浅谈高中数学教学中数形结合法的应用

杨丽娴

【摘要】数少形时少直观，形缺数时难入微。数与形是数学世界的两大基础之石，而两者之间既彼此独立，又相互关联，呈现出彼此交融呼应的关系。高中数学教学中，数学现象、数学原理、数学思考、数学问题，均可以从数与形的转换、提炼及演变中切入。文章结合教学工作经验，从以数导形、以形助数两个方面，浅谈高中数学教学中数形结合法的应用。敬陈管见，以期抛砖引玉。

【关键词】高中数学;数形结合;应用策略

数形结合法在高中數学课堂教学中的应用，可有效释放数学学科的魅力，让学生们感受到数学的丰富与有趣，从而点燃学生们的学习热情。数形结合法的应用，有利于驱动学生思考，引导学生们将已学的几何知识、数量知识融会贯通，从而达到举一反三的良好状态。数形结合法的应用，能极大拓展学生们的数学学习视角。学生们在数学学习中，可通过应用数形结合思想，从“因”找“果”，由“果”找“因”，让学生们的数学学习更加多元与高效。在具体的教学活动中，教师在应用数形结合法时，应遵循数形结合思想的思维类型，循循善诱，帮助学生们掌握数形结合法的应用方法，从而达到“不教”的根本目的。

1、以数导形

借助于数量关系，从而推导出图形的“样貌”，以图形的大小、形状、特征等，直观而具体的映射出需要求解的数量关系，进而可快速加以计算，减少误差，提高学生们的解题效率，让学生们的数学学习变得自信且快乐。事实上，在高中学习中，学生们学习的大量知识点，如函数中的三角函数、常数函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、幂函数等等，都可以通过数量关系，或者是函数中出现的关键信息，在搜集、判断、提炼、整合后，转化为图形，以图形加以判断、归类、推理、计算，删繁就简，降低数学学习的难度。比如说，函数f（x）=2x+3在[2，5]上的最大值和最小值。最值问题，是高中数学学习中司空见惯的问题。求解函数的最值，乃至于对于函数模块知识的学习，对于学生们来说可谓“几家欢喜几家愁”。有的学生不善于应用数形结合思想，在数学学习中“按部就班”的加以计算，或者是通过“代入式”的方法展开计算，这不但导致学生们在函数知识学习中费时费力，且产出效益不大，错误率居高不下。

不难想象，当学生们对题目投入大量时间和精力，其结果却是错误的，这无疑极大打击到学生们的学习兴趣，有的学生不善于情绪调节，有的学生缺乏学习的柔韧性，在学习中受阻后，难免自怨自艾，或否定自我，或畏惧数学。其实，通过简单的图形转换，如图1所示，可一目了然看出函数具有单调递增性，因此，在[2，5]内，在x=2时，函数取得最小值;当x=5时，函数取得最大值。在具体的教学活动中，无论是简答的题目，还是较为复杂的题目，都应引导学生们学会从数量关系中画出草图，以数助形。让学生们养成画图分析的良好学习习惯，这对于学生们的数学学习深入利莫大焉。除函数外，方程类知识点，如直线方程、圆的方程、圆锥曲线等，统计、概率知识，空间几何体等重点内容的学习，都离不开数形结合思想的有效应用。

2、以形助数

以形助数，顾名思义，通过图形对数量关系加以研究，让数量关系变得直观具体。相对来说，以形助数难度较以数导形更大一些，需要学生们具有一定的数形转换能力，抽象思维能力和创新能力。比如说，在集合知识的学习中，出现以下题目：三年二班共有50名同学参加学校组织的甲、乙两项竞赛活动，每人至少参加其中一项。其中，参加甲项的同学有30名，而参加乙项的学生有25名。那么，仅仅参加一项竞赛活动的学生共有多少人？对于这个题目，学生们在常规思维作用下，一般是设置未知数x表示参加甲乙两项的学生，列出计算式：（30-x）+x+（25-x）=50，求得x=5。当然，这个问题不算复杂，学生们即便不借助图形，一样可以快速解答。但是，对于复杂一些的题目，以形助数的价值就极大体现出来。且通过以数助形，还可以对解题过程加以检验，从而让整体题目都变得“清晰”起来。

比如说：一个公司有48人，都参加公司举办的趣味性小活动，活动分为A、B、C三项，每人至少参加其中一项。报名结果统计下来，参加A项的员工28人，参加B项的员工25人，参加C项的员工15人。同时参加AB两项的员工8人，同时参加AC两项的员工6人，同时参加BC两项的员工7人。请问，参加ABC三项的员工有几人？对于这个题目，有的学生不假思索，套用公式，以P为全集：P（A）+P（B）+P（C）-P（A∩B）-P（A∩C）-P（B∩C）+P（A∩B∩C）=48，因此，28+25+15-8-6-7+P（A∩B∩C）=48，求得P（A∩B∩C）=1。果然如此吗？学生们没有应用数形结合思想，盲目套用公式，使得运算结果出错。而画出图形，如下图2，我们可以将计算的结果代进去，再反过来加以验算。此时，不难发现，当P（A∩B∩C）=1时，仅仅参加A项活动的员工为13人，仅仅参加B项活动的员工为9人，仅仅参加C项活动的员工为1人。而公司开展的活动，按照图2所示，一共可划分为7种项目，这样一来，求得公司总人数是45人，并非48人。看似套用公式立刻得出的答案，其实在应用图形分析后，不能反推，这就说明公式的套用存有缺漏之处，亦或者题目的设置出现问题。数学学习，能正向求解，亦能反向推理，这才能真正的分析问题，深入了解问题。

结语：以数导形，以形助数，随着学习的深入最终发展为数形变换，这对于学生们的数学学习意义重大。在具体的教学活动中，应用数形结合法，应培养学生们实事求是，严谨客观，善思善问的良好学习习惯，助力学生数学学习的长远发展。

参考文献：

[1]数形结合方法在高中数学教学中的应用[J].胥婷.数学大世界（中旬）.2021（03）.