从两道高考题谈“同源”法构造函数的应用

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学 241000)

一、真题呈现

例1(2020年全国卷2·理科第11题)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解析由题，不等式整理得2x-3-x<2y-3-y，构造函数f(t)=2t-3-t，有f(x)0，所以ln(y-x+1)>0，故选A.

例2 (2020年新高考山东卷·第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

二、“同源”法的提出

在高中数学解题中，有些等式(或不等式)可变形成两侧结构相同的形式，利用这个结构式构造对应函数，进而利用该函数性质解题的方法，通常称之为“同源”法.

如例1中将不等式中的变量x,y分离到不等号的两侧，出现2x-3-x<2y-3-y，发现两侧结构相同，于是构造函数f(t)=2t-3-t，有f(x)

三、例析“同源”法在解题中的应用

1.“同源”法在解方程(或方程组)中的应用

例3(2019年衡水中学周考)解方程log13(5x+12x)=log5(13x-12x).

评析本题设两个相等的对数值为t后，将对数式变形为两个指数和式，相加整理得5x+13x=5t+13t，等式两侧结构相同，于是应用“同源”法构造函数解题.

评析解决该题的关键是将β(lnβ-1)=e4变形为(lnβ-1)elnβ-1=e3，使两个方程结构相同，于是利用“同源”法构造函数f(x)=xex解题.

2.“同源”法在求函数值(或最值、值域)的应用

例5已知f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且f(0)=1，对∀x∈R恒有xf(x+2)=(x+2)f(x)，求f(f(2021))的值.

评析设最小值为λ后，变形得到a2-λa+3(b2-λb)+12≥0，因为a与b是独立的变量，且a2-λa与b2-λb结构相同，所以问题转化为4f(x)min+12=0.

3.“同源”法在比较大小中的应用

例7 (2014年湖南卷·文科第9题)若0

A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex2-ex1

C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在(e,+∞)内有极值，试比较ea-1与ae-1的大小，并证明你的结论.

解析(1)当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，+∞)上是增函数；

综上所述，当a∈(e+e-1-2,e)时，ea-1ae-1.

4.“同源”法在求解不等式中的应用

例9(2020年江苏省如东高级中学高二期中)若定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(-x)=2x2，且当x<0时，f′(x)<2x，则不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x的解集为____.

解析由f(x)+f(-x)=2x2得[f(x)-x2]+[f(-x)-(-x)2]=0，构造函数g(x)=f(x)-x2，有g(x)+g(-x)=0，且当x<0时g′(x)=f′(x)-2x<0，则函数g(x)为定义在R上奇函数，且在(-∞,0)上递减，由奇函数的性质易知g(x)在R上递减，不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x整理可得f(x)-x2≥f(2-x)-(2-x)2，即g(x)≥g(2-x)，则x≤2-x，故x≤1.

评析该题是典型的“同源”法构造函数解题，根据f(x)+f(-x)=2x2及f′(x)<2x，构造函数g(x)=f(x)-x2，将不等式f(x)+4≥f(2-x)+4x变形为g(x)≥g(2-x)，由函数g(x)的性质解题即可.

A．[1，+∞) B．(0，+∞) C．(0，1) D．(0,1]

评析设0

5.“同源”法在证明不等式中的应用

例11(2018年全国卷1·文科第21题)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

评析首先将不等式f(x)≥0放缩为ex-1-lnx-1≥0，接下来经过适当变形为xex≥ln(ex)·eln(ex)，两侧结构一样，构造函数g(x)=xex(x>0)解题.

“同源”法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题中若能通过观察、分析、整理，使等式(或不等式)两侧同“源”，则可轻松构造函数，巧妙利用函数单调性解题.