积分学中反常积分的课堂研究

◎杨 林 赵 绚 (.太原科技大学运城工学院基础部,山西 运城 044000;.运城师范高等专科学校数计系,山西 运城 044000)

引 言

在分层次、分类别、分大小专业的高职高专高等数学教学改革的思想指导下，经过几年的探索，我们教学组通过对现有知识结构的重构，分别采用了底层的必选(高数数学必学内容)，中层的限选(按大小专业方向的限选)，高层的自选(按照学生的未来规划发展方向)的教学方式组织教学.本文对高等数学分层、分类、分专业高职数学改革有如下建议[2-3]：

(1)观念的开放性.摆脱传统高职数学教材编写观念的影响，以实现高职学生数学素养的培养为目标，启迪和开发学生的逻辑思维和智慧.我们以比较开放的新型构造过滤方式处理所教内容，并通过初期了解学生的基本学习情况和基础知识，在授课程过程中，逐步应用新型观念来激发学生学习高数理实一体化的兴趣和自觉性.

(2)教学内容上的通俗性.遵从科学的认知规律性，按照起源、重构、过滤、还原的教学观念，结合计算机辅助对教学内容进行重新编排和整理，使所教内容易学、易懂.

(3)体系的新颖性.突出高职教育的针对性和实用性，弱化传统高等数学的完整性和系统性，以问题为驱动引入，由特殊到一般，对数学内容进行高度概括和提炼.体系的构成、内容的跳跃，有利于激发学生的学习兴趣和解决实际问题的成就感.

(4)版面的创新性.吸取初等数学教材版面设计清晰、活跃的特点，合理设计版面，力图简洁、美观，提高视觉效果.

下面以高等数学上的反常积分这一节内容为例，简单介绍下我校教学改革的新思想，即底层必选部分.根据学生学习的实际情况，采取相应的措施，力图达到因材施教.通过分层、分类、分专业的教学模式,使学生更容易接受高数课程,同时通过计算机辅助功能体现数学的思想.

1 问题驱动

分析：从图像看出，这个图形不是封闭的，是一个开口的曲边梯形，按照定积分的几何意义，在x轴上任取一点b，构成封闭曲边梯形.当b改变时，曲边梯形面积也随之改变.结合定积分的定义可给出面积的定积分.

图1

=1(无限区间的反常积分)

观察归纳得到：此问题是积分区间为无穷区间的情形，前面介绍的定积分概念是对有限区间上的有界函数建立的．而在科学技术和工程的实际问题中，常常遇到积分区间为无穷区间的情形，或者被积函数为无界函数积分的情形，于是我们将定积分的概念进行推广，推广后的积分称为广义积分(反常积分).

2 无限区间的反常积分

说明：无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.

2.上述定义中若出现∞-∞,并非不定型,它表明该反常积分发散.

则有类似N-L公式的计算表达式，详见教材[4].

3 课堂活动

联系与归纳:对反常积分来说,只有在收敛的条件下，才能使用“偶倍奇零” 的对称性质,否则会出现运算的错误.通过实训操作(计算机辅助教学)，即理实一体化的教学，得以实现此结论.

4 理论实践一体化(即计算机在数学中的体现)

数学对于计算机的发展以及应用都有着不小的作用，虽然现在我们学的仅仅是数学本身，但是需要我们在实践中去将数学和计算机这两个学科有机地结合在一起，使学生在学习数学的过程中，多思考，多建立起数学的思维模式，并且能根据所学知识，让这种思维模式在计算机中应用起来.这样既可以提高数学理论的思维和严格的逻辑推理、判断能力，也可以为未来计算机创新性的研究和发展打下坚实的基础.通过我们的实践理论一体化课程,能有效地使学生理解和应用高数课程.

由于普通的高职院校的生源及学生的基本情况不同，所以在高等数学的教学中，我们根据不同对象不同专业采取不同的授课方式，并结合计算机的辅助功能，因材施教.通过高职高专对于应用高等数学课程标准的要求，促成了应用数学教学的改革，即在教学中，底层必学，中层限选.结合计算机，将这些基本知识最终回归于解决实际问题.通过这样的教学方式，加强了学生学习高等数学的兴趣，从而促使学生对于基本知识学习的积极性与主动性.

结 论

本文是按照高职数学改革的总体思路设计的，在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导下，体现高职教育的针对性和实用性，弱化传统高等数学的完整性和系统性，以问题为驱动引入，由特殊到一般，对数学内容进行高度概括和提炼，体系的构成、内容的跳跃，有利于激发学生的学习兴趣和解决实际问题的成就感，并结合计算机在数学中的实践，使学生体会科技的重要性与前沿性.教师在讲授的过程中，将以往高数通用教材所有的教学内容都进行了重构，即过滤、重组.目的是让学生理解所学的基本知识，也体现了教育教学改革思想的重要性和客观性.在教学改革过程中，对学院各个专业进行了各自的分层次的教学方式，随着教改的不断推进，总结出了一些新的方式与方法.1.教学内容的优化性、合理性和创新性；2.利用丰富资源的教学形式，让更多的学生动起来； 3.提纲式、预习法、师生互动三者相结合的授课模式；4.计算机实训操作.通过几年的课改实践,发现我们的设计思路适合于当下高职高专学生的学习,通过分层分专业的教育方式,使学生们更容易理解.