从学生的一个极值问题引发的思考

钟宏亮

问题设函数f（x）在 上可导，其导函数为f′（x），且函数g（x）=xf′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.f（x）有两个极值点B.f（-2）为函数的极大值

C.f（x）有两个极小值D.f（-1）为f（x）的极小值

书中的解析：由题图知，当x∈（-∞，-2）时，g（x）>0，∴f′（x）<0，当x∈（-2，0）时，g（x）<0，∴f′（x）>0，当x∈（0，1）时，g（x）<0，∴f′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，g（x）>0，∴f′（x）>0.∴f（x）在（-∞，-2），（0，1）上是减少的，在（-2，0），（1，+∞）上是增加的.故ABD错误，C正确。

反思：感觉书中的解析好像有道理，但问题是选项A为何不对？一时却较难解释清楚。

事实上，由g（x）=xf′（x），得g（0）=0×f′（0）=0，故本题图像显然不对。

那么，如何构造一个在 上可导且满足题意的函数f（x）呢？

因为函数g（x）的零点除了-2，1，还应该有0，于是我们不妨构造函数g（x）=x2（x+2）（x-1），其图像如下：

由g（x）=xf′（x），得xf′（x）=x2（x+2）（x-1），不妨取f′（x）=x（x+2）（x-1），取f（x）=14x4+13x3-x2，此时函数f（x）在 上可导且有三个极值点，故知选项A不正确。

注意：同学们平时做题的时候不应仅仅满足选对了答案，而应弄明白每一个选项对或错的原因，多体会出题老师的意图，思考题目考察了哪些知识点，渗透了哪些数学思想方法等等，若能长期这样坚持就一定会事半功倍，快速进步.

下面举几个典型易错的极值问题供同学们探究：

例1设函数f（x）在 上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）

B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）

C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）

D.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

解析：由题图可知，当x<-2时，f′（x）>0;当-2<x<1时，f′（x）<0;当1<x<2时，f′（x）<0;当x>2时，f′（x）>0.由此可以得到函数f（x）在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，故选D。

反思：如何弄明白x=1处的情况呢？我们令g（x）=（1-x）f′（x），则g（1）=0×f′（1）=0，因为函数f（x）在 上可导，所以f′（1）存在，若f′（1）≠0，则x=1不是极值点;若f′（1）=0，由于x （-2，1） （1，2）时f′（x）<0，则x=1不是极值点，所以不管f′（1）是否为0，x=1都不会成为函数f（x）的极值点。

例2若函数y=f（x）存在n-1（n∈ ）个极值点，则称y=f（x）为n折函数，例如f（x）=x2为2折函数.已知函数f（x）=（x+1）ex-x（x+2）2，则f（x）为（）

A.2折函数B.3折函数

C.4折函数D.5折函数

解析：f′（x）=（x+2）ex-（x+2）（3x+2）=（x+2）·（ex-3x-2），令f′（x）=0，得x=-2或ex=3x+2。

令m（x）=ex，n（x）=3x+2，易知m（x）=ex与n（x）=3x+2有两个交点。又e-2≠3×（-2）+2=-4，即m（-2）≠n（-2）。所以函数y=f（x）有3个极值点，则f（x）为4折函数，故选C。

反思：在由f′（x）=0的根确定极值点的时候，要注意考虑有重根的情况，比如本题检验知m（-2）≠n（-2）就说明方程ex=3x+2的根不可能为-2，从而说明函数y=f（x）有3个极值点。

例3函数 极值点的个数为____.

解析：函数 的定义域为 ， （ ），由 ，得 ，当 时， ， 单调递增;当 时， ， 单调递减;当 时， ， 单调递增;又 ，从而 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点，故函数 有两个极值点。

反思：本题由于函数 在x=0处导数不存在，同学们容易错误判断只有一个极值点，事实上，导数f′（x）不存在的点也可能成为函数f（x）的极值点。

最后，同學们在使用各种参考书的时候，不一定要完全信书，大家可以提出自己的见解并多和同学、老师交流讨论，这样收获一定会更大的。