基于奇异值分解的光电跟踪系统标定方法

宋 亚,樊芮锋,李辉强

(华北光电技术研究所,北京 100015)

1 引 言

在现代武器系统中,已普遍使用光电系统作为目标跟踪的主要手段,以获取目标的影像和精确位置,从而实现对目标的精确打击。地面光电跟踪系统要实现对目标的动态跟踪并实时得到目标的精确位置,必须考虑系统误差的影响。各种坐标系由于定义不同,对同一目标位置的描述也不尽相同,地面光电系统中最重要的两个坐标系是转台坐标系和大地坐标系,转台坐标系是以光电系统转台为中心,大地坐标系是以地心为中心,光电系统的标定就是确定两种坐标系之间的变换关系。

本文对地面光电系统的标定方法进行了研究。通过对光电跟踪系统的误差定位进行分析,确定了影响目标定位的主要误差,在此基础上给出了光电系统的标定流程。利用奇异值分解得到坐标变换下旋转矩阵和平移矩阵的表示,在保证标定精度的同时,大大降低了算法的运算量,实现大地坐标系与转台坐标系之间的互相转换；同时针对垂直度误差包含固定俯仰偏差角度的特性,对系统的标定流程进行迭代,通过俯仰偏差角的均值叠加,确定了其最终大小,从而得到了系统标定的7个参数。最后通过基于奇异值分解的标定方法对地面光电跟踪系统进行了标定试验,验证了提出方法的准确性。

2 地面光电系统的工作原理

光电跟踪系统一般由成像传感器(红外相机或可见光相机)、激光测距机、跟踪伺服转台等组成,完成目标的截获跟踪,输出目标的方位角、俯仰角和斜距离等信息。跟踪转台是一个三轴系统,方位轴垂直向上,控制俯仰轴在方位方向运动；俯仰轴与方位轴正交,控制成像传感器光轴在高低方向运动；光轴与俯仰轴正交,它随着方位轴和俯仰轴的转动而运动,对目标进行跟踪。

光电跟踪系统具有两种跟踪方式:自动跟踪和引导跟踪,其中自动跟踪是光电系统本身探测到目标,从而对目标进行捕获和自动跟踪；引导跟踪表示系统接收到来自外部(雷达或无线电设备)的目标位置信息,转动转台,将光轴指向目标进行跟踪。因此对于光电系统的标定来说,不仅涉及到光电系统本身对于目标探测位置的准确性,也涉及到雷达等设备对光电系统引导位置的准确性。

目标定位精度是衡量光电系统性能优劣的重要指标,通过空间坐标变换的方式,将目标的指向信息和载体的导航信息换算得到目标的地理信息(即大地坐标:经度、纬度、高程)。因此光电系统的标定需要实现转台坐标系到大地坐标系的转换,从而得到目标的真实地理信息；同时对于引导跟踪方式,需要实现大地坐标系到转台坐标系的转换,从而准确引导光电系统进行跟踪。

3 地面光电系统的误差分析

对于地面光电跟踪系统来说,其目标定位的过程涉及到光电系统本身较多环节带来的误差,主要包括光学系统误差、控制系统误差、机械框架误差等。

光学系统误差主要是指系统在观测目标过程中单一传感器自身光轴晃动带来的误差[1-2],主要原因包括:光学元件和配套机械件在加工和装配时产生的误差；存在运动的光学元件在连续变焦过程中的晃动；温度变化造成的光学元件的变形或微小移动等。光机原件的加工误差依靠加工精度保证,装配误差依靠装配工艺保证,在完成装配后,一般光轴偏移较为固定,且可通过调整探测器位置来保证光轴的一致性。光轴晃动误差为随机误差,很难进行校正或补偿,需要在设计初期的光机设计和选型过程中予以控制。温度变化误差需要提前获得不同温度下光学元件的位置补偿数据,此误差一般温度重复性较好,可通过安装温度传感器实时获得元件温度并加以补偿来消除误差。

控制系统误差是指系统本身的伺服控制装置的误差,其会受到控制策略、机械特性、不平衡力矩、电气参数波动等多种不确定性因素的影响[1-2]。在标定过程中,由于控制系统稳定精度的影响,和图像跟踪器误差(如处理算法、输出延时误差等)的干扰,存在无法将传感器视场中心放置于目标中心的情况,导致误差的产生,其大小能够通过图像检测目标脱靶量来直接判读,因此本文的标定过程忽略此误差。

本文对于光电跟踪系统的标定主要是针对机械框架的误差进行求解。针对典型的机械框架,其通常具有3根轴线:光轴、俯仰轴和方位轴,理想情况下各轴线应满足光轴垂直于俯仰轴；俯仰轴垂直于方位轴；方位轴垂直于基座安装平面。由于加工、装配和调校精度等因素限制,各轴线不可能完全满足上述条件,因此其存在的误差主要包括以下几种:

1)零位误差。零位误差是指编码器装配完成后,编码器的零位线与设计的机械框架轴线的不一致,从而影响测量角度的真实性。即使在装配过程中仔细装配,零位误差也很难消除,对于方位轴而言,可以通过系统的偏北修正将此误差覆盖；对于俯仰轴而言,零位误差将会使得系统的俯仰零位发生偏移,导致俯仰读数与实际读数存在一固定偏差,因此标定过程中需要考虑此固定俯仰偏差角。

2)回转误差。由于轴承、轴承座孔等的制造误差、配合质量以及旋转时的动力因素的影响,造成回转轴线的空间位置发生变化,即回转误差。回转误差客观存在于加工和装配过程中,若要减少误差,一般需提高回转精度的措施为设计、加工主轴部件时提高精度,或增加轴承的预紧部件。目前通过上述方法,可将回转误差限制在较小范围内,但由于其随机性,不能全部消除或补偿。

3)垂直度误差。因装配引起的常值系统误差,即垂直度误差,其为不受回转误差影响的、平行轴线之间的系统误差项。系统的俯仰轴和方位轴是系统的主轴系,假定其机械加工的精度是满足要求的,因此方位轴与俯仰轴是互相垂直的；而光轴与俯仰轴之间的关系取决于传感器的安装精度,可能会由于装配板加工、安装精度导致其与俯仰轴平面之间存在夹角,且为一固定俯仰偏差角度；同时光轴与俯仰轴之间的误差导致传感器的坐标原点与转台坐标原点存在偏移,使得传感器观测到的位置与转台读数存在偏差,因此需要将转台的坐标原点与传感器的坐标原点重合,或进行坐标转换来校正误差。

4)基座安装误差。地面光电系统一般会安装在地面支架上,需要通过对支架的调平来保证方位轴垂直于基座安装平面,但是当安装支架没有调平到一定精度内,安装误差是无法消除的,因此在此标定过程中同样需要解决。

因此,为了实现对地面光电系统的标定,需要考虑零位误差和垂直度误差带来的固定俯仰偏移角度；同时针对传感器原点的偏移带来的垂直度误差,需要通过平移将传感器原点与转台坐标系的原点重合；针对光电系统的调平精度不足带来的基座安装误差,需要通过旋转来得到光电系统的欧拉角。

4 系统标定的原理

假设a={p1,p2,…,pn}和A={P1,P2,…,Pn}是转台坐标系、大地坐标系两组空间中的对应点集,根据两组点集数据来计算两者之间的转换信息,可知[3-4]:

A=R×(a+T)

(1)

其中,R为转台坐标系到大地坐标系的旋转矩阵;T为平移矩阵,将其转换为最小二乘求最优问题,上式可以用如下目标函数进行描述:

(2)

其中,wi>0表示对每个点的权重。

4.1 计算平移矩阵

假定上式中的R为不变量,对T进行求导可得:

(3)

4.2 计算旋转矩阵

将公式(3)代入公式(2)中,可得:

(4)

在旋转矩阵是正交矩阵的基础上[5],公式(4)可以简化为:

(5)

其中,S=ΨWZT,对S进行奇异值分解,令svd(S)=UDVT,公式(5)可以转换为:

因此,Γ=VTRU为正交矩阵,从而tr(DVTRU)≤tr(D)。

显然,为了实现目标函数的最大化,矩阵Γ必然是单位矩阵,从而旋转矩阵可以表示为:

R=VUT

(6)

4.3 求解欧拉角

旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵,有3个自由度,为了便于描述,将其转换为欧拉角,即通过旋转矩阵来求解绕一个三维坐标系的三个基轴旋转的3个欧拉角度。给出参考坐标系如图1所示,以右手定则为正,3个欧拉角度分别表示为绕X轴旋转的横滚角γ、绕Y轴旋转的俯仰角β、绕Z轴旋转的偏差角α[5]。

图1 X-Y-Z固定坐标系Fig.1 X-Y-Z fixed coordinate system

针对转台坐标系和大地坐标系之间的旋转,采用外旋作为坐标系旋转方式,坐标系围绕已经固定的轴转动,全程原坐标系不动。同时按照“X-Y-Z”的旋转顺序,先将a的坐标系绕A的坐标系X轴旋转γ角,再绕A的坐标系Y轴旋转β角,最后绕A的坐标系Z轴旋转α角。旋转矩阵R可以表示为:

R=Rz(α)×Ry(β)×Rx(γ)

根据旋转矩阵R的表示,可以求出三个欧拉角的表示。

4.4 两坐标系相互转换

对于系统标定,上述通过奇异值分解得到的欧拉角只解决了系统本身对目标位置定位的准确性,实现了系统转台坐标系向大地坐标系的转换；针对引导跟踪,同样需要实现大地坐标系向转台坐标系的转换。令大地坐标系到转台坐标系的旋转矩阵为R1、平移矩阵为T1,根据两个点集的数据来计算它们之间的刚性转置信息,得到此最小二乘求优问题的表达式为:

(7)

根据大地转转台的旋转矩阵,可知其欧拉角的表示为:

由此可以保证引导跟踪的高精度,提升引导成功率。同时还可用此种方法验证两种坐标系之间转换顺序的正确性,转台坐标系转换为大地坐标系需要先平移再旋转；大地坐标系转换为转台坐标系需要先旋转再平移。

5 光电跟踪系统的标定流程

根据上述系统误差分析,给出光电跟踪系统的标定流程如下:

步骤1:确定三组参考点作为观测目标(根据原理,取三点即可准确计算出标定参数),使用高精度差分GPS得到三组参考点相对系统位置的方位、俯仰角度,即大地坐标系下的坐标；

步骤2:使用光电跟踪系统观测三组参考点并记录方位、俯仰角度,即转台坐标；

步骤3:将两组坐标系下的方位读数、俯仰读数转为空间直角坐标；

步骤4:计算转台坐标系相对于大地坐标系下的平移矩阵；

步骤5:计算转台坐标系相对于大地坐标系下的旋转矩阵；

步骤6:根据公式(1),得到转台坐标系转大地坐标系的坐标点集B,并将其转为大地坐标系下的方位、俯仰读数；

步骤7:考虑固定俯仰偏移角度的影响,将点集B与点集A的俯仰读数差值求平均得到均差meanT,作为偏移角度di(其中i表示循环的次数)；

步骤8:将转台俯仰角度加上此偏移角度。

步骤9:如果点集B与点集A的方位均方根误差RMSe1、俯仰均方根误差RMSe2均小于1×10-7,则根据旋转矩阵计算出系统的3个欧拉角、3个平移角、1个偏移角度∑di作为最终系统标定的7个参数。否则转至步骤3。

6 试验验证与结果分析

本为了验证以上分析的正确性,以某光电跟踪系统为例,设计标定试验来对给出的标定算法精度进行验证。首先确定三组参考点,得到大地坐标系和转台坐标系下的读数如表1所示。

表1 参考点的大地坐标与转台坐标Tab.1 Geodetic coordinates of reference pointand turntable coordinates

根据标定流程的步骤4,计算得到转台坐标系到大地坐标系的平移矩阵为:

T=[-0.1 -0.2 -0.3]T

根据步骤5,转台坐标系到大地坐标系的旋转矩阵：

根据步骤6,计算得到转台坐标系到大地坐标系的方位、俯仰读数如表2所示。

表2 转台坐标转换为的大地坐标Tab.2 Geodetic coordinates convertedfrom turntable coordinates

根据步骤7,得到T2和T的俯仰差值的平均值为:

第一次迭代的偏移角度d1为-0.3361。

根据步骤8,将转台俯仰加上meanT值,具体迭代过程描述如表3所示。

表3 求解垂直度误差的迭代过程Tab.3 Iterative process for solvingperpendicularity errors

因此可知最终系统转台转大地的7个参数为:

1)平移角:-0.1、-0.2、-0.3

2)欧拉角:-0.3456、-0.5391、-5.9966

3)偏移角:为偏移角度di的和

∑di=-0.3361+0.0404-0.0048+5.5990×10-4-6.7076×10-5+8.0356×10-6=-0.3

通过此7个参数,进行大地坐标系到转台坐标系的转换,按照先旋转后平移、再处理偏移角度的顺序,给出最终大地坐标系转转台坐标系的误差结果:

RMSe1=1.2973×10-14

RMSe2=8.1943×10-15

7 结 论

本文对地面光电跟踪系统的误差定位进行了理论分析,确定影响其目标定位精度的误差因素主要是垂直度误差、零位误差、基座安装误差等。通过奇异值分解原理得到了坐标转换的平移矩阵、旋转矩阵及其欧拉角,并迭代过程确定了垂直度误差的偏移角大小,给出了光电跟踪系统的标定流程。最后通过试验验证了理论分析的准确性。此标定过程不需要进行动态标定,简化了标定方法,缩短了标定时间,并提高了系统定位精度,在实际工程使用时有很大意义。