从指数与对数的运算考查,探究数学运算能力的提升路径

福建 包 喜 卢秀敏

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出了数学学科六大核心素养,数学运算是其中之一.运算能力反映了学生的综合能力,也直接决定着学生的考试水平,探究数学运算的原理与实践方法毫无疑问是提升运算能力的重要途径.笔者结合2020年的高考试题,着重分析高考在指数运算与对数运算这一知识点的考查,探究运算能力的提升路径.

高中数学运算主要是依据运算法则解决数学问题的一个过程,它主要包括:运算对象的理解,运算法则的掌握,运算方向的探究,以及运算方法的选择等等.

引例:(2020·全国卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,则

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解题分析:2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),构造函数f(x)=2x+log2x,可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且已知f(a)

剖析:①运算对象的理解:指数式、对数式的直观展现,指明解题方向为对指数、对数的运算考查或者是对指数函数、对数函数图象与性质的考查；

②运算法则的掌握:指数幂运算的乘法、除法、乘方公式,对数的换底公式、降次运算、加减法运算等公式是转化已知条件的桥梁；

③运算方向的探究:题设为等式条件,选项为不等式关系,要求将等量关系转化到不等关系；变量a保持不变,变量b需选择转化方向“2b”或是“b2”；

④运算方法的选择:可考虑特殊值法、构造函数法、结论检验法.数学的运算要做到会算,会少算,也要会不算.

对近年来有关指数与对数问题的研究,笔者发现这部分的内容有难度加大的趋势,其中对运算的把握又是做好此类问题的关键,所以如何提高指数与对数的运算能力,是很值得我们探讨的课题.

1.合理建模,简化计算

数学模型在本质上是内在数学各要素的对应关系,外在表现往往被抽象成建立在数学符号基础上的等式、不等式、图象、图表等内容.一般地,选择适当的数学模型的能力就是将问题归入哪类知识点的判断能力,因此,提升学生运算能力的第一要务就是提升学生对数学模型的选择能力.

【例1】(2020·全国卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y,则

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解题分析:已知条件“2x-2y<3-x-3-y”表明考查对象是两个指数函数y=2x,y=3x,但由于变量中有正负x,y,因而函数的单调性不能直接运用,所以转变条件为“2x-3-x<2y-3-y”,从而构造了新函数f(x)=2x-3-x,f(x)为R上单调递增函数,原不等式等价于f(x)1,故ln(y-x+1)>0,选项A.

大部分解不等式问题,特别是指数、对数、含参数的不等式,需要寻找出真正的有效不等式,构造不等式两边都符合形式的新函数,再结合函数的单调性,形成新的不等关系,解决问题.这一解题方法要求对已知不等式条件进行变形、化简,形成函数模型,这是对数学思想——化归与转化的考查.

变式训练题:(多选题)设0

( )

A.alnb>blnaB.alnb

C.aebbea

2.既有模型,细心研读,代入运算

学生要有分析问题及解决问题的意识和能力,近几年的新高考命题中,指数与对数的考查通常打破常规,通过降低难度、位置前移,增加创设简单的问题情境,考查学生的阅读能力及分析问题、解决问题的能力.

( )

A.60 B.63

C.66 D.69

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

解题分析:因为已知R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以3.28=1+6r,得r=0.38,所以I(t)=e0.38t=2,所以0.38t=ln2,即0.38t≈0.69,t≈1.8，故选B.

从上述两道高考试题的解答过程可以看出,学生要成功解题的秘诀包含三点:一是要有问题意识,把题目拆分成要解决的问题,然后步步为营,逐步探究；二是要找出问题的关键点与难点,寻找相应的解决策略；三是要有良好的心理素质,要有解决问题的勇气和自信心,不能一看到较为陌生的公式、参考数据就手足无措,无从下手进而直接放弃.数学运算能力是高中生的关键能力之一,是提升高中生核心素养的基本要求,进一步发展数学运算能力,有效运用数学模型可以解决很多的实际问题.通过运算可以促进学生思维的发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨的科学精神和态度.

( )

A.10% B.30%

C.50% D.100%

答案:A.

解此题型的心得体会:题不在难,有魂则灵,指数与对数运算融入生活应用,可明确地考查学生的阅读能力、提取信息的转化能力、数学文化的鉴赏力、敢于挑战的自信力,逐步在高考试题中占有稳固地位.

3.聚焦问题分析,追本溯源,四两拨千斤

数学运算是一项基本技能,虽然高考要求“多考想,少考算”,但是必要的基本运算能力,是进一步学习所必需的能力.特别是指数、对数函数的运算题,可以含有多个运算对象、多种运算规则、多个运算层级的综合,包括计算路径的选择与设计,都对数学运算能力、数学逻辑思维提出了较高的要求.

( )

A.m-n>mn>m+nB.m-n>m+n>mn

C.mn>m-n>m+nD.m+n>m-n>mn

解题分析:第一层级——通过数据符号,比较大小：

因为m>0,n<0,所以mn<0,m-n>0,m+n正负未知,故可得m-n>mn,排除选项C；

第二层级——作差比较法,比较两个数的大小：

因为(m+n)-(m-n)=2n<0,故可得m+n

第三层级——作商比较法,结合对数运算公式的考查,比较大小:

由本题的求解可以发现,针对不同对象的比较大小,运算方向的选择是十分重要的.高考试题中往往都会通过含指数、对数的运算式的比较大小,逐层考查学生的建模能力、运算能力和逻辑推理能力.数学运算的考查通常是目标明确的,通过形式相近、解法想通、本质一致进行展现,可使考题重点突出,学生的数学应用意识得以检验,进而增加了挑战的难度及获取成功的能力高度.

解题说明:指数与对数的运算是基于相同底数的运算,不同底数的指数与对数必须化归为同底形式才可计算,明确解题出发点可打开解题思路.

解题说明:转换思维切入点是本解法的特色,针对指数与对数的运算,不仅依靠其本身的运算法则,亦可借助幂运算这一桥梁,追本溯源,统一形式,简捷地得出正确结论.

4.依托代数运算,站在数学高处,综合提升数学能力

高中数学主要有六大模块的知识点考查:三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、函数与导数,它们都是从不同侧面描述现实世界的数学模型.高考试题将这六大知识科学融合,合理地有目标地检测学生的数学能力.如何展现数学形式化表达的基本能力要求,如何体现数学思维活动的生动活泼,是教师在课堂教学中引领学生数学活动,提升数学素养的基本要求.

( )

A.若n=1,则H(X)=0

B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大

D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)

解题分析:对于A选项,若n=1,则i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A选项正确.本选项将研究对象“定量定值”,考查学生的特例思维,引导学生特殊到一般的研究问题方式.

对于B选项,若n=2,则i=1,2,p2=1-p1,

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],

两者相等,所以B选项错误.

代数运算的直观感知是抽象思维的源泉,本项在A选项“定量定值”的考查基础上提出“定量不定值”的情况,考查将运算对象进一步抽象为函数模型,利用函数的基本性质,进行准确判定结论.

对于D选项,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y),所以D选项错误.本选项从“不定值不定量”且“双元变量”的角度提出了研究方向,涉及基本不等式的基本性质,考查分析、思考和解决问题的高层次能力.

本题的精彩之处在于用一个数学背景,设置“定量定值”“定量不定值”“定值不定量”“不定值不定量”多个研究角度,满足了形式化表达数学的基本要求,又实现了数学思维的发散性和拓展性,引导数学思考的高度,不同层次地提升数学能力.教师通过对该考题的深入研究,从不同的角度观察,站在数学的制高点上,精心、细心、耐心地分析,逐步引导学生思考、实践、解决问题,使学生勇于探索、深入研究、深刻体会数学的精彩与巧妙,达到综合提升自身数学核心素养的目的.

(本文系龙岩市2020年教研机构课题《高考评价体系视域下提升学生运算求解能力的教学策略研究》的阶段研究成果)