指向高阶思维能力提升的“数形结合”教学实践

◎赵 岷 (无锡市育红小学,江苏 无锡 214000)

前 言

受应试教育的影响，传统教学局限于低阶思维，课堂注重传递知识和培养技能，忽视培养学生的高阶思维能力.数形结合的本质意义是在数量的精准刻画和图形的形象直观之间实现优势互补，促进解决问题.教师可以以数形结合为载体，改善学生的思维方式，培育学生高阶思维能力.

一、以“数形结合”培养分析性思维能力

(一)依托数意 提升抽象思维

数的认识和数的计算是数与代数领域中最基础的部分，是小学数学的重要学习内容.由于小学生在学习这些内容时常常需要借助直观形象的材料进行思考.教师在教学认数和计算等有关知识时，需要引导学生用图形的结构把数之间的关系清晰地表达出来,继而借助图形进行分析、比较、归纳，提升学生的抽象综合能力.

比如，在“小数的近似数”教学过程中，学生根据四舍五入法得到1.496亿千米≈1.5亿千米，1.496亿千米≈1.50亿千米后，因为1.5=1.50.那么“1.50比1.5更精准”，对学生来说很难理解.此时，借助图形的形象直观，可以帮助学生理解知识的内在含义.在学生画出数轴后，让学生小组合作，讨论思考1.5可能是哪些三位数近似的结果.1.50可能是哪些三位数近似的结果.在学生自主找出它们的取值范围后，及时用弧线标注.如图1屏幕上同时呈现两个数轴，进行分析比对，学生对“1.50比1.5更精准”的内在含义就非常清晰了.

图1

数轴是小学数学知识中数形紧密结合的形象体现，用具体的“形”(点)表示一个个抽象的“数”，在数形之间搭起了一座桥梁.学生通过自主查找有形的区域，使原本一些模糊的感性认识变得清晰具体，让抽象概念变得具体可视.

(二)理解算理 拓展推理思维

计算渗透在学生小学数学学习的每一个环节，是一项必不可缺的技能.计算教学要遵从学生已有的知识内容和操作经验，设计相关教学活动，引导学生在操作实践中发现运算规律，在合作交流中领悟运算方法，在实践活动中明晰运算道理.这就要求教师清晰引导，步步有依据，环环合逻辑.

图2

二、以“数形结合”，培养实践性思维能力

教学设计要在学生的日常生活环境中，寻找与数学有关的信息，把现实情境中的条件、问题以及它们之间的关系转化成合适的图形，再借助图形直观地进行分析、推理，进而形成解决问题的思路.

(一)借助形象 改造问题情境

在具体教学实践中，遇到复杂的、陌生的、不熟悉的题目，在不改变问题结果的情况下，运用数形结合，优化改造部分问题情境，通过观察图形、化繁为简、化难为易，可以清晰地分析数量关系，最终促进解决问题.这种做法能够有效地提升学生的实践性思维能力.

以行程问题例:南北，东西两条路相交成直角.A距交点3000米处,自南向北行走，B在交点，自西向东行走，5分钟后，A，B离交点距离相等(A未到交点);A，B两人继续前行,又经过了35分钟,A，B和交点的距离再次相等.问A每分钟行走多少米?

这道题直接让学生解答，题目的表述容易给学生造成困扰，思路上不能清晰整理.遇到行程问题，学生会重点关注参与行程的物体(一个物体、两个物体、多个物体)，物体的运动方向(相向、相背、同向)，运动的轨迹(直线、环形)，以便寻找物体的运动关系.这道题虽然是两个物体参与行程，令学生困惑的是两个物体没有在一条直线上运动，两个物体之间的运动关系中没有清晰的提示，这和学生已有经验产生了极大差距.教师引导学生通过画路径图，改变问题情境，帮助学生突破思维困惑点.改变B的行走方向，假设第一次B不是“从交点向正东方向行走”，而是“从交点向正南方向行走”会出现什么情况？学生通过画路径图，观察交流后发现：如果B改变运动方向，结果就会和A相遇；同理，若B再次改变运动方向，假设B一开始就没有“从交点向正东方向行走”，而是“B从交点向正北方向行走”，那么最终结果会出现什么情况？学生继续画图分析结果：A就会追上B.

通过画路径图，改变B的运动方向，改变部分问题情境，把学生不熟悉的两条运动轨迹的条件情境改造成学生熟悉的、运动轨迹在一条直线上的相遇问题或追击问题情境，从而把原本陌生的问题情境转化成熟悉的情境.

(二)基于直观 展示真实情形

合理营造问题情境,通过问题串带动深度探究活动,在教学过程中灵活运用数形结合,引导学生通过图形思考，带动问题探究,明确数量关系,[3]能成功完成知识的构建,使学生的应用意识、思考能力、探究能力都得到发展.

例如，园林公司需在小区门口60米长的道路一边种树，要求两个树苗之间留3米间距,道路两端都要种树，一共需要种树多少棵?教师帮助学生构建种树情境，用手指表示树苗，指缝表示间隔，研究树苗和间隔的关系.基于对自身手指的理解,学生很快得出结论:树苗总数比间隔数多1，间隔数比树苗总数少1.如果教学止于此，那学生对知识的理解是浅层的，还需经历问题的深度探究过程.教师应适时改变题目中关键词语，将“两端植树”改做“一端植树”“两端都不植树”“两侧植树”.随着题目条件的改动，图形需要做出相应的变化，学生的思维在探究中逐渐深刻.分析与探究实际问题的经历，展现问题情境真实情形的做法，将算式直观化.看到算式可以联想到算式，看到算式也能为学生提供解决此类问题的抓手，培养了学生的实践性思维能力.

三、以“数形结合”，培养创造性思维能力

创造性思维就是利用已有的知识、经验、思维把表面看来互不相关的事情连接在一起，用以创造性地解决新问题.创造思维能力的养成需要经过创造、设计、想象、假设、发明、展示、预测等思维活动.在教学中教师可以利用数形结合思想，运用多元构形、联系对比等方法，培养学生的创造性思维能力.

(一)多元构形 辅助创造思维

创造性思维能力就是对新的数学问题，通过观察，能够准确把握问题的具体特征，转化成对应的图形，从而分析、理解，创造性地解决问题.

通过画图，问题直观形象，避免了烦琐的计算，而且结果准确易得.多元构“形”深刻体现了数与形之间的内在联系，学生借助正方形的“形”把加法转化成减法，借助圆和线段图的“形”体会随着加数的增加，结果越来越接近整个图形(单位“1”)的极限思想.学生在课堂中能够基于原有知识，用不同的图形构建单位“1”，并进行深入探究，都得到了不同的结果，在汇报小组结果的过程中进行交流、分析、评价，让学生的创造性思维得到发展.

(二)联系对比 培育创新思维

解决几何图形的问题离不开数和算式,有时仅凭直观观察看不出特征和规律,需要借助运算的过程和结果,进行观察、分析,发现本质规律.教师在课堂上要重视方法的传递和提升.数学的学习方法不是教师讲清楚、讲明白，关键需要学生通过观察、操作、思考、讨论、探究一系列的学习活动，自己领悟出来.

如图3，两个正方形的边长都是6厘米.

(1)圆的半径是多少厘米？

(2)两个正方形里圆的面积各是多少？各占正方形面积的百分之几？

(3)如果像这样在正方形里画9个相同的尽量大的圆，这9个圆面积的和占正方形面积的百分之几？你发现了什么？

图3

此题通过数据计算，学生可以很快得出结论：在同一个正方形里，无论画几个圆，圆的面积之和都占正方形面积的78.5%.如果仅仅停留在数据证明、图形观察阶段，学生会发现，圆的个数只能是1，4，9…等完全平方数.教师引导启发：“请小组内每个同学剪一个正方形，一起合作拼一拼，看看有什么发现？”学生们首先按照书上的图形动手操作，用四个小正方形拼成一个大正方形.由于有上图的知识，学生可以进行合情推理，4个圆的面积和、9个圆的面积和，与大正方形的面积比都具有78.5%的关系.教师继续追问：“圆的个数一定是n2个吗？”学生把重点放在圆的个数上再次开始探究.很快学生得出结论:解决这类问题，采用分割法，只要能依据圆把正方形分成若干个小正方形，那么小圆的面积和就是小正方形面积和的78.5%.这样正方形内圆的个数就不一定是n2个.

图4

综上所述，数形结合是解决问题过程中具体直观的“形”与概括抽象的“数”相互作用、相互转化的体现，这种结合可以促进小学生形象思维和抽象思维的协同发展.数学教学中渗透数形结合，有助于培育学生分析性思维能力、实践性思维能力、创新性思维能力，从而促进提升高阶思维能力.