广义结构不良数学问题促进学生思维发展——由一道概率题引发的思考

陈海霞

（南平市教育科学研究院，福建 南平 354200）

为了体现高考评价体系里四翼考查要求中的“创新性”，近年来结构不良数学问题顺势而出，结构不良数学问题已经成为广大基础教育教学研究工作者热议的话题。这类试题中有些条件不全，有些结论开放，有些解题路径不明确，甚至还有些往往会被部分师生误认为错题。当前高中阶段的师生对这类试题表现出极大的不适应性，这类试题逐渐成为教学的拦路虎。这类试题在近两年的高考试题中占有一定的份量，具有重要的区别和甄选功能。

教育部考试中心赵轩、任子朝等在《高考评价体系的数学学科化实践》一文中提到，为有效考查学生的创新能力，今后要在高考试卷中适当增加开放型试题，设问和解答都有较大的开放度是这类试题的最突出的特点，学生可以从多种角度进行思考并作答，有利于培养学生的批判性思维、创新思维等高阶思维能力。［1］总而言之，这类试题将以“起点低，入口宽，方法多，落差高”的面貌呈现出来。

一、广义结构不良数学问题的界定

结合数学学科和高考的特点，数学科的结构不良问题的主要特征有：问题条件或数据部分缺失或冗余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定。［2］普通高中阶段结构不良数学问题主要分成三类：条件开放型结构不良试题、结论开放型结构不良试题、策略开放型结构不良试题，前两者属于狭义结构不良数学问题，后者属于广义结构不良数学问题。

例1.在①2ccosB=2a-b，②△ABC 的面积为，③cos2A-cos2B-sinAsinB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答。（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且____________。

（1）求角C的大小 ；（2）若c=2 且4 sinAsinB=3，求△ABC 的面积。

例2.请写出与曲线f(x)=x3+1 在点(0,1)处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为g(x)_________。

例1 属于条件开放型结构不良试题，从有限个已知条件中选取一个或几个条件补齐题目，实现由结构不良试题转变为结构良好试题。例2 属于结论开放型结构不良试题，能很好地考查学生的数学素养，但由于答案不唯一增加了阅卷难度。类似于例1、例2 的结构不良试题属于狭义结构不良试题。

例3.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A 品牌设备需投入60 万元，B 品牌设备需投入90 万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查（如表1-2 所示）：

表1

表2

更换设备技改后每年估计可增加效益100 万元，从年均收益的角度分析：

A.不更换设备 B.更换为A 设备

C.更换为B 设备 D.更换为A 或B 设备均可

广义结构不良数学问题往往题目呈现的条件完整，问题表征也目标明确，但往往没有明确的解题路径，解决方案中要用到的概念、规则、原理不明确，致使师生面对问题时无从下手，有多种解决方案。广义结构不良试题具有以下四个特点：题意难理解，运算困难，考点不明确，推理困难。因此，策略开放型试题属于广义结构不良数学问题。例3 符合广义结构不良试题的四个特点，属于策略开放型结构不良试题。

二、对一道概率题的热议

“学科核心素养实际上就是一种把所学的学科知识和技能迁移到真实生活情境的能力和品格。要养成这种素养，意味着学生的学习应该是在一个又一个基于真实生活情境的主题或项目中通过体验、探究、发现来建构自己的知识，发展自己的能力，养成自己的品格。”［3］结构不良问题之所以相对结构良好问题有更高的教学价值，根本上在于其与真实情境关联。把结构不良问题引进高中数学教学，最大的目的是激发学生的学习潜能，挖掘和培养学生的发现问题、解决问题的能力，以及挑战现实的实践能力。例3 选自笔者所在地级市某次高三质检数学试卷，它是一道企业决策更换哪一种设备以追求更大年均收益的真实生活情境问题，该题引发了该地区高三数学教师在微信工作群中的热议。

（一）观点1：此题不需要算，结论显而易见

刘老师：更换A 设备与B 设备增加的收益都是100 万元，当然是投入最少最划算。

何老师：投入少但使用年限短，未必划算，所以要考虑设备使用年限。

刘老师：A 设备20 万元使用一年（60 万元/3 年=20 万元），B 设备24 万元使用一年（90 万元/3。7 年=24 万元），增加收益一样，投入少划算。

何老师：可能要研究年均增加的收益更恰当。

（二）观点2：用总收益除以年限的均值得到年均收益，这样算有没有道理

黄老师：第7 题年均收益有歧义。

林老师：此题问得有问题。

黎老师：使用年限的均值，与收益均值，好像是两个概念。使用年限的均值乘以100 得到的是收益？这个题能算的是使用年限内总收益的期望值（要把原先收益考虑进去，100 是增加的），年均收益没法算，我觉得是错题。

彭老师：年均收益可以从年均器械损耗来考虑，比如A 只能用两年的话一年消耗就相当于用30 万，再求期望。

徐老师：第7 题我认为无问题，从年平均收益角度出发，就是从年平均收益的变化来考虑问题，增加收益除年份，选B，设备可每隔几年更换一次，只要年平均增加收益高就行。

（三）观点3：虽然两种算法都支持选项B，但得出的年均收益不一样，两种似乎都有道理

算法一：从年均增加收益的角度分析。

设更换为A 品牌设备使用年限为X，则E(X)=2 × 0.4+3× 0.3+4 × 0.2+5× 0.1=3 年，

设更换为B 品牌设备使用年限为Y，则E(Y)=2 × 0.1+3× 0.3+4 × 0.4+5× 0.2=3.7 年，

所以更换为A 品牌设备年均增加收益更多，从年均增加收益的角度分析选B。

算法二：从年均器械损耗的角度分析（如表3-4所示）。

表3

表4

设更换为A 品牌设备年均投入的金额为ξ，则E(ξ)=30 × 0.4=20 × 0.3+15× 0.2+12 × 0.1=22.2 万元，

更换为A 品牌设备年均增加收益为100 -22.2=77.8 万元；

设更换为B 品牌设备年均投入的金额为η，则E(η)=45× 0.1+30 × 0.3+22.5× 0.4+18× 0.2=26.1 万元，

更换为B 品牌设备年均增加收益为100 -26.1=73.9 万元。

所以更换为A 品牌设备年均增加收益更多，从年均器械损耗的角度分析选B。

事实上，算法一是正确的，算法二是错误的，原因在于年均损耗的概率不能直接套用设备使用年限的概率。类似概率中的贝叶斯公式，比如A 品牌年均损耗30 万元的概率相当于使用年限两年的设备的使用年数占设备总使用年数的频率，即P(x=30)=。（如 表5-6）

表5

表6

综上所述，算法二与算法一并没有矛盾，完全一致。本题问的是从年均收益的角度分析，只需考虑年均收益的变化即可。算法一相当于平均每3 年更换一次A 品牌设备，比平均每3.7 年更换一次B 品牌设备每年新增的收益更高。这里应注意，并非使用年限最长越好。

三、对广义结构不良数学问题“应激反应”的思考

例3 为何会引发教师们的广泛争议呢？究其原因主要有以下两个方面：

（一）去情景化的结构不良问题的教学呈现方式容易造成机械学习

早在20 世纪90 年代，美国著名学者斯皮罗指出许多教学系统失败的共同原因是“这些教学设计以脱离现实的简单化和结构良好的方式呈现了教学的领域以及相关的行为要求”。

教育的重要目的就是让学生掌握知识，并能够创造性地实现知识迁移。而传统的数学教育只针对结构优良问题或某些去情景化的结构不良问题（例如狭义结构不良数学问题）展开教学，只停留在记忆、理解、运用等低阶思维的培养上，只实现让学生掌握知识的教育目的，从而造就出一批批“高分低能”的考试能手，但学生面对结构不良的现实问题时仍无法用分析、评价、创造等高阶思维实现知识迁移。

（二）单一化的结构不良问题的问题表征方式容易造成低效学习

当学生面对结构不良数学问题时只是片面的描述和表征问题，这种单一化的问题表征方式必然导致学生解决此类问题的效率低下。求解结构不良试题需要学生进行整体认知，从不同角度、不同立场主动构建多元化的问题表征，明确确定性知识存在的条件，寻找出各个量之间的异同点，擅于运用类比和归纳猜想与知识储备建立联系，寻找最有利问题解决的理解方式。因此，教师应鼓励学生在数学学习中积极思考和探索，尤其是鼓励学生展开批评与自我批评，引导学生进行批判性思维训练，鼓励学生用准确的语言表达自己的不同想法与见解，引导学生进行多维度思考。另外，教师应坚持“多角度、多层次、低位度、易学易懂逐步升级”的教学原则，让学生养成多元化问题表征的良好学习习惯。

四、对广义结构不良数学问题教育价值的思考

（一）广义结构不良数学问题有利于“高阶思维”的培养

以美国著名教育学家本杰明·布鲁姆1956 年版的“教育目标分类学”中认知目标分类为基础，经过泰勒等学者修改后，将学生的数学思维划分为六个层次：记忆、理解和运用，分析、评价和创造。前三个层次属于低阶思维，后三个层次属于高阶思维。高阶思维通常伴随着新知识、新技能的获得。发展学生高阶思维获取高级知识是数学教学的终极目标。由于结构不良问题一般来源于真实生活，这类问题能够帮助学生摆脱由结构良好问题产生的低阶思维。广义结构不良数学问题帮助形成学生学习的外部情境、建构学生学习的心理场景、打造学生学习的实践场域，有利于引导学生深度思考、深度体验，从而发展学生高阶思维实现获得高级知识的目标。例如上文中提到的观点1，有些人只简单考虑设备损耗与收益，而忽略了设备的使用年限。

（二）广义结构不良数学问题有利于“能产性思维”的培养

当前，广大师生对狭义结构不良数学问题普遍适应，学生在自主建构中已经形成相应的解题策略。而面对题目条件完整，问题表征明确，但解题路径不确定的广义结构不良数学问题，普遍表现出极大的排斥和不适应的否定反应，甚至认为他们是有歧义的错题（例如上文中提到的观点2）。

德国心理学家韦特海默（M.Wertheimer）提出：“能产性思维”是指面对一个问题时能产生一个新的解决方案。结构不良问题的解决过程更倾向于是一种前所谓有的开创性过程。问题解决者没有可借鉴的模式，需要具体问题具体分析，权衡不同影响因子之间的利弊，最终确定最优的解决方案。结构良好问题往往与学生已经解决过的问题相同或相似，学生只需调用已知的解决路径就可以合理解决问题。而结构不良问题往往没有明确的解题路径，需要学生进行合理的猜想、大胆的推测，发现和创造一个“新”的问题解决方案。［4］例如上文中提到的观点3，他们会从不同的两个算法验证猜想的合理性，进一步发现，两种算法实际上是殊途同归。显然，这种广义结构不良数学问题调动了学生的能产性思维，促进了学生问题解决能力的发展。

（三）广义结构不良数学问题有利于“批判性思维”的培养

解决结构良好数学问题时，学生只需要再现其习得的知识和技能就能解决问题，这使学生逐渐形成“惰性思维”和“定势思维”，不利于其在具体情境中有效地迁移。反思是批判性思维的一种体现，而数学学科的反思是指主体主动地对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，是对已形成的数学思想、方法和知识从另一角度，以另一种方式进行再认识，从而得到新的认识，或提出疑问作为新的思考起点。

在学习上习惯使用批判性思维的学生普遍更加敢于尝试、探索和创新，这类学生善于运用自己的推理能力和客观性去分析问题，也往往会得出较好的结论和较理想的结果。由于广义结构不良数学问题解决没有固定的解决方案，需要学生不断地反思判断，理解问题，提出可能的解决方案，对方案的有效性不断地进行监控、评估来实施方案等。因此，教师在教学反馈中鼓励学生进行自我反思，有利于学生检查自己是否达到目标，下一步决定做什么，以及此问题对彼问题的解决有何启示，自己获得了什么新知识新策略，是否有所提高和收获。这种批判性思维帮助学生明确方向、理清思路，提高解决问题的能力。例如上文中提到的观点3，对两种算法得出的年均收益不一样产生困惑的那位教师在微信工作群中就感慨：“提出的还算是有价值的问题，交流是一件好事！”

（四）广义结构不良数学问题有利于“发散性思维”的培养

发散性思维的基本特点是创新性，“一题多解”“举一反三”“学以致用”“合情推理理”等新的问题思路、新的思考方法都属于发散性思维，发散性思维有利于培养创新思维。教学的目的就是帮助学生在原有观念的基础上产生新的更精彩的观念。因此，数学考试评价中应增加应用型、探究型、开放型等广义结构不良问题的比重，有利于发展学生的发散性思维。另外，教师需要采取激励式评价方式，让学生树立学习信心，强化学生的创新动力，培养学生的发散性思维。例如，若把例3 题目中“从年均收益角度分析”和4 个选项删除，则可改编为结论开放型结构不良试题。学生从不同角度分析可以有不同的结论，如更换一次设备的总收益的结果就同年均收益的结果不同。另外，还可改编成条件开放型结构不良试题，是更换一次设备还是可不断更换设备。若是前者，则用更换一次设备的总收益来决策更合理；若是可不断更换设备，则用年均收益来决策更合理。