建模，让数学学习走向深度

【摘要】数学建模指向于模型思想和建模能力培养的全过程，通过“基于实际问题→建立数学模型→求解数学模型→应用数学模型”，帮助学生逐步形成和提高数学核心素养。文章阐述了建模教学的意义，结合课例对展开建模教学的策略进行了论述，以唤醒教师的数学建模教学意识，培养学生的数学建模能力。

【关键词】数学建模;数学模型;建模教学

【基金项目】本文为江苏省重点资助课题“小学生数学建模能力培养的教学课例研究”（C-a/2020/02/01）的阶段性成果。

作者简介：杨晔（1986.10-），女，江苏省常州市金坛区唐王小学，中小学高级教师。

模型思想是一种重要的数学思想，数学建模能力是一种重要的数学学习能力，对学生数学思维的培养有重要的作用，它们是理论与实践的相互表达。在小学阶段，建立模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，培养建模能力有助于改进学生的学习方式，使学生主动学习，学会学习。

一、建模教学的现状分析

史宁中教授强调：“数学教育承载着落实立德树人的根本任务，会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”数学模型是数学语言的一种直观表达，具有广泛性。为了解本区域“数学建模”的研究情况，笔者进行了如下调查，形成了一些基本认识。

（一）问卷调查研究

借助问卷星调查小程序，笔者编撰了较为简单的问题进行在线调查。问题呈现如下：

（1）你了解数学建模吗？

□了解 □略知 □未懂

（2）课堂上你尝试过从数学建模的角度进行诠释吗？

□经常 □偶尔 □从不

（3）你平时关注有关数学建模的文章吗？

□经常关注  □偶尔关注    □从不关注

（4）你写过数学建模的论文吗？

□写过  □从未写过

（5）你能列举些可以从建模角度来诠释的课堂教学内容吗？

该问卷是从浅层面了解本区域小学数学教师对“建模”的认识情况，共收到118位教师的调查数据。从反馈来看，了解的占76.3%，略知的占22.4%，未懂的占1.3%。这就说明大部分教师通过课标的学习和核心素养的落实，对建模并不陌生。但奇怪的是，从数学建模角度进行课堂诠释的只占12.5%，偶尔的为35.8%，51.7%的教师从未如此处理。同样，在（3）（4）两个问题中也表现出教师对建模文章的冷淡性，经常关注和写过的分别只有29.3%和8.4%，这是什么原因呢？既然大家对建模都了解，那为什么进行这方面思考的却很少呢？从大家列举的建模角度诠释的课堂教学内容来看，大家抓住了课标中“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”这句话，列举的都是能够形成公式的相关问题，如加减乘除的运算、周长面积的计算等，内容较为丰富。通过这份问卷我们可以看到，教师对建模的价值有一定的了解，但真正在课堂上如何凸显建模的意义和基于建模的视角进行反思不强烈。

（二）个案研究分析

由于工作原因，笔者接触到很多年轻教师的演讲视频，通过对78位教师关于“三角形的三边关系”的演讲视频进行分析发现，在评价中提到“建模”的只有2位，更多的是从教师的能力、学生的学法、问题的解决以及实验的方式等方面进行分析。数学建模在这节课中非常明显，实验的方法等都是建立模型、求解模型的方式，教师评价中不谈及，主要原因在于模型思想还未植根于教师的教育教学理念中，建模的研究在本区域还处于低潮。

結合以上调查研究发现，目前建模教学存在如下问题。

1.认为建模指向于结果的运用。教师在培养建模能力的过程中，因为对其意义理解不充分，过于注重模型的运用，从而形成填鸭式训练。这种形式多见于计算类、公式运用类教学，教师直接通过告知模型让学生套用解决一类问题。这样能在短时间内达到掌握的效果，但学生对于模型的理解有所欠缺，导致学习过于机械化，学生感受的是数学的精密美，却丢失了自我探索的乐趣。数学课堂应该注重过程，帮助学生经历再创造，才能有助于核心素养的落实和深度学习的发生。

2.模型结构的逻辑理解不强烈。数学是逻辑性较强的学科，很多知识的模型随着学生能力的提高会不断地完善和丰富。教师在教学时应该关注知识的逻辑体系，适时地渗透，帮助学生对模型的形成有更为丰富的认识。如在教学四年级数学“确定位置”时，教师应该考虑到低年级的行、列确定位置过渡和将来的三维空间确定位置的延伸，帮助学生形成初步的“线→面→体”的模型建构过程。部分教师在教学中忽略了这一点，没有意识到模型结构的重要性。

二、建模教学的实施策略

基于以上的研究，笔者开启了数学建模的研究之路，通过对教材的解读、对内容的理解以及对课堂的诠释，提出了如下实施策略。

（一）立足教材，把握知识生长逻辑，有准备地步入课堂

教起于研，在对教材没有理解到位的基础上展开教学，犹如置身迷雾之中，无法辨别方向。对教学内容的研读，必须从两个维度出发：一个是从内容体系中，立足知识本位，索前与探后，了解内容在整个知识体系中的逻辑地位;另一个是基于教材进行思考，对例题深度把握，确定诠释方法。对于小学中模型思想和建模能力培养突出的内容，需要立足这两点进行思考，才可能把握好模型知识的生长逻辑，有准备地步入课堂。

如在苏教版三年级下册“长方形和正方形的面积”教学中，学生通过度量操作逐步抽象建立面积计算模型，在运用中深化和掌握。教师在备课时可以从以下几方面进行研读。

从内容体系来看，学生在之前已经学习过长度单位，并掌握了度量线段长度的方法。对线段长度的度量就是从一个维度进行单位的累加，这与面积计算的本质是一致的。面积计算是从两个维度累积单位，以此类推，六年级学习长方体和正方体的体积时，就是从三个维度进行单位累加的计算。了解这部分内容所处的位置，教师在教学中就会从“唤醒经验”的角度帮助学生主动进行探究，也会在课尾进行适当的渗透，站在知识的上位进行教学，助推学生模型思想的逐步形成。

从教材安排来看，本课时教材共安排了三道例题，这三道例题是让学生从具体操作逐步到抽象概括的过程。教师在研读时要清晰每道例题的价值，不可缺位，更不可越位。学生通过摆1平方厘米的小正方形，初步感受长方形的面积与小正方形的个数有关;再通过对小正方形的度量来进行验证;最后通过心中的摆，在三个维度的深化中形成长方形的面积公式，即建立模型。正方形面积的推导既是长方形面积计算模型的应用，又是深度理解模型的过程。看似简单的面积计算公式，要让学生真正地理解和掌握，不可定于“教”，而应助于“学”。

数学建模能将学生的思维过程用直观的语言进行归纳总结，外化于行。同时，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他们的数学思维能力、数学观念及意识。教师在理解建模培养的典型素材时，必须站在更高的高度来理解，才能精确地掌控课堂，引导学生向深度学习迈进。

（二）基于学生，关注建模的全过程，有结构地组织教学

数学作为一个解决问题的工具，已成为时代文化的一个重要组成部分，一些数学概念、语言已渗透到日常生活中，一些数学原理已成为人们必备的知识。为体现数学模型的价值，我们应该把从生活中抽象的数学问题，通过数学课堂的建构和求解再运用到生活中去，让学生经历完整的建模过程。

1.立足问题，指明教学方向

没有问题指向就没有课堂的教学研究，学生的数学学习是在不断的问题解决中掌握知识，形成技能，升华思想，丰富经验。好的问题能够激发学生的探索欲望，促进学习的深入，利于学生对数学本质的理解。

例如五年级下册“圆的面积”，教学的核心问题就是“怎样计算圆的面积？”。因为这个核心问题，才有下面的问题探究，学生在一系列的探究和推理中形成圆面积的计算模型。

弗赖登塔尔认为：“数学化的对象就是学生熟悉的现实，而不是成人熟悉的现实。”在小学阶段，低年级的数学问题趋向于情境化，利用形象的图片让学生发现数学问题，抽象出数学模型，激发学生学习的欲望;到了中高年级，更加趋向于具体的生活问题和科学的解决诉求，与学生的心智发展切合，因而很好地为建立数学模型做铺垫。在教学中，教师要善于捕捉教材情境中蕴含的数学信息，同时尽可能抓住生活中可利用的素材作原型，生成問题进行教学。这样不仅可以拉近数学与生活之间的距离，而且可以为应用数学模型、体现数学价值做支撑。

2.抽象概况，搭建模型结构

从具体问题抽象为数学模型，是数学建模的重要环节。当剥去无关因素，只留下问题本质，数学课堂的研究之旅就开启了。徐利治教授认为，数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。在帮助学生建立数学模型的过程中，教师应该循序渐进，不断完善，从而获得模型的整体结构。

如六年级下册“圆锥的体积”的教学，学生通过实验单对圆锥的体积进行研究，分享时呈现两类资源。

资源1：学生使用的实验工具是水、等底等高的圆柱和圆锥;实验的过程是把圆锥装满水，然后倒入圆柱中，一共倒了3次;得出结论：圆柱的体积是这个等底等高圆锥体积的3倍。

资源2：学生选择的实验工具是水、等底等高的圆柱和圆锥;实验的过程是把圆柱装满水，然后倒入圆锥中，同样倒了3次;结论是：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3。

学生介绍自己的实验操作过程，在清晰的表达中获得圆锥体积的计算模型。

对于同一知识，学生所形成的模型结构并不是单一的。教师要善于引导学生从不同的角度建构属于自己的数学理解，通过问题情境和学习素材，放手让学生联系自己已有的学习经验，尝试建立不同的数学模型，在讨论和对比中不断地优化，让方法多样化和方法优化成为学生模型建构的智慧桥梁。

3.提炼固化，探索模型之解

对于所建立的数学模型，我们需要通过严谨的态度去进行求证，确定结果及其结果的意义。数学是一门精确的学科，其美就在于它的科学性和确定性。在教学中，教师要给学生提供探究的空间，让学生经历模型求解的过程。这不仅是数学教育的孜孜追求，更是对数学学科的一种尊重。面对数学问题中的数量关系和变化规律，适当地放手有助于学生形成模型思想，增强其学习数学的兴趣和应用意识。

例如苏教版教材六下“圆柱的体积”教学，学生通过长方体和正方体的体积计算已经获得对等底等高圆柱体积计算的猜想，接着通过转化，在演绎推理中建立了圆柱和转化后的长方体的对应关系，从而得出圆柱体积的计算公式。

这样的求解过程是对知识的提炼和固化，更是对原有知识经验的提炼和升华。学生在圆的面积计算中已经获得求解这类模型的经验，再次运用，不仅是经历，更是唤醒，除了在建模能力上获得提升外，在经验的积累上也更加丰富。在教学中，很多规律探究的问题重点就是模型的验证，学生在建立模型的猜想后通过推理、实验、举例等方法求解模型，达成对知识的理解和掌握。

4.应用理解，提高建模能力

吴仲和博士指出，学数学必须懂数学。在教学中，我们可以从知晓、解释和应用三个方面促进对知识的理解。建立数学模型可以达成对数学知识的解释，而模型的应用是对数学知识的一种认可和延伸。在这一过程中，学生不仅达成对知识的巩固和消化，而且懂得数学建模的意义和价值所在。

如在教学苏教版四年级下册画示意图解决问题时，当学生通过图形建立了长增加求原来面积的模型时，教师就可以启发学生：还可以怎样变化，使得面积也发生变化？这时候学生通过长增加想到宽增加，再到长和宽都增加使得面积增加，而面积增加对应的则为面积减少，长、宽不仅可以同时增加和减少，甚至还能一个增加一个减少……在这样的变化中，学生不断地调整认知，挑战自我思维，充分提高了数学能力。

正如开普勒所言：“数学就是研究千变万化中不变的东西。”数学问题千变万化，但数学模型始终如一，以不变应万变，这就是数学的魅力所在。部分数学知识和数学规律，通过问题抽象和推理出数学模型后，它的应用就如神秘的海洋，吸引你不断深入。

总之，基于模型思想的研究是数学教育的一种应然追求，帮助学生提高建模能力，体会数学的生活性、应用性、科学性和工具性，站在核心素养培育的高度，以深度表达促进深度学习，为客观世界与数学科学之间搭建智慧的桥梁，创造数学理性之美。

【参考文献】

王凌.自主建构 促进理解[J].小学数学教育，2019（24）：43-44.

史宁中.数学思想概论[M].长春：东北师范大学出版社，2015.