一道数学竞赛试题的多种解法

庞启佳 肖 刚

(1.四川省宜宾学院理学部18级3班 644000;2.四川省宜宾学院理学部 644000)

新版高中数学课程标准要求以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养.发展数学核心素养，渗透于数学学习过程的始末，依赖于创新意识和探究意识，从不同数学视域下进行探究性解题，是发展数学核心素养的重要方法.本文以一道国际国内均出现的数学竞赛试题作为研究对象，探究一题多解在提升数学核心素养中的应用.该试题来源于中国1996年初中数学联赛试题，于1998年出现在加拿大数学竞赛中.试题如下：

方法1几何视角

根据题意，我们可构造如下三角形：

图1

又因为∠A是ΔABD和ΔACB的公共角，从而∠ABC=∠ADB=90°

由勾股定理：

评析从几何视角出发，将方程问题转化为解三角形的几何问题.避开方程的化简和求解的繁复运算，达到事半功倍的效果.

方法2几何视角

注意到“1”，可构造如下三角形：

图2

∴△ACH∽△BCA,∠BAC=∠AHC=90°，

评析方法2与方法1较为类似，不同点在于构造三角形边的长度，导致所得到的最简方程不一致.该方法所得方程为三次方程，需进一步化简.

方法3向量视角

∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1,∴cos〈a,b〉=1.

评析从向量视角出发，将方程问题转化为向量数量积问题.通过数量积等于1，推导得出模长为1，最终求得简化后的方程.此方法对构造向量的形式有一定要求.若构造的向量不满足数量积为1，所得结论将会产生偏差.对学生的构造能力有一定要求.

方法4三角换元+数形结合视角

由点与点之间的距离公式可得：

评析方程中有结论“1”，易联想到同角三角函数的关系“sin2x+cos2x=1”，故采用三角换元法，将原方程转化为点到点的距离表达形式.再借助数形结合思想，求解方程.

方法5数形结合视角

由点到直线的距离公式知：

方法6对偶换元法

方法7代数换元法

故有a-b=b2⟹a=b+b2.

又∵a+b-(a2-b2)=1,即b4+2b3-b2-2b+1=0⟹(b2+b-1)2=0,

评析方法6与方法7，通过巧妙的换元，成功避免了方程中根号带来的运算困难，相比前5种方法，计算量较小.但对换元的部分有要求，如果换元所选择的部分不恰当，未必会带来简化方程的效果.

方法8三角换元法

令x=sec2t，则原式可化为：

从而sin2tcos2t+2sintcos2t=1,

代入x，有x4-2x3-x2+2x+1=0,

方法9结构变形

即：x4-2x3-x2+2x+1=0,

方法10变量替换

又由(3)+(4)得：

通过以上10种解法的探析，可以巩固学生所学知识，扩展数学思维，开拓数学视野，最终达到培养数学核心素养的目的.训练数学思维，培养数学核心素养，不能采用题海战术.从多种数学视角出发，采用多种方法解决一道经典数学例题，往往能达到事半功倍的效果.