电气化铁路轨道电路钢轨互阻抗计算研究

赵 斌，贾 智，王 东，欧静宁

(兰州交通大学 自动化与电气工程学院，甘肃 兰州 730070)

轨道电路是以两根钢轨作为传输导体，传输列车控制信息，同时也是牵引回流的通道，是保证列车安全高效运行的重要铁路信号基础设备[1-2]。钢轨互阻抗作为轨道电路设计中的重要电气参数，其值大小直接影响轨道电路的传输性能。因此，准确计算钢轨互阻抗对轨道电路传输性能分析及优化设计具有重要意义。

目前，针对导体互阻抗的计算，国内外研究人员做了大量研究。在国外，文献[3]考虑了大地影响，研究架空导体的互阻抗，推导出互阻抗计算公式，即Carson公式，为钢轨互阻抗计算提供了理论基础。文献[4]将大地等效为一组回流导体，简化了Carson互阻抗公式，提出Deri地阻抗公式，由于计算时进行了简化，其计算误差较大。为准确计算钢轨阻抗，文献[5-6]利用有限元法计算了钢轨自、互阻抗，将实测数据同有限元法计算结果进行对比，验证了有限元法在计算钢轨阻抗时具有较高精度，表明有限元法可以准确计算钢轨阻抗，但有限元计算较复杂且所需的计算资源较大。文献[7-8]利用Carson公式，提出一种直接计算架空导线与埋地导体之间互阻抗的算法，计算量大且精度不高。在国内，文献[9]建立轨道电路模型，并通过有限元法仿真分析了轨道电路钢轨阻抗的影响因素；对于轨道电路互阻抗计算，由于钢轨铺设在地面一定高度之上，因此也需将钢轨看为架空线计算其阻抗值。文献[10]考虑大地影响，推导了相邻轨道电路互阻抗简化表达式，由于直接采用Deri地阻抗公式，并利用泰勒级数展开，近似计算了轨道互阻抗，其计算精确度依然有待提高。文献[11]针对架空线阻抗的计算，提出用函数代替的方法简化计算Carson公式的校正项，避免了计算收敛困难的问题，总结出一种计算精度较高的架空线阻抗计算新方法，但该方法步骤较多，计算复杂。文献[12]利用阻抗分解法，将钢轨阻抗分解为内阻抗和外阻抗，并分别采用二维和三维有限元模型进行计算，计算精度高，但对计算机要求较高且对技术人员有一定的要求，计算过程也较为复杂。文献[13-14]提出矩函数方法和截断法，计算了Carson自阻抗公式的校正项，但未应用在互阻抗计算分析上。基于以上论述，有限元仿真计算精度高但过于复杂，而利用Carson公式计算有砟轨道电路钢轨互阻抗时，求解困难，为此，本文提出一种新的精度高且便于计算钢轨互阻抗的方法。

本文根据Carson公式计算互阻抗，针对采用Carson公式计算钢轨互阻抗时无穷上限积分和被积函数高频震荡的问题，采用核函数分段线性逼近和截断法求解互阻抗，得到互阻抗计算公式。为验证该算法的合理性和准确性，利用电磁场有限元法仿真分析轨道电路模型。根据本文算法、有限元法和Carson单项近似法，分别计算钢轨互阻抗，并以有限元仿真计算结果为基准计算相对误差，对比可知，采用本文算法得到的误差更小，电阻值误差和电感值误差均小于8%。因此，本文算法具有较高的精度。基于本文算法，分析了电流频率、土壤电导率、轨道高度对互阻抗的影响规律，从而为轨道电路钢轨互阻抗的计算及优化轨道电路的传输性能提供可靠的理论参考。

1 钢轨阻抗的计算

1.1 钢轨互阻抗

单线轨道模型示意见图1，其主要包括钢轨、底座和大地[15]。当钢轨1和钢轨2组成的轨道电路中存在轨道电路信号电流和牵引电流回流时，会在钢轨的内部和周围形成交变磁场。互阻抗主要是由平行钢轨之间电磁感应形成的，相当于两根钢轨之间形成一条具有低绝缘电阻的电气回路。除此之外，还应考虑电流流经大地时，两根钢轨与地回路之间的阻抗。本文对于钢轨互阻抗采用Carson公式进行求解。

图1 单线轨道模型示意

钢轨互阻抗计算模型[16]见图2。对钢轨1和钢轨2之间的互阻抗进行求解,互阻抗的计算可分成2个部分，即

图2 钢轨互阻抗计算模型

( 1 )

( 2 )

( 3 )

式中：j为虚数单位；h1和h2分别为钢轨1和2距离大地的高度；D12为钢轨1与镜像钢轨2之间的距离；d12为钢轨1和钢轨2之间的水平距离；ω为信号角频率；μ0为真空磁导率。

( 4 )

式中：t为积分变量；γ为复传播常数的幅值；ρ为大地电阻率。

( 5 )

式中：

( 6 )

其中,C=0.577 215 664 901 532 86…，为欧拉常数；f为电流频率。

1.2 Carson地阻抗公式的改进

本文对钢轨-大地回路互阻抗公式中的无穷积分项进行改进，提出用AET(Asymptotic Extra Technique)法[18]对简化后的公式进行处理。然后采用分段线性近似对核函数的实部和虚部进行求解。

对式( 4 )进行积分代换，令t=γλ，可得以λ为积分变量的反常积分，即

( 7 )

式中：

p=(h1+h2)γq=d12γ

( 8 )

对比式( 4 )和式( 7 )可知，由于式( 7 )中被积函数与频率等参数无关，因此，更适合于互阻抗计算。为便于计算，本文定义核函数为

( 9 )

图3 核函数实部

图4 核函数虚部

(10)

式中：

(11)

用AET法对式( 7 )中的无限区间进行截断，可得式(12)，并且由式(13)可求得式(12)中核函数的实部和虚部的有限上限λrm和λim。

(12)

(13)

根据式(9)～式(13)，可得

(14)

(15)

式中：m为核函数近似精度的数量级大小，取m=-7。

对于式(14)和式(15)的非线性方程，可采用牛顿迭代法[19]进行求解计算。在Matlab中调用Taylor级数展开式将非线性方程线性化，得到其近似表达式，并不断对旧值进行迭代递推出新值，得到非线性方程的近似根。同时将区间[0,λrm]和[0,λim]细分为有限区间，在每个积分区间上间隔采样，并对采样点间的曲线进行线性近似，从而对式( 9 )进行求解。图5为核函数虚部fi的分段线性逼近原理图，同理，实部fr与此相同。

图5 核函数虚部分段线性逼近

如图5所示，对于第k个有限单元，当λk<λ<λk+1时，核函数的实部和虚部可表示为

式中:NR和NI分别为核函数实部和虚部的样本点总数，即将核函数的实部和虚部分别分为NR-1和NI-1个有限区间。可知所取样本点数越多，划分区间越密，其分段线性近似精度越高。在本文核函数近似精度的约束下，实部和虚部的样本点数分别取值为3 000和5 000。

(18)

(19)

式(19)中积分部分可以采用分部积分法直接计算，得到

(20)

式中：

(q2+2pq+p2qλ)sin(qλ)]

(21)

(22)

2 有限元仿真验证

有限元法可以用于求解钢轨阻抗[9,20]。同时，文献[5]利用有限元法仿真计算了BS113A型钢轨的自、互阻抗，并与实测数据进行对比，结果表明有限元法在计算钢轨阻抗时具有较高精度。因此，为研究本文所提出的钢轨互阻抗数值计算方法的准确性和精确性，本文依据现场情况建立有砟轨道电路有限元电磁场仿真模型，并在多物理场耦合软件Comsol中对钢轨互阻抗进行有限元仿真计算。将仿真结果与本文方算法结果和Carson单项近似结果对比分析。

在钢轨互阻抗计算中，以60 kg/m的P60型钢轨为研究对象，并按照钢轨的实际尺寸对钢轨模型进行绘制。由于钢轨是非线性铁磁材料，易被磁化且具有磁滞现象，为了计算结果的精确性，考虑磁导率的非线性变化，由文献[16]中的磁化曲线数据得到钢轨B-H曲线参数。对道床和大地根据实际情况设置材料属性，各部分材料属性如表1所示。由于轨道线路位于无限开放区域，直接仿真计算存在一定误差，为此，需对无限开放区域进处理，在Comsol软件中，利用无限元的柱坐标变换将无限开放区域转换为有限区域，互阻抗有限元仿真模型见图6。

表1 材料参数

图6 互阻抗有限元仿真模型

考虑钢轨的集肤效应，添加物理场为磁场，并进行频域研究，激励设置为50 Hz牵引回流。由电导率和电流频率确定集肤深度，对模型网格剖分，钢轨网格剖分及集肤效应结果见图7。对模型的欧姆损耗和磁场储能进行体积分，计算可得钢轨交流互阻抗。

图7 轨道电路有限元计算模型网格剖分

对仿真后的电磁场模型进行处理，计算磁通电流密度和体积损耗密度。由图8可以看出整个电磁场模型的电磁损耗分布，可知钢轨和大地的损耗最多，其次是混凝土底座，空气和无限元域的损耗最少。轨道电路既是轨道电路信号电流的通道，也是牵引回流的通道，当有交流信号流经钢轨时，会在钢轨周围产生交变磁场，根据电磁感应定律，会在钢轨、轨道板和大地中产生感应电流，感应电流的流动会产生焦耳热，从而导致其能量损耗。涡流损耗的大小主要与导体的电导率有关，且导体的磁导率越大，所造成的能量损耗就越大。由表1的材料参数可知，钢轨、大地、轨道板和空气的电导率值呈递减设置，致使其各材料的能量损耗也呈现出分布不均的现象。

图8 整体模型有限元计算

根据表1中的参数，可分别基于本文算法和Carson单项近似法计算钢轨互阻抗，将所得结果与有限元仿真计算结果相比较。互阻抗中的电阻部分和电感部分的对比分别见图9和图10。

图9 互电阻计算方法比较

图10 互电感计算方法比较

由图9和图10可知，较于Carson单项近似计算结果，本文计算结果和有限元仿真结果更为接近，其求解结果基本吻合，验证了本文算法的正确性。

为研究样本点数对本文算法精度的影响，在电流频率为10～10 000 Hz范围内，分别取NR=3 000、6 000、9 000、12 000计算钢轨互电阻，同时分别取NI=5 000、10 000、15 000、20 000时计算钢轨互电感。分别将其所得计算结果进行对比，并以NR=3 000和NI=5 000时的计算结果为基准，计算钢轨互电阻和互电感在不同样本点数时的相对误差。相对误差计算式为

(23)

式中：y0为取基本样本点NR=3 000时的互电阻值及NI=5 000时的互电感值；y为取其他样本点时的钢轨阻抗值。计算所得钢轨互电阻和互电感精度的相对误差见图11和图12，并分别以δ1和δ2进行表示。

图11 互电阻精度误差

图12 互电感精度误差

由图11可知，当频率在10～10 000 Hz范围内，取NR=6 000,9 000,12 000时的互电阻与NR=3 000时的互电阻的相对误差均随着频率的增加而减小，但误差值均在0.07%以内，表明当NR>3 000时，样本点数的增加对本文方法互电阻计算精度的影响很小。

由图12可知，NI=10 000,15 000,20 000时的互电感与NI=5 000时的互电感的相对误差随着频率的增加呈现非线性变化，但误差值均在0.06%之内，表明当NI>5 000时，样本点数的增加对本文方法互电感计算精度的影响很小。因此，选择基本样本点数NR=3 000和NI=5 000。

根据不同样本点数取值时计算钢轨互阻抗发现，所取样本点数越多，分段线性近似精度就越高，本文计算结果越逼近有限元仿真结果，但是近似精度的变化率较小。样本点的增多，导致计算所耗时间和所耗计算资源也会增加。故本文所取样本点数既能保证计算精度且节省系统资源。在同一计算机配置下，有限元仿真计算时间约为本文算法计算时间的1.5倍，因此本文算法相较于有限元法的计算效率更高。

图13和图14是以有限元计算结果为基准，利用式(23)计算本文算法和Carson单项近似法与其值的相对误差。其中，y表示本文方法和Carson单项近似法计算的钢轨互阻抗值，y0表示有限元法计算的钢轨互阻抗值。图13、图14中δ3、δ4分别表示本文算法与有限元法及Carson单项近似法与有限元法的互电阻和互电感的相对误差。

图13 互电阻计算误差

图14 互电感计算误差

由图13和图14可知，两种方法电阻和电感误差都随着频率的增大而增大。10～10 000 Hz内，本文算法所得电阻误差的最大值为8%，小于单项近似法所得电阻误差最大值16%。在10～10 000 Hz内，本文算法所得电感误差的最大值为8%，小于单项近似法所得电阻误差最大值18%。因此，本文算法计算所得钢轨互阻抗更加精确。

3 钢轨互阻抗影响因素分析

3.1 考虑电流频率对钢轨互阻抗的影响

在电气化区段，钢轨中流经的不仅有牵引电流还有信号电流。轨道电路信号电流为1 700～2 600 Hz，而牵引电流频率为50 Hz。为了研究在宽频条件下钢轨互阻抗的变化规律，将电流频率范围设置为10～10 000 Hz[21]。

由图9和图10可知，钢轨交流互电阻与互电感随频率呈非线性变化。具体来说，钢轨互电阻随着频率呈正相关变化，在低频时变化较缓慢，随频率的增大变化率逐渐增大。钢轨互电感随着频率的增加而减小，在低频时变化明显，随频率的增大，变化越来越小，且逐渐趋于平稳，这是因为大地的涡流效应起到了去磁作用。另外，频率越大，去磁作用越强，互感越小。

3.2 考虑土壤电阻率对钢轨互阻抗的影响

受不同环境、气候的影响，会导致不同地理位置的土壤电阻率的变化。为研究土壤电阻率对轨道电路钢轨互阻抗的影响规律，分别取频率f=1 700、2 000、2 300、2 600 Hz，取土壤电导率为1～1 000 Ω/m。计算得到不同土壤电阻率下钢轨互电阻和互电感随频率的变化曲线如图15和图16所示。

图15 互电阻与土壤电阻率的关系

图16 互电感与土壤电阻率的关系

由图15和图16可知，当土壤电阻率在1～1 000 Ω/m范围内变化时，钢轨互电阻和互电感均随土壤电阻率的增大呈现上升趋势。这是由于电阻率的增加，势必导致大地涡流效应的减弱，使得去磁效应减小。且土壤电阻率一定时，频率越高钢轨互电阻越大。而对于互电感，在同一土壤电阻率下，钢轨互电感随频率的增大而减小。综合不同土壤电阻率对钢轨互电阻和互电感的变化，可以得出，土壤电阻率对互电阻影响较大而对互电感影响较小。

3.3 考虑轨道离地高度对钢轨互阻抗的影响

受不同路况、环境的影响，轨道高度也会有所不同。因此，进行轨道高度对钢轨互阻抗大小的影响分析。轨道高度分别取hi=0.2、0.4、0.6、0.8 m，取电流频率为10～10 000 Hz，计算不同轨道高度下钢轨互电阻和互电感的随频率的变化曲线，见图17和图18。

图17 互电阻与轨道高度的关系

图18 互电感与轨道高度的关系

由图17和图18可知，钢轨互电阻和互电感随轨道高度呈现非线性变化，其中互电阻随频率的增大呈上升趋势，在同一频率下，钢轨互电阻随轨道高度的增大呈负相关变化。对于互电感，随着频率的增大呈现下降趋势，在同一频率下，钢轨互电感随轨道高度呈现正相关变化。可以得出，轨道高度为0.2～0.8 m的范围内，轨道高度对钢轨互电阻的影响较小，而对钢轨互电感的影响较大。

4 结论

(1) 基于核函数分段线性逼近和截断法计算Carson公式时，避免了无穷积分区间及被积函数高频振荡问题。将本文计算结果、Carson单项近似结果与FEM仿真结果比较，本文计算方法误差小于8%，计算精度更高。

(2) 由本文算法计算分析可知，钢轨互电阻随电流频率的增大而增大，而钢轨互电感随电流频率的增大而减小；钢轨互电阻和钢轨互电感均随土壤电阻率增大而增大；钢轨互电阻随轨道高度的增大而减小，而钢轨互电感随轨道高度的增大而增大。