构建数学模型 解决实际问题——以初中数学解决问题专题为例

安志红 刘金英

我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量涉及分析数量关系的问题，这为培养学生的模型思想提供了大量的现实素材。从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题是学生应用数学知识解决实际问题的一种能力体现。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，为适应时代发展对人才培养的需要，数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。针对这一要求，本文以2021年天津市初中毕业生学业考试数学试题（第22、23题）为典型，分析试题的呈现过程，力图说明在教学过程中，教师要充分利用教材资源，重视数学应用，重视培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，该能力是落实《标准》的基本要求。

一、关于构建数学模型的理解

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识[1]。

建立数学模型的类型有很多，其中方程是一种重要的描述现实世界的数学模型，大量丰富的实际问题反映出方程既来自实际又服务于实际。体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法是一种重要的数学模型认识。人教版教科书七年级上册第三章《一元一次方程》的“3.4实际问题与一元一次方程”一节，以框图形式，第一次比较明确地对“利用一元一次方程解决问题的基本过程”进行了归纳，意在渗透建立数学模型的思想，在全章的小结中明确提出“数学模型”，使学生对构建数学模型在认识层面上实现了提升。

函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.人教版教科书八年级下册第十九章《一次函数》的章引中言明确提出：“为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念。人们通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律。”在函数的学习中，找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是建立函数模型和解决实际问题的关键步骤。现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，借助实际问题情境，引导学生由具体到抽象地认识函数，进一步体会建立数学模型的方法与作用，以提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。

利用几何图形建立模型也是常见的。例如，通过对人教版教科书九年级下册第二十八章《锐角三角函数》的教学，可以使学生综合运用知识解决与直角三角形有关的度量问题。借助图形，是利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键，画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，数形结合，将问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，选择恰当的锐角三角函数，并综合运用勾股定理等直角三角形的有关知识加以解决，提高了学生分析问题和解决问题的能力。

二、关于构建数学模型的专题分析

一、构建几何模型，解决实际测量问题

“锐角三角函数”属于三角学，是《标准）》中“图形与几何”领域的重要内容。锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，将实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，往往需要根据题意，画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等过程使实际问题得到解决。

图1

此题源自人教版教科书九年级下册第二十八章《锐角三角函数》的28.2解直角三角形及其应用，涉及的内容属于初中数学的图形与几何部分，是对知识的应用能力的考查。有趣的实际背景，与教科书中的例题极为相似，充分展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。

题目将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局。一方面，可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于生活，是实际生活的需要；另一方面，让学生看到这些理论在解决实际问题中所起的作用。题目抽象出的几何图形中出现两个锐角，一个是特殊角，另一个是非特殊角，依据《标准》对本章的要求，紧扣教科书第73页中例1、例2、例4的形式，在解决问题的过程中考查了特殊角的三角函数值，及锐角三角函数的定义等基础知识的应用。

（一）将实际问题抽象为数学问题

用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键，是借助图形将实际问题转化为解直角三角形的问题。题目背景取自教科书第76页例5，为了降低难度，题目直接给出了示意图，在弄清“北偏东”、“南偏东”等确定方位的常用术语的前提下，学生能根据题意将实际情景中的条件抽象成数学已知条件（由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257），并根据实际问题转换成数学问题：求三角形中一条边的长（求AB的长）。

（二）明确需要求解的直角三角形

运用锐角三角函数的知识点解决问题的先决条件是具备直角三角形这一基本图形，解决实际问题时若不具备条件，需适当添加辅助线完善图形，帮助找到直角三角形.所以需要过点B作BH⊥AC，垂足为H，构造出AB边所在的直角三角形ABH，如图2。

图2

（三）建立图形中要素之间的关系

（四）应用数学工具解决实际问题

此题具有一定的灵活性和综合性，根据题意抽象出数学元素，作垂线，建立解直角三角形的基础图形，数与形结合，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，根据已知条件的特点，选择恰当的锐角三角函数关系，建立解直角三角形的模型和方程模型以解决问题。

二、构建函数模型，处理图象信息问题

图象信息问题是指依据图象（表）来获取信息，这类问题来源广泛，形式灵活，突出考查考生收集、整理和加工信息的能力。一次函数是最基本的初等函数，《标准》的要求是能用一次函数解决简单实际问题，考查学生能利用已知条件建立一次函数模型，与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容有机结合的能力，考查对数形结合及分类讨论思想方法的理解。选取与学生生活密切联系的命题背景，能让学生强烈感受到利用数学知识解决实际问题的情感体验，所以利用一次函数模型解决实际问题是近年来中考命题的热点。一次函数应用问题的命题形式多样，其中行程问题的图象信息题是比较常见的一种。

例2（2021，天津，23）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境。

图3

已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12 km，陈列馆离学校20 km．李华从学校出发，匀速骑行0.6 h到达书店；在书店停留0.4 h后，匀速骑行0.5 h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5 h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间x h之间的对应关系。

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①书店到陈列馆的距离为_____km；

②李华在陈列馆参观学习的时间为_____h；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为_____km/h；

④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为_____h．

（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．

此题源自人教版教科书八年级下册第76页例2，并融合了《标准》第123页例78的设计思路和理念。题目以“看图说故事”的形式呈现，取材于学生的日常生活，阅读题目的过程中容易产生代入感，易于理解问题的大意，而且题目在设计上以填表、填空的形式完成，方便解答，可以使学生有更多的时间，集中精力思考数学问题。

（一）阅读文字信息，理解题意

找出问题中相关变量之间关系的基础是正确地理解问题情境。本题的信息量较大，单看图象很难调取有效信息解决问题，细心读题、审题是解题的前提：李华从学校到达书店；停留后，再到达陈列馆；参观一段时间后返校，且返回的途中有速度变化。在认真阅读文字信息的前提下，再结合图象，才能比较容易明确时间与距离两个变量的关系。

（二）观察图象特点，提取数据

1.观察其中的坐标轴，明确实际意义

观察图象时，首先要明确横、纵坐标轴表示的实际意义。此题横轴表示时间，纵轴表示距离，观察x轴可得由学校到书店用时0.6 h，在书店停留1-0.6=0.4（h），从书店到陈列馆用时1.5-1=0.5（h），在陈列馆参观学习的时间为4.5-1.5=3（h）；由陈列馆返回学校用时5.5-4.5=1（h）；观察y轴容易得到学校距书店12 km，书店到陈列馆的距离为20-12=8（km）的信息；通过对坐标轴的观察，与文字信息的呼应，使学生进一步加强了对题意的理解，对应图表提供的数据，可得：当x＝0.5时，y＝10；当x＝0.8时，y＝12；当x＝3时，y＝20；学生能比较轻松地回答第（Ⅰ）问以及第（Ⅱ）问中的①、②问题，题目的设计充分体现了义务教育的数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能的要求。

2.观察图象变化趋势，明确变化规律

（三）依托图象关键点的位置，寻找数量关系

将题目中描述的运动过程与图象匹配起来，发挥从数和形两个方面共同分析问题、解决问题的优势，是必要且可行的。如图4，图象中六条线段由重要的点A、点B、点C、点D、点E相连，结合实际情形，图中的点O、点A、点B、点C、点D、点E、点F坐标分别是（0，0）、（0.6，12）、（1，12）、（1.5，20）、（4.5，20）、（5，6）、（5.5，0），不难看出，对于线段OA、线段BC，随着自变量x的增大，对应的函数值y也增加，对于线段DC、线段EF，随着自变量x的增大，对应的函数值y减小，利用得到的点坐标建立一次函数模型，可求相应线段的解析式；线段AB、线段CD，随着自变量x的增大，对应的函数值y没有改变，可用常数表示.因此根据实际意义，用坐标确定每个关键点的位置是解决第（Ⅲ）问的前提。

图4

（四）理解问题中变量的含义，建立函数模型

限定了自变量的取值范围，即锁定了对应的函数图象，当0≤x≤1.5时，图象中对应了三条不同线段，所以要分区间段一一考虑。利用线段与线段之间连接点的横坐标，可将0≤x≤1.5划分为0≤x≤0.6，0.6＜x≤1，1＜x≤1.5三段，利用图中的关键点O、点A、点B、点C的坐标，建立相应函数模型，用分段函数的方式描述最终结果。当0≤x≤0.6时，建立正比例函数模型，得线段OA的解析式y＝20x；当1＜x≤1.5时，建立一次函数模型，组建二元一次方程组，得线段BC的解析式y=16x-4，当0.6＜x≤1时，对应的函数值不变，可用y＝12表示。

此题不仅考查建立模型的意识以及基础运算的能力，还考查对数形结合思想方法的应用，数与形相互融合，体现了函数解析式与函数图象的转化对分析问题、解决问题的重要作用。

从上述分析可以感受到，对于一个问题可以从多种角度思考，图形、图象、表格、式子等都是运用数学模型解决实际问题可以借助的工具，使用它们的目的在于发现和厘清问题中量与量之间的关系，在建立模型后，还需注意结合问题的实际意义检验结果的合理性。另外，这两道题目均源于教科书上的例题，建议教师日常教学中围绕课标，立足教材，落实基础知识和基本技能，以学生熟悉的、感兴趣的话题为背景，加强数学应用能力的训练，逐步培养学生的模型观念，提高学生解决实际问题的综合能力。