多法求解一道全国模拟试题的“母题”

杜海洋

(四川省成都经济技术开发区实验中学校 610100)

一、试题呈现

子题2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(数学17题)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an．

(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

母题在人教A版新课标教材必修《数学5》中第二章《数列》复习参考题B组第69页第6题：

(1)已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

笔者通过对母题进行分析、思考、探索，得到下面8种解答，目的是对这类由数列的二阶线性递推公式求数列的通项公式的求法进行归纳，以达到抛砖引玉的作用，也希望读者仿照解法对模拟演练试题(子题)进行多角度求解!

二、母题解法

解法1 (教参提供解法)(建立方程组)由an=2an-1+3an-2(n≥3)得：an+an-1=3(an-1+an-2)以及an-3an-1=-(an-1-3an-2)，所以数列{an+an-1}是以a2+a1=7为首项，3为公比的等比数列，所以an+an-1=7·3n-2,

解法5 (构造辅助数列)

解法6(分类讨论)用逐项相消，再用奇偶讨论

由an+an-1=7·3n-2，得n-1个等式a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33…an+an-1=7×3n-2.

三、解法点评

解法1利用递推数列中的项的系数合理分解组合，构造出两等比数列，再利用方程组求解，这也是解法3待定系数法的特例，考查了学生多想少算的解题策略，同时也体现了数学转化划归思想；解法2、4、5灵活运用常数的“功效”进一步将递推公式进行转化，尤其采用解法2针对相邻两项和的递推数列求通项公式可以避免“二次”待定系数法，且学生容易接受；解法6体现了分类讨论思想在数列中的高频运用，进一步激发学生探究兴趣；解法7是本例常见的一种通法，但要留意特征方程根的个数，限于篇幅，请读者查阅相关资料进一步领会特征方程.利用递推数列求数列通项公式是高考的命题热点之一，解决这类问题的方法很多，但不同策略目标是进一步将递推数列划归转化为等差、等比数列，即所谓解决数列问题的“大格局”.

纵观2021年新高考八省模拟演练数学试题，笔者发现，试题体现了新高考的特点即：在秉承素养导向、能力为重的原则下，突出考查学生的理性思维和探究能力，彰显了综合运用数学思想方法发展“四能”的意识.尤其是大量的试题创新设置丰富了试题的内容和形式、优化了试卷的结构.大量试题的背景来源依然是学生“熟悉”的面孔，只是呈现的形式换了“包装”，细心的读者发现实际模拟17题明显在教材的难度上降下了台阶，只要平时教学留意，学生顺利完成不难.

波利亚曾说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但不太负载的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，把学生引入一个完整的理论领域.”教材许多例题、习题看似平常，实际上却有很大的教学价值和研究空间.纵观近几年全国各地高考题，模拟题均能找到课本习题、例题的影子，真正体现源于教材、活于教材、高于教材.高考中不变的是知识和思想方法，变化的无非是情景的呈现形式、问题的结构方式.这就要求平时在教学中，尤其典型例题和习题不但要讲,还要讲深讲透,同时还要进行一题多解多变, 既可以开拓学生的视野，又可以最大限度的发挥习题的最大功效，使之知一题懂一类.