几何直观：促进学生的数学理解

孙文军

[摘  要] 培养学生的几何直观意识，发展学生的几何直观能力，能促进学生的数学理解。在小学数学教学中，教师要充分运用动作、画图、转换等策略、方式和方法，孕育、发展、提升学生的数学直观能力。通过教师有意识的几何直观教学，帮助学生逐步形成一种“遇抽象画形象”的思维意识、方式和习惯。几何直观能有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

[关键词] 几何直观;数学理解;小学数学

小学数学教学的主要矛盾是数学的抽象与学生思维的直观形象之间的矛盾，几何直观是化解这一矛盾的有效措施。对于学生的数学学习来说，几何直观不仅具有工具性意义，更具有本体性的价值。换言之，在数学教学中，运用几何直观不仅是为了解决问题，同时也是助推学生理解知识。直观是学生的一种天然学习力，它通常以感知作为基础。正如德国伟大的思想家康德所指出的：人类具有一种先驗直观能力。在小学数学教学中，教师要充分发掘数学学科中的直观资源，运用直观化的手段、方法和策略，助推学生的数学理解。借助几何直观，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、动作：孕育学生的几何直观

所谓“直观”，是指“运用实物、图形、符号等来描述、分析问题，从而让问题变得简明、形象的一种手段、方式和方法”。形象、简明的数学直观，能有效地启发学生思考问题，帮助学生描述、分析、理解问题的本质，进而促进学生找到问题解决思路、策略。哲学家通常认为，直观就是未经充分地推理而对事物本质的一种直接把握，帕斯卡尔的“敏感性精神”，胡塞尔的“现象学直观”，其意义均在于此。而心理学家则认为，直观是从感觉到的具体对象背后，发现、抽象的一种能力。

从严格意义来说，动作、实物、符号等不能称为几何直观，但这并不是说在应用几何直观教学过程中动作、实物、符号等无意义。在小学低中学段教学中，有些学生还不能解读几何直观图形，因为这时候他们的思维还是以直观动作为主。为此，教师可以引导学生借助直观动作来表征，逐步从实物、动作等直观向图形直观过渡。比如教学《分数的初步认识（一）》（苏教版三年级上册），在引导学生将几个物体、一个物体等平均分的操作中，在建立了分数概念之后，笔者重点引导学生借助几何图形来进行操作。如给学生提供大小不同以及大小相同的长方形纸、圆形纸、正方形纸等，让学生折一折、画一画、比一比。在小组交流中，学生发现，尽管彼此折纸后的每一份的形状、大小各不相同，但却表示相同的分数。在比较中，学生展开分类分析和聚类分析，对分数的意义获得了深刻的感悟，即“分数的大小只与平均分的份数和表示的份数有关”“分数都表示将单位‘1平均分成若干份，表示其中的一份的数”等。通过感知、操作，积累学生的感性活动经验，培育学生的几何直观能力。这种运用几何图形来对代数问题进行研究的方式，是学生几何直观的重要方式。

小学低中年级学生的认知水平处于“直观动作”向“具体形象”过渡的阶段。借助几何图形，引导学生动手操作，能帮助学生积累几何直观活动经验。在数学教学中，有了对几何形体的操作，学生就建立了数与形之间的初步关联，这是学生几何直观意识的萌芽。

二、画图：发展学生的几何直观

几何直观是一种学习意识，也是一种学习能力。几何直观是一个学习过程，也是一个学习结果。在小学数学教学中，教师要引导学生看图、读图、想图、画图，这是发展学生几何直观能力的重要环节。借助直观图形，能将抽象的数学语言与直观图形有机结合。作为教师，要培养学生的画图意识，提升学生的画图能力;要激发学生的画图兴趣，教给学生画图方法，帮助学生积累画图经验。通过画图，让复杂的问题简单化，让隐蔽的问题明朗化，让抽象的问题直观化。

比如教学《乘法分配律》（苏教版四年级下册）这一部分内容，从学生的生活经验出发，教师可以创编出很多蕴含“乘法分配律”算法的实际问题，引导学生在解决问题的过程中，形成关于“乘法分配律”的积极猜想。在此基础上，引导学生进行验证。教师的通常教法是：出示一个“乘法分配律”的算式，让学生对之赋予意义，然后对之进行计算。这样，既从意义上又从计算结果上让学生对“乘法分配律”形成深刻的理解。但笔者发现，尽管许多学生经历了这一过程，但对“乘法分配律”的形式认识依然肤浅。笔者在教学中，借助几何直观，让学生形成鲜明、直观的“乘法分配律”的表象。教学中，笔者引导学生先画出一个长方形，标注长方形的长和宽;然后引导学生以画出的长方形的宽为宽，画出不同长度的长方形。由此，两个等宽的长方形组合成了一个大长方形。在此基础上，引导学生计算大长方形的面积。通过画图、计算，学生有效地建立了“乘法分配律”的数学模型。通过实实在在地画图，丰富了学生的“乘法分配律”的数学模型表象。不仅引导了学生用图形来思考，更培育了学生的空间观念。

苏联著名的数学家A.N.柯尔莫戈洛夫说过：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”在小学数学教学中，教师要给学生提供丰富的画图素材，明确画图的内容，丰富画图的形式，引导学生将数与形结合起来。如此，学生将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，就能科学、合理、快捷地解决问题。从这个意义上说，“几何直观”是学生学习数学的重要载体、媒介、抓手。

三、转换：提升学生的几何直观

学生的几何直观能力的主要标识是学生能进行数与形之间的转换。所谓“数形转换”，是指“学生在数学学习中能从数、式想到图、形，又能通过图、形想到数、式”。作为教师，一方面要加强数形结合的教学，突出数形转化的训练;另一方面要开展综合实践活动，让数与形有效地融通、融合。通过数形转换，培养学生“从数看形”“从形看数”的能力，增强学生数形互换的能力。

几何直观整合了学生的抽象思维与形象思维，是一种高效的思维方式。培养学生几何直观能力是一个潜移默化、逐渐渗透的过程。在小学数学教学中，教师要引导学生主动地认识几何直观、构造几何直观、运用几何直观。要有意识地培养学生的几何直观意识、能力，帮助学生逐步形成一种“遇抽象画形象”的思维意识、方式和习惯。几何直观降低了学生数学学习的难度，帮助学生轻松开启了数学探究之旅。