Z-Quantale的表示定理

杜佳慧, 刘 敏

(长安大学 理学院, 西安 710064)

Quantale理论是理论计算机科学的数学基础之一, 应用广泛[1-3]. Quantale可视为Locale的一般化, 其可为非交换的C*-代数提供一种新的格式刻画, 并为量子力学提供新的数学模型[4-5]. 文献[6-7]对Quantale理论进行了系统研究.

目前, 关于Z-集系统的研究已有很多结果. Wright等[8]提出了Z-集系统的概念; Bandelt等[9]引入了Z-连续偏序集的概念并讨论了其一系列基本性质； 赵东升等[10]从范畴的角度对一类Z-集系统给出了Z-连续偏序集的一个范畴特征； 文献[11]将集系统的概念应用到Frame理论中, 引入了Z-frame的概念； 文献[12-13]进一步研究了Z-frame及其范畴性质； 文献[14]把集系统的概念应用到Quantale理论中, 作为Quantale的一般化引入了Z-Quantale的概念, 并研究了Z-Quantale及其范畴性质； 文献[15]通过对Z-Quantale的进一步研究, 证明了交Z-Quantale的所有Z-闭子集构成的集合在包含序下是Frame, 并讨论了交Z-Quantale上的核映射、商、同余之间的关系, 进一步证明了Quantale范畴是Z-Quantale范畴的反射子范畴.

Quantale的表示是Quantale研究的一个重要方面. Rosenthal[7]证明了每个关系Quantale都同构于半群构成的幂集Quantale的商Quantale; Brown等[16]研究了单位Quantale的表示, 证明了每个单位Quantale都同构于一个关系Quantale; Valentini[17]给出了与文献[16]类似的结论, 但文献[16]中单位QuantaleQ可嵌入到以包含序为序关系的Quantale中, 而文献[17]中单位QuantaleQ可嵌入到以反包含序为序关系的Quantale中； 在此基础上, Kaarli等[18]给出了Integral Quantale的关系表示. 受上述工作的启发, 本文讨论单位Z-Quantale的表示问题, 给出单位Z-Quantale的映射表示和关系表示, 并讨论单位Z-Quantale范畴及关系Z-Quantale范畴之间的关系.

1 预备知识

定义1[19]设(S,·)是半群. 如果(S,≤)是偏序集, “≤”关于半群的乘法是相容的, 即

a≤b⟹a·c≤b·c,c·a≤c·b, ∀a,b,c∈S,

则称(S,·,≤)是序半群, 简称S是序半群.

定义2[20]设(S,·,≤)和(M,*,≤)是序半群,f: (S,·,≤)→(M,*,≤)是映射. 如果∀a,b∈S, 有:

1)a≤b⟹f(a)≤f(b);

2)f(a·b)=f(a)*f(b).

则称f是从S到M的序半群同态.

定义3[21]设P是完备格. 若∀a∈P, {bi}i∈I⊆P, 有

则称P是Frame.

定义4[21]设P和T是Frame,f:P→T是映射. 如果f满足：

1) ∀a,b∈P,f(a∧b)=f(a)∧f(b);

则称f是从P到T的Frame同态.

定义5[21]设Q是完备格,&是Q上的二元运算, 且满足：

1) ∀a,b,c∈Q, (a&b)&c=a&(b&c);

则称(Q,&)是Quantale, 简称Q是Quantale.

定义6[21]设Q和K是Quantale,f:Q→K是映射, 如果f满足：

1) ∀a,b∈Q,f(a&b)=f(a)&f(b);

则称f是Q到K的Quantale同态.

设(S,·,≤)是序半群, 用D(S)表示S的下集格, 即

D(S)={A⊆S|A=↓A}.

在D(S)上定义二元运算*为

U*V=↓{u·v|u∈U,v∈V}, ∀U,V∈D(S),

易见(D(S),*,⊆)是序半群. 用OSG表示以序半群为对象、以序半群同态为态射的范畴.

定义7OSG上的一个集系统Z是一个映射, 其中对OSG的每个对象S,Z(S)是由S下集构成的子集族, 且满足下列条件：

1) ∀x∈S,↓x∈Z(S);

2) 若f:S→T是保序映射, 则∀D∈Z(S), ↓f(D)∈Z(T);

3)Z(S)是D(S)的子序半群;

4) ∀α∈Z(Z(S)), ∪α∈Z(S).

Z(S)中的元素称为Z-理想. 若C⊆S且↓C∈Z(S), 则称C为Z-集.

本文中Z总表示OSG上的一个集系统, 且OSG上集系统Z的概念与文献[12]略有不同, 文献[12]要求定义7中条件2)的f为序半群同态, 而本文仅要求f保序.

例1对每个序半群S,D(S)是S的下集格,

P(S)={↓x|x∈S},

则对应的D和P分别是OSG上的最大和最小集系统.

定义8[12]设S是序半群, 若∀D∈Z(S), ∨D存在, 则称S为Z-完备的.

易证S是Z-完备的当且仅当S的每个Z-集的并存在.

定义9[12]设(S,·,≤)是Z-完备序半群, 若∀a∈S,D∈Z(S), 有

a·(∨D)=∨(a·D), (∨D)·a=∨(D·a),

则称(S,·,≤)是Z-Quantale, 简称S是Z-Quantale. 若S中有单位元, 即∃e∈S, 使得∀s∈S,e·s=s·e=s, 则称S为单位Z-Quantale.

定义10[15]设S,T是Z-完备序半群,f:S→T是序半群同态. 若∀Z-集D⊆S,f(∨D)=∨f(D), 则称f是Z-完备序半群同态. 若S,T是Z-Quantale,f是Z-完备序半群同态, 则称f是Z-Quantale同态, 若Z-Quantale同态f为序同构， 则称f为Z-Quantale同构.

本文涉及的相关Quantale理论可参考文献[21], 相关偏序集和格的理论可参考文献[22], 相关范畴论的理论可参考文献[23].

2 Z-Quantale的表示

下面证明任意单位Z-Quantale均同构于由其强Z-自连续映射所构成的Z-Quantale.

定义11设P为Z-Quantale, 若∀S∈Z(P),f(∨S)=∨f(S), 则保序映射f:P→P称为Z-自连续的.

记Z-QuantaleP上的所有Z-自连续映射为EndZ(P).

命题1设P为Z-Quantale, 则(EndZ(P),∘,≤)为Z-Quantale, 其中∘为映射的复合, ≤为逐点序, 即

f≤g⟺ ∀a∈P,f(a)≤g(a).

证明: 1) 可证明(EndZ(P),∘,≤)为序半群.

2) 证明(EndZ(P),∘,≤)为Z-完备序半群.

设H∈Z(EndZ(P)),x∈P, 定义映射

则Φ为保序映射. 由P为Z-完备序半群,Φ为保序映射, 可得

↓{h(x)|h∈H}∈Z(P),

故∨↓{h(x)|h∈H}存在. 定义h0:P→P为

h0(x)=∨↓{h(x)|h∈H}, ∀x∈P.

设x≤y, 则

↓{h(x)|h∈H}⊆↓{h(y)|h∈H},

从而可得h0(x)≤h0(y), 即h0为保序映射. 设集S∈Z(P), 则

故h0∈EndZ(P). 由h0(x)的定义可得h0=∨H, 故EndZ(P)为Z-完备的序半群.

3) 设f∈EndZ(P),H∈Z(EndZ(P)), 则∀x∈P, 有

故f∘(∨H)=∨(f∘H). 同理可得(∨H)∘f=∨(H∘f). 故EndZ(P)为Z-Quantale.

定义12设P是Z-Quantale,f∈EndZ(P), 若∀a,b∈P, 均有f(a·b)=f(a)·b, 则称f为强Z-自连续映射.

记P上所有强Z-自连续构成的集合为EndSZ(P).

命题2设P为Z-Quantale, 则(EndSZ(P),∘,≤)为Z-Quantale, 其中∘为映射的复合, ≤为逐点序.

证明: 1) 设f,g∈EndSZ(P), 则∀a,b∈P, 有

g(f(a·b))=g(f(a)·b)=gf(a)·b,

所以g∘f为强Z-自连续的.

2) 设H∈Z(EndSZ(P)), 则可证H为EndZ(P)中的Z-集. 记h0为H在EndZ(P)中的上确界, 则∀a,b∈P, 由↓{h(a)|h∈H}为P中的Z-集, 可知

因此h0∈EndSZ(P), 从而可证h0是H在EndSZ(P)中的上确界. 所以EndSZ(P)是Z-完备的, 进而类似于命题1可证明(EndSZ(P),∘,≤)为Z-Quantale.

注1设P为Z-Quantale, 则∀a∈P,a·_∈EndSZ(P).

定理1若P为单位Z-Quantale, 其中e为P中的单位元, 则映射

为Z-Quantale同构.

证明: 1) 由a·_∈EndSZ(P)可知φ的定义合理;

2) 设a,b,x∈P且a≤b, 则φ(a)(x)=a·x≤b·x=φ(b)(x), 故φ为保序映射;

3)φ(a·b)(x)=(a·b)·x=a·(b·x)=(φ(a)∘φ(b))(x);

4) ∀D∈Z(P),x∈P, 则φ(∨D)(x)=(∨D)·x=∨(D·x), 故φ(∨D)=∨φ(D);

5) 若a,b∈P,φ(a)≤φ(b), 则a=φ(a)(e)≤φ(b)(e)=b, 故φ为序嵌入;

6) 设f∈EndZS(P), 则∀x∈P, 有

(φ(f(e)))(x)=(f(e))·(x)=f(e·x)=f(x).

所以f=φ(f(e)), 故φ为满射.

综上可知f为Z-Quantale同构.

3 单位Z-Quantale的关系表示

注3关系Z-Quantale为单位Z-Quantale.

证明: 设r,s∈Q, 则

证明: 设r∈Q,D∈Z(Q), 则

故f为序半群同态. ∀Z-集D⊆Q, 可得

定义15设(Q,⊗,≤)为单位Z-Quantale, ∀a,b∈Q, 有a⊗b=b⊗a, 则称Q为可换单位Z-Quantale.

4 单位Z-Quantale范畴的等价定理

用UZQuant表示以单位Z-Quantale为对象,Z-Quantale同态为态射的范畴, CUZQuant表示由可换单位Z-Quantale为对象和Z-Quantale同态为态射的范畴, 则易得CUZQuant为UZQuant的满子范畴. 用RZQuantale表示以关系Z-Quantale为对象,Z-Quantale同态为态射的范畴, 则易见RZQuant是UZQuant的满子范畴. 用CRZQuant表示由可换关系Z-Quantale为对象,Z-Quantale同态为态射的范畴, 则易得CRZQuant为CUZQuant的满子范畴. 显然存在含入函子I:RZQuant→UZQuant, 且I: CRZQuant→CUZQuant也为含入函子.

定理31) 范畴UZQuant和RZQuant是等价的;

2) 范畴CUZQuant和CRZQuant是等价的.

综上， 本文给出了单位Z-Quantale的映射表示和关系表示定理, 得到了单位Z-Quantale范畴与关系Z-Quantale范畴等价. 由于Z-Quantale可视为Quantale的推广, Frame是特殊的单位可换Quantale, 因此本文结论可应用于Quantale和Frame等特殊的Z-Quantale。