用数学建模的眼光看待数学教学

周桂群

[摘  要] 新课改背景下，着力培养学生的数学建模素养是高中数学教学的重要任务，认为在教学中，教师不仅要在思想上加以重视，而且要把数学建模意识渗透到每堂课中，学会用数学建模的眼光看待数学教学，用数学建模的思想指导数学教学.

[关键词] 数学建模;数学教学;概念;解题;研究性

什么是数学教学的目的？在轰轰烈烈大搞高考应试教育的大背景下，数学教学的目的往往被人误解为都是为了高考这场“一次性的消费”. 当高考的硝烟散尽后，曾经的考生在以后的生命中，却没有留下任何的“数学的痕迹”. 笔者在想，我们该如何扭转这个局面，于是，想到了数学建模. 何为数学建模？新课程标准指出，数学建模就是对现实生活中的实际问题进行数学抽象，进而用数学语言来描述与表达、用数学知识与数学方法去构建模型，用数学的观点去解决问题的素养. 因此，在课堂教学中，着力培养学生的数学建模素养是高中数学教学的重要任务，作为教师不仅在思想上加以重视，而且要把数学建模意识渗透到每堂课中，学会用数学建模的眼光看待数学教学，用数学建模思想指导数学教学.

[?]用数学建模的眼光看待概念教学

概念教学是数学教学的重要组成部分. 万丈高楼平地起，学生对数学概念的理解与深刻领会，是其后续学习的必备基础. 从某种意义上讲，数学概念的形成就是一个数学建模的过程. 数学概念大多是从实际问题中抽象出来的，而这一抽象过程就是一个建模过程. 教学中，教师可引导学生从特殊问题中找出普遍性，从而形成数学概念;再引导学生将这个概念应用于实际问题中，进而使学生对这个数学概念的认识有一个质的飞跃.

比如，幂函数概念课的重点是让学生掌握什么是幂函数. 教学中，教师首先引导学生回顾初中学习的部分函数，如y=x，y==x-1，y=x2，y=x3和y==x，并告诉学生其都是幂函数;然后，让学生从这些函数的共同特点中构建出幂函数的概念，即形如y=xα（其中α∈R且为常数）的函数就是幂函数. 学生在大脑中建立了幂函数这个数学模型后，为了检验学生对幂函数的概念是否真正掌握，教师可出示如下两个问题进行检测.

问题1：下列函数是幂函数的有___. （填序号）

①y=3x2;②y=;③y=x2+3x;

④y=;⑤y=-x2.

问题2：已知幂函数的图像过点（4，16），求该幂函数的解析式.

上述两个问题，是对学生数学概念建模是否到位的反馈. 学习是一个从知之甚少到知之甚广的过程，每一次对数学概念的重新认识，都是对数学概念模型的进一步修正. 对上面的问题，有的学生不假思索地认为y=-x也是幂函数，而认为y=不是幂函数，其根本原因是这部分学生对幂函数概念的建立只停留于表象（对于函数y=-x2没有注意到系数不是1，对于函数y=没有注意到它可等价化为y=x），没能抓住概念的本质，此时教师可引导学生对概念进行二次构建，完善概念的内涵与外延，帮助学生实现概念的本质性的突破.

[?]用数学建模的眼光看待解题教学

解题教学是数学教学另一个重要环节，数学解题的本质其实也是利用数学模型解决问题. 虽然数学方法千变万化，但都离不开数学模型的建立，如函数模型、立体几何模型、三角函数模型、解析几何模型、数列模型和概率统计模型. 善于构建恰当的数学模型，用最简便的方法解决问题，是数学解题的最高境界，也是提高学生数学素养的有效途径之一. 在解题教学中，教师应该引导学生从问题的实际出发，建立多种数学模型解决同一问题，以达到举一反三、融会贯通的解题效果.

例如，已知实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为________ .

本题是一个条件为不等式的多元函数最值问题，是高考中的难点问题，也是教学中的重点问题. 对于这类问题的教学，教师应不满足于一种解法，而是引导学生构建不同的数学模型，激活学生的思维，从而让学生抓住本质.

思路1：通过消元，建立函数模型. 因为c≥a2+b2，所以a+b+c≥a+b+a2+b2=

a+

+

b+

-，故a+b+c的最小值為-.

思路2：利用不等式的传递性，建立不等式模型. 因为c≥a2+b2，故a+b+c≥a+b+a2+b2. 又因为a2+b2≥，故a+b+c≥a+b+a2+b2≥+（a+b）=[（a+b）+1]2-，故a+b+c的最小值为-.

思路3：利用三角换元，建立三角函数模型. 令a=rcosθ，b=rcosθ，r∈[0，1]，则a+b+c≥a+b+a2+b2=r2+r（cosθ+sinθ）=r2+rsin

θ+

=

r+sin

θ+

2-sin2

θ+

. 所以a+b+c的最小值为-.

思路1的函数模型根据条件进行放缩，利用配方法解决问题;思路2的不等式模型根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想;而思路3的三角形模型则通过换元，利用三角函数的有界性解决问题.三种思路各显其能，各有千秋，不仅沟通了各知识点之间的联系，而且让数学解题的层次更上了一个研究的台阶. 其实数学解题的方法，就是研究合理的数学模型，无论是数学知识的应用，还是数学方法的实施，都不是凭空而来的，必须先从建立数学模型入手，才能使解题更有效.

[?]用数学建模的眼光看待研究性学习

研究性学习是一项基于数学建模的综合性探究活动，其要求学生能从实际问题中抽象出数学模型，并从数学模型中找到问题的本质和解决问题的方法，这是知识向方法的转移，更是探究能力的突破. 比如，请学生对本地的房价变化趋势加以研究. 首先，学生要搜集从2000年至2020年每年的房价的均价，并将有关数据制成表格，然后将表格中的数据用散点图表示出来，通过与所学的函数图像进行比较，找出拟合函数，再利用待定系数法求该函数的解析式，最后利用其他的点判断误差，从而大致分析出房价的走向. 这一过程看似纸上谈兵，却能培养学生的建模能力与探究能力. 其实研究性学习中的数学建模，不仅仅表现在研究课题性质的学生的合作学习中，同样也体现在学生个人的学习行为中，面对一个文字冗长的实际问题，学生通过研究性学习，才能准确建模，并快速解决问题. 如下面的摩天轮问题.

问题1：在大型游乐场或公园里，我们经常会看到摩天轮，它是一种大型的游乐设施，当游客坐上摩天轮的座舱时，摩天轮就开始缓缓向上转动，这时游客鸟瞰四周，美景尽收眼底（如图1所示）. 已知某个摩天轮上离地面最高的点的高度是90 m，与地面最近的点的高度是10 m. 设计师在摩天轮上等距离安装了36个座舱（如图2所示）. 按下按钮后，摩天轮按逆时针方向匀速旋转，有一游客当座舱离地面距离最小时进入那个离地面最近的座舱，摩天轮转完一周后游客离开座舱. 已知摩天轮旋转一周花去时间30分钟，假如当游客甲坐上摩天轮座舱的瞬时开始计时.

（1）设摩天轮旋转t分钟后游客甲与地面的垂直距离是h米，已知高度h与时间t之间满足的函数关系式是h（t）=Asin·（ωt+φ）+B（其中A>0，ω>0），试求摩天轮旋转一周的函数关系式h（t）;

（2）当游客甲乘坐摩天轮后经过多久，他与地面相距30米？

（3）假如当游客甲入座后，并转动了6个座舱，游客乙也在摩天轮离地面最近的位置入舱（他们之间相隔5个舱位），那么在摩天轮旋转一周中，两人与地面的垂直距离的差的最大值是多少？

问题2：如图3所示，该摩天轮的半径是50米，摩天轮的中心O与地面相距65米.摩天轮按照逆时针方向匀速转动，转动一周需30分钟.当座舱离地面距离最小时游客入座.

（1）游客入座后，摩天轮旋转了t分钟，求此时该游客与地面的距离h关于时间t的函数关系式;

（2）假如当游客与地面的距离超过40米时，他能欣赏到游乐场的每个角落的风景，那么在摩天轮旋转一周这个时间段中，游客能欣赏到游乐场的每个角落的风景时间有多长？

上述两个问题，讲的都是摩天轮，虽然考查的都是三角函数的实际应用，但问题的侧重点有所不同. 问题1中函数模型已经建立，要求考生直接利用给出的三角函数模型来解决问题，但给出的三角函数不完善，需要考生加以补充. 而问题2，则没有给出任何数学模型，要求考生从问题的实际出發，通过建立坐标系来建立三角函数模型解决问题. 无论哪个问题，考生必须对问题的情境进行学习与研究，否则数学建模就成了一句空话. 不难发现，研究性学习与数学建模唇齿相依，离开了数学建模进行研究性学习必然是“缘木求鱼”.

教会学生数学建模是高中数学教学的核心任务. 让我们带领学生去发现数学知识的源头，享受数学发生的过程，分享数学建模的成果，远离题海战术，把握数学的本质.