从“简易方程”到“一元一次方程”

文／浦叙德（特级教师）

在七年级数学前三章中，我们分别学习了“第1章：数学与我们同行”“第2 章：有理数”和“第3 章：代数式”，现在我们开始学习“第4 章：一元一次方程”。说到方程，大家并不陌生，因为在小学五年级我们就学习了“简易方程”，知道了方程、方程的解与解方程等概念，并会利用方程解决简单的实际问题。到了初中，“一元一次方程”与小学的“简易方程”又有什么异同呢？

一、全面认识研究方程的基本思路

首先，小学阶段学习的方程、方程的解、解方程等概念以及用方程解决简单的实际问题的思路同样适用于一元一次方程；其次，一元一次方程是方程中最特殊、最简单的方程。在初中阶段，除了有特殊的一元一次方程之外，还有很多其他特殊的方程，它们都可以按照相同的思路和方法去研究。同学们可以从图1来体会。

从图1 中我们可以看出，小学阶段讲的方程知识，正好是方程需要被研究的几个方面，而研究一元一次方程，是规范、系统研究方程的开始。可见，本章内容学得好与坏，直接影响后续方程的学习。因此，同学们一定要在初中方程的开始就学好、学深、学透，取得“良好的开端”，才可能达到“成功的一半”。

图1

二、局部认识研究方程的关键点

从数学知识的角度看，前面我们学习了数、式两章内容，因此，一元一次方程可以看成数与式的运用；从生活实际的角度看，方程可以看成实际问题中含有未知量的相等关系抽象的结果。图1 告诉我们，从知识的角度看，要研究一元一次方程的定义、解、解法三个方面。下面，我们分别对这三个方面做一个研究。

方程的定义是“含有未知数的等式”；一元一次方程的定义是“只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）”，由于涉及次数，所以隐含了“方程中含有未知数的代数式是整式”。一元一次方程的解的定义跟方程的解的定义完全一样，即“能使方程两边的值相等的未知数的值”。

我们再来看看等式与方程之间的联系。

如“3+2=5”就是等式，而“3+x=5”就是方程。显然，“x=2”就是这个方程的解。通过比较，我们可以看出，方程中的未知数看着不确定（未知），实际上是确定（已知）的，所以，方程的解也可以理解为“未知中的已知”。

求方程的解的过程叫作解方程。对于一元一次方程来说，分成“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”五步，对于其中的每一步，我们都要明白变形的依据。

“去分母”是根据等式的性质，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，这是一个整体变形，要求每一项都乘到，这样同学们就可以避免在解方程时犯“漏乘”的错误；“去括号”是利用乘法分配律把括号去掉，这是一个局部变形，只涉及括号内的每一项；“移项”是根据等式的性质，在方程的两边同时加上（减去）某个项，这是一个整体变形，要求方程的两边同时变形，从结果来看，只要把一些项“改变符号”后从方程的一边移到另一边即可；“合并同类项”是针对方程两边的同类项而言，这是一个局部变形，只要根据合并同类项法则进行即可；“系数化为1”是根据等式的性质，在方程两边同时乘（除以）一个非0 的数，这是一个整体变形，要求方程两边同时进行，结果把未知数的系数放到右边已知数的分母上即可。

明确了一元一次方程的定义，我们就可以判断一个方程是不是一元一次方程。反之，如果一个方程是一元一次方程，这说明它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，进而可以列出等式求出待定字母。明确了一元一次方程，我们可以通过解方程把它的解求出来，反之，知道一个方程的解，我们可以把它代入方程，求出待定系数。

三、整体认识方程知识的模型价值

上面提到，方程可以看成解决实际问题中相等关系的一个模型，这就是本章最后一项内容“用一元一次方程解决问题”。这个内容可以说明两点：一是数学与生活是紧密相连的，数学来自生活实际；二是生活中的许多问题都可以用数学知识（方程）来解决，数学服务于生活实际。这充分体现了学习数学知识的价值。

列方程解决实际问题的基本步骤可以概括为“设元→列出方程→解方程→检验→作答”这五步。其中，设元后找到等量关系，把文字语言转化为符号语言，进而列出方程，是最关键的一步。从方程模型的整体角度看，就是“实际问题→抽象出数学问题（方程）→解决数学问题（解方程）→检验并解决实际问题”（如图2）。显然，这个建立数学方程模型的过程，适合任何一个用一元一次方程解决的实际问题。

图2