基于改进鲸鱼优化算法的血液供应链网络多目标鲁棒优化设计

董 海，吴 瑶，齐新娜

（1.沈阳大学应用技术学院，沈阳 110044；2.沈阳大学机械工程学院，沈阳 110044）

0 引言

2020 年新冠肺炎在全球蔓延，中国医疗队及各有关部门的敏捷应对，为世界疫情治疗赢得了宝贵时间。因此，在突发情况之时，如何更快、更好地完成各方面物资供应［1］，尤其是医疗物资供应成为了现阶段学者们需关注的问题。血液供应作为医疗物资供应的一部分，也是生鲜供应的一种，其拥有与其他产品与众不同的特点，例如：存储时间短、需求预测难、中断风险高、血型可兼容等。早期学者Nahmias［2］在研究时，就提出将血液作为生鲜易腐领域产品的想法；Gunpinar 等［3］针对血液产品中血小板和红细胞的寿命很短的特点（1～3 d），提出了一个整数不确定条件下平衡计分卡的规划公式，达到总成本最少的目标；Dillon 等［4］提出了一个考虑易腐性和需求的不确定性的两阶段规划模型来设计红细胞库存政策；Zahiri等［5］考虑了血液供应链网络的设计血型兼容性，建立了最小化总成本和最大化需求的双目标优化函数；Heidari-Fathian等［6］提出了一种用于血液供应链设计的双目标鲁棒优化模型，旨在尽可能降低成本和碳排放；Diabat 等［7］将基于场景的双目标鲁棒优化应用于血液供应链，并考虑了随机中断的设施和路线进行优化。

易腐产品供应链网络在设计时，国内外学者对于不确定因素的控制多采用模糊规划、随机规划以及鲁棒优化等方法。Zahiri等［8］提出了一种针对易逝品的供应链网络模型，并应用鲁棒方法控制其参数的不确定性；Darestani 等［9］考虑易腐货物的排队制度，对一个双目标的闭环供应链网络进行鲁棒优化，并通过实验验证方法的有效性。对于更加脆弱的血液供应链网络设计，学者们也多采用此类方法。Cheraghi 等［10］针对血液供应链网络设计考虑了两种血制品的制造方法，并利用鲁棒优化方法来解决这一问题的不确定的需求；Ensafian等［11］又提出了一个随机规划模型来设计本地的血液供应链网络，考虑到病人详情给出了血小板的年龄和匹配规则；Rahmani［12］提出了一个动态鲁棒的选址−分配模型，用于在灾难情况下，在设施中断风险和不确定性的情况下设计血液供应链网络；Hosseini-Motlagh 等［13］开发了一种双目标不确定性环境下的血细胞供应链网络设计模型，目标为总成本最低，并采用随机鲁棒方法处理其不确定因素。鲁棒优化方法是解决供应链网络设计问题的有效方法。

血液供应链网络设计问题是一个NP-hard 问题。近年来，学者多采用智能算法［13-14］解决此类问题。鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）是在2016 年由国外学者Mirjalili等［15］模拟鲸鱼捕食方式开发的一种仿生物学算法，近几年来，以其人工参数少、操作简单的优势，已应用于不少的大规模处理问题，如物流配送中心选址［16］和电网配置［17］等方面。但由于传统WOA存在后期收敛速度慢、容易陷入局部最优的劣势，有学者将其他算法与其结合［18］，改善其在运行过程中的缺陷。

综上所述，现阶段血液供应链网络设计存在需求不确定、中断风险等不确定因素，且在求解此类大规模问题时复杂性较高。因此，本文提出一个考虑安全库存的血液制品供应链网络设计多目标优化模型，并使用鲁棒优化方法对不确定性因素进行处理，再通过ε-约束方法将多目标问题转化为单一目标函数。针对上述模型，本文提出差分WOA（Differential WOA，DWOA）对其求解，并通过实验验证模型的有效性以及算法的优势。

1 模型建立

1.1 问题描述

本文研究一个多层级、多周期、多产品的血液制品供应链网络，如图1所示。该网络图包含5个节点：血液捐助者D、当地血液中心B、移动采血车M、血液实验中心L以及各医院集合H。血液捐助者可以选择附近的移动采血车或者当地血液中心进行捐赠，移动采血车将血液送到最近的当地血液中心或者血液实验室。当地血液中心将从捐赠者或者移动采血车处收集的血液发送至血液实验中心，血液实验中心将血液进行分离处理，分离为白细胞、血浆、血小板等血液制品，分别按照不同标准存储，再按照需求分别发放给各优先级医院。

图1 血液供应链网络Fig.1 Blood supply chain network

1.2 模型假设及符号定义

本文假设如下：

1）移动采血车和当地血液中心的候选位置固定；2）各个采血点容量固定有限；3）假设各运输过程均采用一种运输方式；4）为避免收集阶段血液过期，血液从采集到运输至血液实验中心时间小于8 h；5）未满足需求将产生短缺费用；6）医院库存内额外的不同保质期的血制品作为安全库存。

基于建模需要，定义符号如表1～3。

表1 符号定义Tab.1 Symbol definition

表2 参数定义Tab.2 Parameter definition

表3 决策变量Tab.3 Decision variables

1.3 模型建立

基于上述，本文建立如下模型：目标函数1 为最小化成本函数，目标函数2通过最小化血液中心l的存储量来最小化时间。约束条件如式（3）～（31）所示。

目标函数1 最小化成本=建立成本+运输成本+产出和持有成本+过期成本+需求不满足成本+安全库存成本

约束（3）表示每个周期最多只可以有1 个移动采血中心更换位置：

约束（4）表示移动采血中心的开放数量：

约束（5）表示每阶段面向同一区域人群只有一个移动采血中心或者当地血液中心：

约束（6）表示捐赠者可以在移动采血中心和血液中心之间选一个进行献血。

约束（7）、（8）、（9）表示移动采血中心和当地血液中心的覆盖范围：

约束（10）～（21）表示各节点及它们之间的流量、容量和库存量限制：

约束（22）和（23）分别表示产品需求量限制和过期限制：

约束（24）、（25）表示未分配给优先级高的医院之前不给低优先级的医院配送：

约束（26）、（27）表示血液实验中心和医院需求区的损耗：

约束（28）、（29）保证血液实验中心和医院第一阶段的初始库存为0：

约束（30）、（31）表示决策变量的取值范围：

2 模型处理

2.1 多目标处理

随着供应链网络设计中需求增多，处理多目标问题成为近年来的热点研究内容。求解此类问题一般采用标量、交互、模糊、元启发式和决策辅助等方法。本文将采用ε-约束方法［19］对模型进行单一目标函数转化。在应用ε-约束方法前，先对函数进行Pareto最优处理。Pareto最优的定义如下：

假设一个有“W”个目标的多目标函数定义如下：

其中：X的集合ZM为问题的决策空间；fς(x)(ς=1，2，…，W)为目标函数，W维函数称为问题的目标空间。本文采用的ε-约束方法，处理细节为将其中一个目标函数最小化，其他目标附加为约束，具体如下：

定理1每 个w∈{1，2，…，W}都ες=Fςx*，∀ς∈{1，2，…，W}；x*∈ZM是一个约束条件下问题（32）的帕累托最优解。

定理2如果对于一些W，ες=Fςx*，∀ς∈{1，2，…，W}，将x*∈X定义为一个在约束（34）下的问题（33）唯一解（对于一些W，ες=Fςx*，∀ς∈{1，2，…，W}；x*∈ZM，其则为一个帕累托最优解。

定理3对于任何的上界向量ε={ε1，ε2，…，εW}，x*∈X，是问题（33）在约束下的一个帕累托最优解。

ε-约束方法在处理多目标优化问题方面，因其操作简单，计算速度快，且具有很强的适用性，是一种非常有效的处理方法［20］。其主要思路是将其中一个更为重要或决策者更为偏好的目标作为目标，将其余目标转换为约束条件，再进行求解。

本节用ε-约束方法对目标函数{F1，F2}进行处理。具体方法是将F1作为目标函数，F2被认为一个带ε2的约束。因此，上文中的多目标模型可以转化为以下单目标模型：

其他约束不变

2.2 鲁棒处理

供应链网络在真实设计中存在较多的不确定性，本文将使用鲁棒优化方法［21］对上述模型进行处理。将发生概率为πs的不确定性场景的有限集合定义为s∈{1，2，…，S}，具体模型如下：

其中：成本函数是场景s∈S下的确定模型的最优值，成本函数是s∈S场景下发生的最优值。权重系数η和ρ是自由设定的两个参数。

本文中移动采血车m，当地血液中心b和各节点间路线（当地血液实验中心l和移动采血车m到当地血液中心b；当地血液中心b到当地血液实验中心l；移动采血车m到当地血液实验中心l的路线）是不确定的。根据以上描述，可得鲁棒模型如下：

式(3)～(31)

其中：F1s和F1s*如式（38）、（39）所示：

3 求解方法

3.1 原始鲸鱼优化算法

WOA 的基本思想是通过模拟鲸鱼独特的捕食行为和社会行为来进行优化。以下为具体过程的数学模型。

3.1.1 包围猎物

该阶段选择一个搜索代理，将其定义为前一代中的最佳解决方案。其他搜索代理试图避开最优代理来实现全局搜索，具体描述如下：

其中：υ代表当前迭代次数；AW·DW是包围步长；AW和CW是系数向量；XW(υ)是当前鲸鱼位置向量；XW'(υ)是当前最优鲸鱼位置向量；XW(υ+1)是每一次迭代中需要更新的最佳位置向量。系数向量AW和CW的计算如下：

其中：τ称为收敛因子，其随迭代次数增加从2 线性递减到0；rand为区间［0，1］内的随机数。τ的求解公式如下：

其中：υ为当前迭代次数；υmax是最大迭代次数。

3.1.2 泡沫网攻击

鲸鱼在捕食时通常采用螺旋运动的方式先包围猎物，再进行捕猎。

在这一阶段讨论了两种方法：收缩环和螺旋更新位置。收缩环的机制与全局搜索相似，并取值AW=[-1，1]；另一种方法是螺旋更新位置，根据当前位置和最优代理构造对数螺旋曲线，使得搜索代理逐步逼近最佳位置。具体描述如下：

其中：DW'指当前鲸鱼与最佳位置的距离，也就是猎物位置的向量；Λ为数螺旋形状的常数量；g是区间[-1，1]内的随机数；q为欧拉数，q=e。假设收缩包围机制和螺旋位置更新概率相同，均为0.5。

3.1.3 搜索猎物

搜索猎物采取鱼群随机性位置更新的方法，数学模型如下：

其中：Xrand是随机所得的位置向量。如果AW超出[-1，1]的范围，就通过随机寻找鲸鱼个体，并根据个体的方位，排查其他鲸鱼位置，面向全局搜索找到合适的猎物。

3.2 本文差分鲸鱼优化算法

原始鲸鱼优化算法存在着收敛精度低、收敛速度慢，以及容易陷入局部最优等缺点，而差分算法中的交叉和变异操作恰好因其全局搜索性强、性能更优，可弥补WOA 在这方面的劣势。基于此，本文将差分算法的交叉变异方法应用到传统鲸鱼优化算法中，得到DWOA。利用差分算法中的变异策略替代WOA 中的随机选择策略，免去了参数D对于随机搜索的影响；与此同时，在WOA进行随机选择新个体时，有效地利用了差分算法的交叉策略，使DWOA 搜索速度更快且种群更具多样性。DWOA的具体策略如下。

变异策略：

其中：Xgbest为当前种群最优位置；XWr1、XWr2为种群随机个体；rand∈[0，1]；F为变异常数且F>0。

交叉策略：

其中：υmin为最小迭代次数；CR为交叉概率；Fmax和Fmin分别为F的最大和最小值。

3.3 编码处理

模型中决策变量只能取0-1，利用rand 函数和round 函数随机取值0-1。供应链网络设计问题的原始解为血液捐赠者起点到医院客户终点的运输矩阵，再根据具体情况分配各种资源，确定优先级。因此，本文采用平均随机数生成函数配合约束系数的方法，得到决策变量的值。在计算中，各个变量均采用实数编码方法进行编码。由d个捐助者、b个当地血液中心、i个血液实验中心，m个移动采血车、h个医院组成一条完整的编码链，编码长度为d+b+i+h+1，每条链均表示一条完整的血液供应链网络生命周期内的运输路径。将个体适应度子集F编码为群体中的解Xτ(τ=1，2，…，θ)，假定子集包含θ个个体适应度的值，即F=(F(ρ1)，F(ρ2)，…，F(ρθ))，若F(ρθ+1) ≥F(ρθ)，则F(ρθ+1)被选择。

综上所述，DWOA 的流程如图2 所示，Y是用于确定选择搜索环绕还是螺旋更新位置的因子。

图2 DWOA的流程Fig.2 Flowchart of DWOA

4 算例验证

4.1 鲁棒模型分析

为了分析鲁棒模型的保守程度和扰动水平对于优化结果的影响，本节将针对表4 中的测试问题1、2，分别比较了相同扰动水平下，不同保守程度与不同扰动水平和相同保守程度两种情况下，模型最优解和计算时间的数值，参数取值范围如表5，结果如表6所示。

表4 测试问题aTab.4 Test question a

表5 参数范围Tab.5 Parameter range

表6 不同扰动水平和保守程度下测试问题a分析Tab.6 Test question a analysis under different disturbance levels and conservation degrees

由此可知，血液供应链网络设计存在不确定性时，总成本和总时间均大于各自确定性模型的预期值。随着保守程度增加，总成本和时间都有所增加。也可以理解为，为应对不确定参数的扰动水平增加，需增加成本维持供应链网络的稳定性。针对不同问题需求，保守程度和扰动程度存在一个最优值使得目标函数1、2 都是相对最优。与此同时，通过CPU 时间对比可知，一定范围内，鲁棒性能越强、越稳定，计算所需时间越短。

4.2 不确定性参数对模型影响

为了探究不确定性参数对于模型的影响，本节考虑其他参数一致的测试问题10 个（如表7），参数取值范围如表5，得到结果如表8～9。

表7 测试问题b Tab.7 Test question b

表8表示随着权重变化，目标函数（Z1、Z2）、ε-约束目标函数的变化。

表8 不同权重下的函数最优值Tab.8 Optimal values of functions under different weights

表9 是针对随机的10 个问题，鲁棒模型和确定性模型对于需求的短缺的变化情况。

表9 需求不确定时鲁棒模型与确定模型的需求短缺情况比较Tab.9 Comparison of demand shortages between robust model and deterministic model with uncertain demand

从表9 可知，鲁棒模型相较于确定性模型在需求短缺方面有着绝对的优势，短缺量平均减少76%，同时也体现出鲁棒模型的稳定性。

4.3 算法性能测试

针对表4 的10 个随机问题，本节利用Matlab 软件对遗传算法（Genetic Algorithm，GA）、原始鲸鱼优化算法（WOA）、粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法和本文DWOA 进行对比分析，迭代500 次，四种算法对比分析如图3所示。

图3 WOA、GA、PSO与DWOA算法成本的对比Fig.3 Cost comparison of WOA，GA，PSO and DWOA algorithms

由图3 可知，DWOA 在求解问题时，相较于其他对比算法求解时间最短、目标值最优，更能摆脱局部最优。

WOA、GA与PSO算法相比各有优势：WOA与PSO算法成本虽略高些，但可以更快搜索到最优解；GA虽收敛速度较慢，但求解成本更低一些，结果更优。

5 结语

针对血液供应链网络设计的多目标鲁棒优化问题，本文得出以下结论：

1）建立以成本最小、存储时间最短的目标函数，并采用ε约束将双目标函数转化为单目标模型，使用鲁棒优化方法处理不确定性，通过实例验证，采用鲁棒优化后的模型，取得结果更优，稳定性更强且处理时间更短。

2）采用DWOA 解决NP-hard 问题，并将该方法与WOA、PSO 算法和GA 进行对比，实验结果表明，DWOA 计算时间较短，能够较快跳出局部最优且稳定性强，在处理血液供应链网络设计问题时，具有较好的优越性。

3）现实实际医疗中，血液分离后成分种类更为复杂，本文并未对不同种类（例如血浆、血小板）的血液制品保质时间、保存环境的不同进行深入分别研究，下一步的研究工作主要考虑血液制品种类多样性以及不同血液制品要求的多样性对于血液供应链网络设计时的影响，以保证血液供应链网络设计更加贴近现实医疗。