医学专业的高等数学教学经验探索

罗敏敏 张明慧

摘  要：通过医科高等数学课程在教学过程中对课程内容、教学方式及强化应用等方面的一些探索，探讨如何使该门课程更具专业趋向性，提高同学们的学习兴趣，并形成有效的应用概念。

关键词：高等数学;医学;教学改革

中图分类号：G642 文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2021）35-0067-04

Abstract： Through the exploration of course content， teaching methods and strengthening application in the teaching process of medical advanced mathematics， this paper discusses how to make the course more professional， improve students' learning interest and form effective application concepts.

Keywords： advanced mathematics; medicine; teaching reform

在高等教育课程体系中，高等数学毫无疑问是十分重要的基础课程[1]，也是普遍反应比较难的科目。“好高一棵树（数），挂了很多人”等用语在同学们当中年年流传，在未开始学习之前，已经给同学们带来了一定的心理压力。对医科院校的医学相关专业学生而言，因为医学专业本身的基础课和专业课已经十分繁重，所以实际上也增加了一定的学习压力。“我将来做一名医生，会诊断、能治病，不就可以了吗？为什么还要学习数学？”等抱怨并不鲜见。因此，在医科高等数学这门课程中，如何让医科学生理解并接受学习高等数学的必要性，激发大家的学习兴趣，提供便捷多样化的学习环境，学习到更有针对性的可用知识，最终实现医科高等数学这门课程的教学目的，非常重要。我们在多年的教学实践中，总结了一些经验，希望能对这门课程的教学有所帮助。

一、课程内容

对于工科专业，高等数学课时设置通常在200学时左右，贯穿整个大一学年，内容十分丰富，这些内容也是后继各项课程的基础，非常重要，不可或缺[2-3]。而对于医学专业，高等数学的学习更多的是作为一个工具以及建立科学的思维为目的[4]，且课时通常比较少，只有几十个学时。如何在这相对有限的学时中，安排合理教学内容，实现教学目的，是我们首先要考虑的问题[5]。

函数是高等数学的研究对象，也是同学们在中学学习中非常熟悉的内容，以函数作为医科高等数学的开篇内容，既可以让大家通过熟悉的内容轻松进入高等数学的大门，减少畏难情绪;又可以通过这个内容的学习传达一个理念，那就是：在医科高等数学的学习中，同学们需要更侧重于基本概念、基本公式和基本理论的掌握及使用。因为如果问起大家学过什么函数，大家都可以轻易回答，而如果问大家究竟什么是函数，或者我们说起函数究竟是在说什么，却很少有人能给出准确答案。我们通过“函数有什么到函数是什么”这一过程，让大家明白基本概念的重要性，这也是哲学中外延与内涵的关系。只有在真正明白你的研究对象是什么的基础之上，才谈得上开展正确的学习和研究，这一点不仅是对于医科高等数学这门课程，对于其他所有课程亦是如此。

在明确研究对象函数的基础上，我们进行极限的学习。极限是整个高等数学的基础，其重要性不言而喻。有部分同学在中学已经接触过极限，也能进行相应的计算。而在大学的学习中，同学们不光要知其然，更要知其所以然，即，对极限思想的产生有所了解，充分理解极限是什么，然后在此基础之上，进一步学习极限的性质与计算等应用部分，这样大家在使用极限时，才能知道自己究竟求得的是什么;在以后的实际应用场景，才能正确选择是否使用极限相关工具去得到希望的结果。函数的连续性跟随极限的学习相应给出，这是一个大家在中学经常看见的假设，同样，通过学习让大家真正了解，我们给出这个假设，究竟是给出了什么已知条件;什么样的函数，才能符合这个条件。“连续性”不再是字面上的三个字，而是看到它就能反应出其对应的实际意义。这是我们希望在极限和连续这部分同学掌握的程度。

在深入理解了函数、极限和连续性基本概念后，进入高等数学的核心内容——微分学和积分学（含一元函数积分学和多元函数积分学），以及相应的最终应用——微分方程基础。在十六、十七世纪，微积分学从建立到迅速发展，取得了惊人的成就，推动了现代科学的发展。其中微分学的部分成果，例如导数，其结论已在中学时代为同学们熟知。但是，究竟什么是导数？我们熟练使用的导数公式从何而来？我们使用导数的时候，其结论在具体问题中究竟有什么意义？在什么情况下，我们应该使用导数这个工具？解决了这些问题，同学们才能真正将理论知识运用到以后的实际问题中，而不仅仅是做计算题。因此，我们在制定具体授课内容时，增加了对基本导数公式和导数运算法则的推导过程的讲解，让同学们明白，我们所使用的每一个公式的来龙去脉，也让大家知道，这些都是我们之前学习的极限等基本知识的运用，并非凭空得来，在理解的基础上，即使对公式记忆不清楚，同学们也可以通过自行推导，得到正确的表达。积分学是一个全新知识领域，然而，作为微分学的逆问题，在充分理解微分相关知识的基础之上，同学们接受起来，并不如想象中困难，我们对医学生所要求的，仍然是基本概念、基本理论和基本公式的掌握及运用。微分方程在很多现代学科領域，如自动控制、电子学装置的设计、化学反应过程稳定性的研究等，都有着重要的应用。伴随着数学向化学和生物医学的渗透，微分方程逐步发展成为医学研究的有力工具。因此，在建立起微积分的知识体系以后，我们引入微分方程的基础内容，就好像解方程的思维方法极大地拓展了顺式计算的解决问题思维一样，微分方程的引入，真正为现实问题的解答提供了更有力的手段。

我们从极限到微积分，最终落脚于微分方程的基础应用，通过以上的教学内容选择，在有限的课程学时里，实现让同学们了解高等数学，并让数学成为一门可使用的工具这一教学目的。

二、教学方式

传统的高等数学教学方式基本上是线下授课、习题练习及答疑等等，使用新技术、新方法和新平台，丰富教学途径和资源，增加学习过程和形成性成绩对考核的影响，探索更好的教学改革方式是提升教学质量的重点。疫情期间，线上教学在各个方面取得了长足的推进。在学校的大力支持之下，我们集合教学团队的力量，使用智慧树平台，成功开启了医科高等数学线上線下混合教学模式，通过线上视频、线上章节练习和测试、热点问答讨论等手段，结合线下课堂教学，极大地丰富了课程的有效学习途径[6-9]。

大学的教学氛围和生活相对中学来说，更需要学生本身的自律，即使是线下课堂授课，每一名学生的掌握程度不一致，对授课内容的理解也有差距，对于不懂的地方，课后可以自学，想听老师系统地再讲解很难。我们精心选择了高等数学的重要知识点，录制了四十多个视频，这些视频覆盖我们所选的教学内容，包含极限，连续，微分，积分到微分方程以及相关应用，视频中所使用的PPT课件内容与线下授课内容互补，不重复同时也上下衔接。每个长度在8～15分钟左右，既可作为课前预习，也可供同学们在课后复习使用，极大地方便了同学们的学习。线上教学和线下授课，两种方式各有明确的优缺点。线下授课，老师可以跟同学们近距离交流，授课时的互动及课堂氛围是授课效果的一个即时指针，老师可以根据同学们的反馈和响应及时调整授课进度，对于掌握得比较好的知识点，不用过多讲解，而是可以考虑拓宽或者更加深入;对于同学们理解起来较难的知识点，可以适当放慢进度，补充相应例题。不过无论怎样调整，在同一个班级中，学习完成度肯定都会有差别，线下授课无法做到让所有人都齐头并进，也不可能完全实现让所有同学都掌握了相关知识点以后在继续向下一步推进，所以始终会有部分同学不能在课堂上完全理解。而在大学学习中，老师与同学们课后答疑时间并不是那么容易得到满足，线下授课时，在这方面有所不足。而线上教学恰好是相对的，老师们录制视频时，并没有直接面对学生，讲解时只是按照既定的设计，完成对应内容的讲授，是否讲解到位，学生的理解掌握程度完全未知;但是线上资源的优点也非常明确，同学们可以利用手机电脑等设备，在任何方便和需要的时候，反复观看学习视频，这一点在大学的教学环境中，非常有帮助，是线下授课的有力补充。

不过使用视频的方式进行自主学习，需要关注线上线下的衔接。我们开展了线上的自主学习，但是整体的课时并没有增加，也就是线下授课的时间实际减少了。对于授课老师来说，如果完全在线下授课时，在继续把线上视频的内容包含进来讲解，时间会非常紧张，常常会产生授课节奏过快，反而影响同学们整体的理解;但是如果完全跳过线上视频的内容，一是这些都是重点内容，跳过也会影响授课的连贯性，二是也不利于了解同学们线上学习的效果。所以如何有效地衔接线上线下学习，以及做好线上学习的效率和效果跟踪非常重要，而不是简单地放上视频，布置学习任务即可。对于这一点，我们目前采用视频浏览时间等后台技术手段，使其成为形成性成绩的一部分，首先从浏览量上进行要求，更重要的是，在课堂授课中通过跟同学们的交流和课后的练习来动态响应和调整授课，对教师的要求也有所提高。

通过智慧树平台，我们建立了题库，增加了线上课前课后章节练习和小测试，这些线上练习和测试，一方面给同学们提供了随时检测自身学习程度的手段，方便大家对于薄弱部分查漏补缺有的放矢地进行学习;另一方面每一次练习和测试的成绩也是最终成绩的一部分，消弱期末考试的随机性，让成绩尽可能更多地反映同学们的日常学习状态。在线上平台上，还使用热点讨论版块，鼓励同学们提出自己不懂的问题，回答其他同学的疑难问题，其中有效有意义的问答都会进入最终成绩，教师会对好的回答点赞，对比较难的问题也会给出相应解答，虽然在一定程度上增加了工作量，但也极大地调动了大家自主学习的兴趣和积极性，不管是线上线下，都让同学们感觉到更多的关注，得到有效的辅助。

通过线上平台结合线下教学形成医科高等数学的混合教学，只是我们在教学方式改革中的一个初步尝试，取得了一定的效果，但也反映出部分问题，相信随着进一步的探索与尝试，还可以有更多的提高。

三、强化应用

授课内容是框架，混合教学是途径，如何让同学们从机械的解题转向在实际问题中运用数学工具，我们在授课过程中将应用贯穿到了整个教学的始终。

例如，在第一次课，我们首先希望建立医学生也需要数学这一思想，大道理好讲，但不容易产生切实联系[10]。我们以最常见的医生开药后的医嘱“一天服几次药，每次吃几粒”引入，这样简单的一句话，实际上关系到生物的消化吸收过程，药物代谢动力学等一系列科学研究和试验，在收集基础数据的基础上，才能通过微分方程得出每种药物要维持有效浓度，需要以什么频次多大剂量服用。现代医学和生命科学正处于飞速发展的时期，一个好的医生绝对不是仅仅学习已有医案经验和处方就足以，掌握其背后的方法和原理，才能更好地推动医学的发展，所以，对医学生而言，数学是非常有用而且必要的工具。

又如，肿瘤的生长和生存期判定。通常医生会给出“三个月”甚至“年”等时间单位，我们也接受现目前达不到更精确的愈后估计，因为对肿瘤的方方面面研究都还任重道远。肿瘤生长的理论有很多，比如：Logistic模型的运用，将肿瘤细胞和人体看作一个生物种群在环境中的增殖，通过个体状况及当前肿瘤体积等等已知条件带入Logistic模型，解相应微分方程可以得到人体对肿瘤最大的容纳量等信息，对病情做一定的预估。同样，肿瘤治疗中的化疗，肿瘤在什么位置，体积多大，给予什么剂量以什么频次，都不止是简单的经验值，而是背后有相应的理论及计算。有研究人员指出：最令人着迷的事情就是把当前存在的数学建模技术应用于开发抵御癌症的疗法当中，用数学“算死”癌细胞[11]。这也是我们确定要将微分方程包含到教学内容的原因。牛顿研究天体力学和机械动力学的时候，利用微分方程得到了行星运动的规律。法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。在现今云计算大数据的环境背景下，各行各业的实际应用更是都离不开微分方程，目前最贴近现实的应用就是疫情下的传染模型，我们结合新冠肺炎疫情抗击战实际问题，从社会环境人群来分，建模，相轨线及分析，从理论到实际数据给大家建立一个科学预防传染病蔓延手段的理性认识，也让医学专业的同学们切身认识到数学作为一项强大的工具在医学生命学科的作用。

在整个课程当中，我们都尽可能的将纯粹的理论知识点与实际医学应用场景和问题相结合，三角形角度和面积的极值问题可以转化为手术室无影灯的亮度和照射面积等等，不再一一列举，让同学们在学习高等数学知识的同时，了解到数学在身边无处不在，又是如何在具体问题中给出科学的解答，尽力建立起从理論到实际运用的通路[12-15]。

四、结束语

医科高等数学是医学专业的一门基础课，我们以高等数学在医学专业领域的最终应用为目的，选择极限、连续、微积分和微分方程作为授课内容，结合专业和时事分析，努力将高等数学与医学专业发展及生命科学相关应用相联系，真正做到使高等数学成为同学们实际可使用的工具。同时，利用线上线下丰富的教学手段和过程形成性成绩评价，对学生的学习情况进行综合评价，对实现高校本科生培养目标具有积极的作用和影响。通过医科高等数学的学习，加强了同学们理论知识与实际应用的联系，建立了科学的思维，为社会培养更多合格的优秀人才。

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