基于核心素养的概率与统计深度学习体验、评价及反思

王彪 罗中武

摘要：学习体验有巩固性的完善与引申，有拓展性的辨析与争鸣，有研究性的猜想与论证，给学生提供学习机会[1]. 经历课堂实践、评价、反思，促进师生深度学习，发展学生核心素养。

关键词：学习体验;设计评价;教学反思;深度学习;核心素养

一、学习体验

高三一轮复习已经结束，在数学老师的引导下，我通过查阅资料、独立思考、合作学习等方式，完成了数学课外作业变式设计，具体设计如下：

引题：摸球游戏：一个口袋内有12个大小一样、编号不一样的小球，其中8个红球，4个黑球。从中任取6个球，求既有红球又有黑球的概率。（注：摸球游戏每一次摸一个球，变式中要求一样）

设计意图：本题以摸球游戏为背景，利用我们熟悉的情境设置问题，主要涉及互斥事件及其对应概率模型问题，契合实际，作为引题，难度适中，能为解决变式问题营造轻松氛围。变式1一个口袋内有12个大小一样、编号不一样的小球，其中8个红球，4个黑球。求甲、乙两人分别摸到编号为2的黑球的概率。

设计意图：变式1借助引题情境，设问过渡自然，主要考查摸到指定编号球的概率，即独立事件积的概率模型问题，实际上是12人进行抽签的问题，抽签的顺序与抽签到指定某一个签的概率无关，但有一定跳跃性，目的是让我们“垫垫脚，摘得着”。

变式2一个口袋内有12个大小一样的小球，其中8个红球，4个黑球。从中任取6个球，求既有红球又有黑球的概率。

设计意图：变式2在引题情境下，进一步要求我们对问题实质的理解，即取出的球与球的编号无关，只与取出的球的颜色有关，取消球的编号后，实则与引题是同样的概率模型问题，与引题联系紧密。

变式3一个口袋内有12个大小一样的小球，其中8个红球，4个黑球。从中不放回地任取6个球，求第四次摸到黑球的概率。

设计意图：变式3在引题情境下，以不放回的摸球游戏为载体，涉及互斥事件和的概率模型问题，渗透分类讨论思想。

变式4一个口袋内有12个大小一样的小球，其中8个红球，4个黑球。从中有放回地任取6个球，求第四次摸到黑球的概率。

设计意图：变式4以引题为背景，以有放回的摸球游戏为载体，体现多种情况下互斥事件概率模型求解问题，与变式3形成对比，但通过演算，发现有放回和不放回摸球的概率是一样的，进而引发我们深思、质疑、论证，提升我们发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，起到变式训练的功效，也达到设问的目的。渗透分类讨论思想，提升我们数学运算、逻辑推理、数学建模等能力。

变式5一个口袋内有12个大小一样的小球，其中8个红球，4个黑球。从中不放回地摸球，若摸到黑球，则停止摸球，若第三次摸不到黑球，同样停止摸球。记摸球的次数为随机变量h，求η的数学期望。

设计意图：变式5在引题情境下，借助变式3不放回摸球游戏概率模型，涉及数学期望的求解，让我们走出情境，进入关联新情境，搞清问题的本质，进而提升我们综合解决问题能力。

变式6一个口袋内有12个大小一样的小球，其中8个红球，4个黑球。摸到一个红球得1分，摸到一个黑球的2分，从中摸出6个球，记得到的分数为随机变量h，求η的数学期望。

设计意图：变式6在引题情境下，引入摸球记分环节，借助组合概率模型等，综合考查数学期望的求解，与变式5既有区别又有联系，让我们从不同角度展望数学期望。

变式7一个口袋内有同样大小红球和黑球，第一次从中摸出红球或黑球的概率均为;若上一次摸出的是红球，则下一次摸出红球的概率为，摸出黑球的概率为;若上一次摸出的是黑球，则下一次摸出红球的概率为，摸出黑球的概率为。设Pn表示第n次摸出黑球的概率。

试写出P1，P2;

试写出Pn与Pn−1的关系式，并求Pn。

设计意图：变式7在引题情境下，呈现新的问题情境，设问反差大，主要涉及概率模型与数列模型交汇的综合问题，目的是要让我们“跳一跳，摸得着”。很好的渗透学生分类讨论思想，可展现我们数学计算、逻辑推理等能力，促使我们数学运算、数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养目标的达成。

二、教师点评

王彪同学通过对《概率与统计》模块内容的学习体验，在老师的引导下完成给同学们课外变式作业设计。他站在学生的立场，借助摸球游戏的熟悉情境，从问题出发，以“变式”演变展开，呈现出各种情境下概率求解问题。其中有一般变式，如古典概率模型、互斥事件和独立事件概率模型，也有较深层次变式，如利用期望公式求解以及借助概率与数列递推关系综合设问，作业设计贴近学生生活实际，充分体现了能力立意的特点。变式间既有联系，又有差异。变式设计逐级递进、环环相扣、拾级而上，找到了问题的核心，能表达同学们的“心声”，能很好的体现学生数学思想及能力，也能促使学生核心素养目标的达成。可见在设计过程中是付诸行动、花了心思的，相信这是一次不错的学习成长历练，也将会是一次美好的学习回忆。

设计体验中有的地方还可以更具体些，如不放回摸球问题实际是排列与组合问题，有放回摸球问题实际上是条件概率问题，求数学期望实际上是求加权平均数等;也可增加个别深度变式，让同学们“助跑跳，触得着”。

总之，王彪同学整体设计是比较完整的，瑕不掩瑜，是值得称道的。该设计作为一种复习课后的作业模式，可不断尝试，逐步完善，以便为教学提供参考。

三、教学反思

（1）善选题

数学学习、教学均以问题为中心，“题”成为数学学与教的关键词。选择一道适合学生的题，可以让学生理清基本知识、掌握基本技能、领悟基本思想方法、收获基本活动经验，进而聚焦数学学科核心素养。善于“选”题是数学学与教的一种必备能力，好题可以拨动学生的心弦，敞开学生的心扉，弹奏出动人的音符，回味无穷。一道好题，众里寻它千百度，它不仅可以启迪学生思维，还可以一题通关，正所谓“一题抵万题”。

（2）巧变题

变式学习、教学是一种数学学与教的方式。茫茫题海，并非每题都适合我们的学生，巧妙的变化，方能事半功倍。因此，教师要会巧“变”题，通过变化试题情境、条件、设问、数据、结构等，进而演变成符合学生实际的问题，有助于学生在学习体验中有获得感。选好题，通过变式形成“变题链”，让学生认识到数学知识并非单一化，而是“网络化”，感受到数学知识是有广度、有深度、有底蕴、有生长点、有灵魂，精彩缤纷的，犹如梦境般美好！

（3）好练题

教学活动中，选题仅仅是教学的良好开端，而真正让学生获得知识的途径是好“练”题，即认真做题、评价、不断总结反思。只有通过“练”题，练习一定量的题，才能体会“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”。理解题的“源头”与“流向”，掌握基本知识、技能和方法，获得经验。同时，通过适度量的“变题链”练习，让学生体验“变中求不变，以不变应万变”，领悟数学问题的本质，才能融会贯通，从而举一反三，真正让学生“练”在题中，学在题中，乐在题中。

（4）试编题

好练题，巧变题，不一定会编题，编高质量的题。每年高考结束，老师们都迫不及待的想知道，今年高考中命制了哪些好题。好的高考试题是专家命题组集体智慧的结晶，感叹之余，我们也可尝试“编”题。在教学活动中，教师对于课本例题、习题等做适当的改编，经历改编过程，不断探索，提升自身数学素养。同时，也可让学生体验“编”题，启迪学生思维，促进学生深度学习，快速成长，提升学生解决问题的能力。

（5）会品题

经历“善选题、巧变题、好练题、试编题”，可感受到登“题”山之巅，一览众山小。作为教师，还要学会“品”题，“品”题中的数学本质，“品”题中的丰富多彩，“品”题中的韵味无穷。教学活动中，赋予学生契合实际的好题应成为教师根本任务，让学生体验好题，培养高阶思维能力，提升综合解决问题的能力，发展数学学科核心素养，进而“题”出精彩，“题”出人生。

参考文献：

[1]罗增儒.零距离数学交流——体验与探究[M]. 广西教育出版社，2003.

*本文系銅仁市课题“基于核心素养的概率与统计深度学习案例研究”（课题编号：2020SX034）的阶段研究成果之一.