每个蛋糕的大小不同、形状不同，但由于平均分的份数相同，因而每份所表示的分数就相同;而尽管两块蛋糕的大小、形状相同，但由于平均分的份数不同，因而每份所表示的分数就不同。这样的认识，自然促成学生舍弃了一些操作的非本质属性，形成对数学的本质属性的认知，进而获得一种数学化感悟，即分数与平均分的份数和表示的份数有关。

数学化是人们运用数学的方法观察现实世界、分析研究各种具体现象并逻辑地组织材料发现规律的过程。横向数学化，让数学与生活无缝对接。学生不再是机械地、被动地接受知识，而是主动地、灵动地建构新知。横向数学化有助于激发学生主动思考、探究。当学生从生活世界中厘清问题的本质，洞察数学与生活的本质关联，找到解决问题的方式方法时，也就实现了有意义学习的关键一步。

二、纵向数学化——深化建模体验

将生活实际问题转化为数学问题之后，教师就必须引导学生运用数学的方法进行抽象处理，这就是“纵向数学化”。纵向数学化，能够深化学生对生活建模的体验。通过纵向数学化，能够实现学生认知心理结构从不平衡转向平衡，这个过程伴随着认知同化与认知顺应。所谓“同化”，是指新知被学生原有认知结构所吸纳;所谓“顺应”，是指原有认知结构不能接纳新知，因而原有认知结构就必须发生一些改变，从而让认知结构从不平衡走向平衡。

在纵向数学化的过程中，教师要帮助学生搭建从直观、形象走向抽象的桥梁，帮助学生建立数学化的思维方式，渗透数学的思想、方法等，从而让学生的数学化活动不断走向深入。比如教学“用数对确定位置”（苏教版四年级下册），笔者运用课件，设置了一个“打地鼠”的游戏活动。活动分为三个层次展开：首先是让学生在一个方向上间隔一定的距离去寻找地鼠;在学生建立了方向、距离等概念之后，游戏开始升级，从“一维直线”过渡到“二维平面”。然后，狡猾的地鼠不再在一条直线上躲躲藏藏，而是进入了一个平面内。如何在平面内确定地鼠的位置？相比较于在直线上确定位置，平面内确定位置不仅范围更大了，而且更为重要的是刻画的元素增多了。由此，学生自然想到了从“行”和“列”两个方向、两个维度去表达、刻画位置。通过这样的教学，学生确定位置的素养自然得到生长。在此基础上，游戏继续升级，狡猾的地鼠从平面转向了空间，我们又该如何确定地鼠的位置呢？我们又应该从哪几个方向来精准刻画、定位地鼠的位置呢？通过这样的设计，逐步引导学生经历纵向数学化。学生精准刻画、定位一个物体的位置从点到线、从线到面、從面到体，逐渐深刻地认识到“用数对确定位置”的方法，建立了“在平面内用数对确定位置”的数学模型，并且猜想在空间中“用数对确定位置”的数学模型。纵向数学化，让学生的数学认知不断深入，让学生的数学思维不断被激活，让学生的数学想象力得以延伸、拓展。在这个过程中，学生的数学活动经验得到了发展，数学学习力得以提升，数学核心素养得以发展。

纵向数学化，关键是建立学生的数学思维方式。小学生由于年龄和心理特征的制约，其观察事物、思考问题往往只观其表、不析其里。纵向数学化就是要引导学生主动探究，从而帮助学生习得数学的思想方法。在这个过程中引导学生由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真的过程。在数学建模过程中，教师可以引导学生分析问题、解决问题，渗透数学的思想方法。

三、纵横数学化——完善建模过程

在学生数学学习中，横向数学化与纵向数学化往往是交织在一起的，构成了纵横数学化的过程，纵横数学化有助于完善学生的数学建模过程。在数学化的过程中，教师要引导学生反思，让学生感受、体验数学化的意义和价值，促成学生数学建模思想的形成。反思是一种思考，是一种对数学知识形成过程的审视、检视。

在建构数学知识的过程中，学生可能对数学思想方法、数学建模过程还没有形成自觉的意识。通过反思，学生对数学知识能进行有效地识别，学生的数学建模能够走向自觉。教学中，教师要引导学生进行理性推理，从而深入地理解数学知识的本质。数学建模，首先源于直觉，而后是主动探究、尝试证明、反复验证，这个过程必然涉及纵横化的综合数学化。比如教学“成正比例的量”（苏教版六年级下册），我们从学生生活世界中纷繁复杂的数量关系入手，引导学生认识，在其中一个量不变化的情况下，另外两个量的变化关系。诸如“单价不变的情况下，总价随着数量的扩大而扩大;数量不变的情况下，总价随着单价的扩大而扩大”。通过计算两个变量即数量与总价或者单价与总价之间的比值就是商，学生自主建构了正比例的量，认识了数量与总价、单价与总价之间的正比例关系。在此基础上，学生对这一系列数量关系进行正比例的考量、考察。通过对诸多成正比例的量的关系的概括、抽象，学生用符号来将这种复杂的正比例关系确证与表征出来，形成了简约化的正比例关系式，建构了简约化的数学模型，即“k= （k一定）”。不仅如此，在教学“成反比例的量”时，学生自然就能循着正比例的学习经验，依托正比例的探究流程，建构反比例的知识意义。不仅如此，学生还能积极、主动地将“成正比例的量”与“成反比例的量”进行对比，认识到它们的共同点和差异，从而深化学生的数学认知。在纵横数学化地数学建模过程中，教师要培育学生数学化的眼光，培育学生概括化的能力，培育学生应用化的素养。

通過纵横数学化，引导学生完善建模过程，不仅要丰富“模”的生活化积累，更要引导学生经历“型”的获得过程的感悟。只有引导学生建构数学模型、应用数学模型、延伸和拓展数学模型，才能让学生的数学建模过程不断走向完整、走向完善。数学建模要避免抽象的“形而上”、空洞的“形式化”，引导学生经历完整的、丰盈的数学建模历程。

东北师范大学史宁中教授说道：“数学的基本思想有三大类：抽象、推理和模型。建构数学模型不是让学生进行呆板的记忆，而是促进学生灵动地感悟、理解。”教学中，教师要增强学生的“模型意识”，让学生感悟“模型思想”。数学模型的诞生过程表征着学生对数学知识的“再创造”，表征着学生经历了生动的“数学化”过程。数学建模的过程是数学与生活双向互动的过程。通过数学建模，学生对数学知识的模型建构从“量的积累”走向“质的飞跃”！