抽丝剥茧探本源 步步为营巧推断——基于函数的复合方程求解

李秀元 武 刚

(1.湖北省武穴市实验高级中学 435400；2.湖北省武穴中学 435400)

函数零点是高中数学一个重要概念.考查函数的零点，对于等价转化和数形结合思想方法培养有着非常重要意义.函数的零点，即函数图像与x轴交点的横坐标，也即对应方程的根.因此，基于函数的复合方程根的问题，最终将回归到基本函数的零点，研究基本函数的图像，从形上实现问题的求解.

一、解方程确定函数的零点

A.5 B.4 C.3 D.6

图1

方程[f(k)]2-f(k)-2=0有两个不同的实数解，等价于：

图2

评析无论是求复合函数零点个数，还是依据复合方程根的个数求参数取值范围，都是基于函数的零点与方程根的关系，通过解方程，将复合函数的零点问题，转化为基本函数方程根的问题，借助于基本函数的图像，确定问题的解.此类问题主要考查解方程及研究函数图像，突出数形结合思想方法的运用.

二、简化方程，研究基本函数图像以确定参数取值范围

图3

例4 已知函数f(x)=(ex-1)2-|ex-1|+k，给出下列四个命题：

①对∀k∈R，函数不可能有4个零点；

②∃k∈R，函数有且只有1个零点；

③当且仅当k=0时，函数恰有2个零点；

④∃k∈R，函数有3个零点.

其中正确命题的个数是( ).

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

图4

评析即使复合函数(方程)类似，但因无法直接求出方程的根.对f(x)换元后，构造出两个方程(函数)，结合基本函数的图像特点，通过研究基本方程解的存在情况，确定复合方程解的存在性，从而确定问题的解.数形结合依然是求解的利器，但逻辑推理亦不可或缺.

三、利用函数性质，解套对应法则

例5 已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若函数g(x)=f(x2)+f(a-2|x|)恰有4个零点，则实数a的取值范围是____.

解因为f(x)为奇函数，令g(x)=0，则f(x2)=-f(a-2|x|)=f(2|x|-a).又f(x)为R上的单调函数，所以x2=2|x|-a.从而方程x2=2|x|-a有4个实根，即y=a与y=-x2+2|x|的图像有4个交点.作函数y=-x2+2|x|的图像如图5.因此，0

图5

评析由于没有明确的函数解析式，基于抽象函数的复合函数零点问题，利用抽象函数的奇偶性，将方程转化为两个独立的函数值相等的形式，再利用函数的单调性，解套对应法则，得到基本方程类型，再根据数形结合得到问题的解.

四、换元解嵌套函数方程

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解函数h(x)的零点，即方程f(f(x))=f(x)的根.令f(x)=t，则有f(t)=t.先求方程f(t)=t的根，对应于函数y=f(x)与y=x的图像交点横坐标.由于y=x与y=f(x)相切于点(-2,-2)和(e,e)，故f(t)=t的根为t=-2和t=e，如图所示.

图6

由f(x)=-2可知方程有2解；由f(x)=e可知方程有3解.

因此，函数h(x)=f(f(x))-f(x)有5个零点.

A.2 B.4-4ln2 C.4+2ln2 D.1-3ln2

图7

原方程的根由f(x)=t确定，要使原方程恰有两个不等实根，根据f(x)的图像可知，t≤-1且t唯一.

令y=4x+2e-x(x≤0)，则y′=4-2e-x.

由y′>0，得-ln2

所以，函数y=4x+2e-x是(-∞,-ln2)内的减函数，(-ln2,0)内的增函数，从而4x1+x2的最小值在x=-ln2时取得，值为-4ln2+2eln2=4-4ln2，选B.

评析对于嵌套函数(方程)，将f(x)换元后，原方程转化为方程组，但最终复合函数的零点是由f(x)=t来确定，而t的个数和范围直接决定方程f(x)=t解的个数.显然，函数y=f(x)的图像，在试题求解中依然起着举足轻重的作用.