三版教材关于“负负得正”的设计与分析

肖婧钰 郑绪妹 王家正

【摘 要】有理数的乘法运算在培养学生的“数感”和“符号意识”方面有着重要的地位，本文通过“人教版”“康轩版”“singlee版”三版教材对“负负得正”内容的设计及对比分析，得出三版教材的呈现方式有两种：第一种是探索数学规律，揭示运算法则;第二种是通过引入实际情境，探索运算法则.通过对比分析，帮助教师在有理数乘法运算的教学中更好地把握教学规律，从而更有效地培养学生“数感”与“符号意识”，进而提高学生数学核心素养水平.

【关键词] 数感;符号意识;有理数

有理数的乘法运算在培养学生数学的“数感”与“符号意识”方面有十分重要的地位.在有理数教学内容中“负负得正”是教学的难点，也是学生理解的难点.七年级学生已经有了一定的规则感，而“负负得正”的内容只能通过生活情境的引入加以解释，这一内容也曾难倒许多人.下面，就三版教材——人民教育出版社版本（以下简称“人教版”）、中国台湾康轩文教事业版（以下简称“康轩版”）教材及新加坡singlee版（以下简称“singlee版”）“负负得正”内容的设计进行梳理及分析.

1 三个版本的教材梳理

“人教版”教材先根据多组正数和0的乘法运算，得出正负相乘和负正相乘的运算规则;再从数值和绝对值两方面入手，归纳出正数×正数，正数×负数，负数×正数的运算法则，具体教材呈现如下：①3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0，学生讨论，寻找规律.若此规律在引入符号后仍然成立，则有3×（-1）= ？ ，3×（-2）= ？ ，3×（-3）= ？ .②3×3=9，2×3=6，1×3=3，0×3=0找规律并思考，若该规律引入符号后仍然成立，则：（-1）×3= ？ ，（-2）×3= ？ ，（-3）×3= ？ ，根据上述两组的计算找到规律，再把规律推广到负数算式上，得到正负数相乘的计算法则.同理，找规律，推广规律，得到负负相乘的运算法则，具体呈现如下：（-3）×3= ？ ，（-3）×2= ？ ，（-3）×1= ？ ，（-3）×0= ？ .根据上述规律，则有：（-3）×（-1）= ？ ，（-3）×（-2）= ？ ，（-3）×（-3）= ？ ，进而引导学生通过一系列算式归纳总结出结论.

“康轩版”教材通过引入实际生活情境，先引出正正相乘，负正相乘，正负相乘的规则，再提出负负得正的规律，最后引导学生观察四个情境解答中性质符号的变化，得出整数的乘法运算法则：同号的两整数相乘，其结果为正整数;异号的两整数相乘，其结果为负整数.具体教材呈现如下：①正整数×正整数：如果水库的水位每天上升4公分，那么两天后的水位比现在的水位高或低多少公分？②负整数×正整数：如果水库的水位每天下降4公分，那么两天后的水位比现在的水位高或低多少公分？③正整数×负整数：如果水库的水位每天上升4公分，那么2天前的水位比现在的水位高或低多少公分？④负整数×负整数：如果水库的水位每天下降4公分，那么两天前的水位比现在的水位高或低多少公分？如果上升的量用正数表示，那么下降的量就可用负数表示，则①4×2=8;②（-4）×2=-（4×2）=-8;③4×（-2）=-（4×2）=-8;④（-4）×（-2）=4×2=8.继而从四个生活情境，四个算式中找寻规律，循循善诱，最后得出整数乘法法则.

“singlee版”教材展示四个实例：“正数×正数”“正数×负数”“负数×正数”“负数×负数”.在引入运算规律时，“singlee版”没有运用实际生活情境，而是通过代数圆盘的展示来实现的.该版本以算式的计算引入，同时又暗示相反数的规律所在，具体教材呈现如下：①2×3用代数圆盘的模型可以表示为2组3;②2×（-3）用代数圆盘的模型可以表示为2组-3;③（-1）×3可以理解为1组3的负数，在代数圆盘中表示为“翻转1组3”，同样的，（-2）×3可以理解为“2组3的负数”，表示为“翻转2组3”;④（-1）×（-3）理解为“1组（-3）的相反数”，表示为“翻转1组（-3）”.在该版本的教学中，可以理解为只有“1组3”和“1组-3”的情况，剩下两种可以用代数圆盘的“翻转”来实现.基于学生的认知水平，降低了学生的理解难度.由代数圆盘的展示，帮助学生理解总结规律，“翻转”这一词也隐晦的表达了相反数的概念，给教师留下了自由发挥的空间.

通过上述三个版本对“有理数乘法内容的编排”可以看出，有理数乘法教学的方式有两种形式：一种是探寻数学规律，揭示运算规律，观察类比从而揭示有理数乘法的运算规律;另一种是引入实际情境，如“康轩版”中的水位线问题.关于数学规律的探索，不同的教材呈现方式各不相同.“singlee版”教材通过四个实例，结合代数圆盘来揭示规律，优点是让学生能够借助辅助工具更好地理解规律.而“人教版”教材则通过几组算式引导学生发现运算规律，其优点在于，通过算式和符号的改变引导学生探索规律，一方面锻炼了学生类比分析的数学思维能力，同时也有助于学生“数感”与“符号意识”的建立.

有理数乘法属于初中“数与代数”学习的内容.《中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科教学）》中对教学设计提出了三级水平，其中三级水平的要求分别是：“数与符号”内容的理解、学生关于“数与符号”的理解与困惑、“数与符号”的教学设计.下面，就三版教材的不同设计，结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》与《指导标准》给出评析.

“人教版”教材曾经尝试着用“蜗牛爬行”的情境教学，后来由于此情境涉及的时空因素，对学生的抽象思维能力要求又比较高，反而会对学生学习造成干扰.所以舍弃了“匀速直线运动的情境教学模式”，选择了“从正数×正数出发的归纳推理模式”.在上述说明中，“负负得正”是不可证明的.因此，教师在运用教材的过程中，只需让学生理解这种法则是合理的，这是一种规定性的结果即可.“人教版”教材相比其他的两版，更加直观，不依附于情境，而是开门见山，直接让学生找规律，类比推广.同时，对学生的逻辑思维要求又偏高了一些.《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了六大數学核心素养，其中之一是数学运算.课程标准要求学生在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题[1].“人教版”的“负负得正”教材设计刚好体现了这一点.它利用归纳递减规则推广规律，也给教师留下了更多的发挥空间，教师在教学设计时可以自由发挥，研究如何让学生更加深层次思考抛出的问题并发掘规律，引导学生去体会“负负得正”规则的合理性等.此外，通过运算律的类比和推广，也可以提升学生的知识迁移能力，进而达到培养学生数学核心素养的目的.

“负负得正”的内容对于学生而言理解困难，其根本原因在于，在形式化的运算中，它是不可能被证明的.数学家F·克莱因也曾说：“不要试图强硬地去证明一个并不成立的证明.而是用简单的例子让学生相信，或是让他们自己弄清楚：从实际情况来看，承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法，而其他任何一种约定，总要强迫我们考虑许多特例.”[2]“康轩版”教材就是通过引入实际情境，帮助学生探索“负负得正”的数学规律.其数学情境的提出也符合学生的认知规律，通过四个循序渐进的情境，学生自己列出算式，确定规律，总结归纳.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”[3].同时，学生数感的建立也依赖于现实的生活情境.“康轩版”教材正是如此，教材中的“水位线升降”问题与M·克莱因解决“负负得正”问题的“负债模型”有异曲同工之妙.虽然该情境类教学不符合数学的逻辑严谨性，但也切实可行地帮助了学生理解负数的意义及有理数乘法法则[4].

“singlee版”教材的特点在于其引入了一个“代数圆盘”的模型，借助“代数圓盘”的模型，帮助学生归纳总结负数及乘法运算的法则与规律.教材呈现的基本思路与“人教版”类似，都是先抛出问题，再给出规则合理性解释，最后归纳运算规则.但是该版本多了一个“代数圆盘”的模型，可以帮助学生进行运算，通过“圆盘”的“翻转”来隐喻“相反数”的概念，也给学生对于负号的符号含义理解和认识搭建了一个“脚手架”.与“人教版”和“康轩版”不同，“singlee版”通过“代数圆盘”模型替代了符号的运算，也借助模型让学生对于难以证明的“负数×负数=正数”的规则理解地更透彻.正负运算符号是抽象的，“代数圆盘”的模型把抽象的符号形象化，突破了学生的理解难点与盲区，教师在课堂教学中也得到了更多发挥的余地.《指导标准》中提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”.“singlee版”教材借助模型进行符号教学，模型展示后，又引导学生抽象出符号进行总结提升，培养了学生模型抽象与模型解决的能力.

2 几点启示

有理数乘法中关于“负负得正”的这部分教材内容，将“数感”与“符号意识”的教学贯穿始终.教师以具体的情境作为发展核心素养的切入点，帮助学生形成固定的数学思维，让学生在潜意识中形成生活情境“数学化”的操作，巧妙地利用数学课本中的例题，从学生已有的知识体系中确定知识生长点，运用有效且思维层级递增的情境帮助学生进行思考，提升学生在数学课堂中的主体作用.增强学生数学表达和数学符号思维的灵活性，让学生多经历有关数的活动过程，进行数感经验的积累.进而引领学生更好的把握数学的内核，有益于培养数学思维能力与数学核心素养.

“singlee版”教材和“康轩版”教材都有对于数学模型的运用.“康轩版”教材为“水位线升降的现实模型”，“singlee版”教材是“代数圆盘”的图象模型.在教学过程中，合理地利用模型和工具不仅可以让课堂变得丰富多彩，也能够培养学生对于数学模型的敏感度，为以后函数的学习做好铺垫.对于“康轩版”教材的情境，教师在教学中可直接采用，也可以进行适当的拓展延伸，如“负债模型”等与数学文化相关的内容，拓宽学生的视野，提升学生数学学习兴趣.

参考文献

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.[2]孙丹丹，胡锡娥.有理数乘法教科书设计及教学分析——基于有理数乘法的历史[J].中学数学月刊，2020（10）：15-18.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：8.[4]张静.“为什么‘负负得正”学习探究的课例研讨[J].上海中学数学，2020（Z2）：40-43.

作者简介 肖婧钰（1998—），女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教学论.

郑绪妹（1996—），女，安徽蚌埠人，硕士研究生，研究方向：数学教学论.

王家正（1964—），男，安徽芜湖人，教授，硕士生导师，研究方向：中学数学教学论.