数图结合 殊途同归

朱传华

摘 要：图像法是一种分析处理数据、研究物理问题的重要方法，图像能够直观、形象地描绘物理规律。在解决初中物理习题时，准确掌握图像中各个物理量的意义，充分利用图像中所传递的信息，理解函数图像中的物理意义，将函数图像、图形和物理知识结合，通过主动构建图像或延长原图像，可以让问题得到比较巧妙地解决。

关键词：一次函数;数图结合;图像法;相似三角形

图像法是一种分析处理数据、研究物理问题的重要方法，图像能够直观、形象地描绘物理规律。充分利用图像中所传递的信息，理解函数图像中关键点的物理意义，将函数图像、几何图形和物理知识结合，可以帮我们巧妙地解决一些物理问题，达到化繁为简的目的。初中阶段学生在数学课程中学习了一次函数和二次函数，这些函数在我们初中物理的学习中都有应用，下面以一次函数为例谈谈函数图像在初中物理解题中的应用。

一、深入理解题意，主动创造图像

例1：为测定黄河水的含沙量，某校课外活动小组取了10dm3的黄河水，称得其质量是10.18 kg。已知沙子的密度ρ沙=2.5×103kg/m3，求黄河水的含沙量（每立方米黄河水中含沙多少千克）。

本题是密度练习中的常见题，常规的解析方法是由10dm3黄河水的质量是10.18 kg，可知1m3黄河水的质量是1018 kg，根据题意可列出方程组：

图像法：将黄河水看成水和沙的混合物，与同体积的水对比，对照已知条件可知1m3黄河水和1m3水的质量差异在于与黄河水中沙子的质量比体积相同的水的质量大，其余水的部分质量、体积都相同。

根据m= ρV可以得出，水和沙子体积相同时，m与ρ成正比，比值为V，作出m-ρ图像，由正比例函数图像的性质可知，图像斜率，由此可以计算m沙= ρ沙V沙=2.5×103kg/m3×0.012m3=30 kg。

本题对初二学生来说是一道中等难度的题，用常规的列方程或方程组的方法就能解决，但在理解题意的基础上，用画示意图和正比函数图像结合的方法能够更快地解决问题。

二、反比变为正比，灵活运用图像

例2.（2014年乌鲁木齐中考）阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9cm3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5cm3 和96.5cm3，则王冠中银的质量和金的质量之比为（    ）？

A.1：8    B.1：9      C.1：10      D.1：11

有老师认为本题需用到金和银的密度作为已知条件，才能用常规方法解题。[1]但其实题目已知条件中并未给出金和银的密度，仍然可以用常规方法解决，解题思路如下：设王冠中金的质量为m金，银的质量为m银，则m王冠=m金+m银，根据条件给出的三个体积可以列出：

这样本题无须金和银的密度作为已知条件就可以求出王冠中银的质量和金的质量之比。

图像法：本题中三种王冠质量相同，因为组成不同即密度不同而使得体积不同，分析可知，合金王冠比质量相同的纯金王冠体积大的部分是王冠中银的体积（设为V1）比质量相同的金的体积（设为V3）大的部分，合金王冠比质量相同的纯银王冠体积小的部分是金（设为V2）比质量相同的银的体积（设为V4）小的部分，V1与V3、V4与V2的体积差异是质量相同而金、银密度不同造成的，根据可知，质量相同时，V与ρ成反比，即V与成正比，比例系数即为m。由此可以根据分析分别作出王冠中银的质量m银和金的质量m金的V—的图像。

在本题中，常规解法思路较为复杂，找出三种王冠的体积差异，再将原本V与ρ成反比的关系转变成V与成正比，分别找出m银、m金与的关系，借助一次函数图像解出m银与m金的比值也是一种不错的方法。

三、巧用一次函数，构造相似图形

例3.（2016年苏州中考）如图1（a）甲所示，电源电压保持不变，闭合开关S，滑动变器的滑片P从b点滑到a点的过程中，两电压表示数随电流表示数变化的图线如图1（a）乙所示，下列叙述正确的是（ ）？

A.電源电压为14V。

B.图乙中dc是表示电压表V2的示数随电流表示数变化的图线。

C.滑片从b点滑到a点的过程中，电路消耗的总功率最大值为45W。

D.滑片在a点时，10s内电阻R消耗的电能为10J。

本题常规解法是利用图像中的C、D、E三个关键点的数据列方程组解出电源电压U和定值电阻R的阻值，然后计算出其他相应的结果，解题过程本文不再赘述。本题也可以充分利用图像信息，结合图形来解题。如图1（b）所示，分析电路图可知CE是R2的电压U2-I图像，是正比函数，可知R2=2Ω;CD是R1的电压-电流（U1-I）图像，可以写出U1关于I的表达式U1=U-I（R+R2），将此图像延长至纵轴，得到交点坐标为（0A，U0），根据函数表达式可知，当I=0A时，U1=U即为电源电压。同样可以将函数图像延长至横轴，得到交点坐标为（I0，0V），根据函数表达式可知，当U1=0V时，I=;对照电路图分析，当R1接入电路的阻值为0Ω时，U1=0V，电路中只有R和R2，电流表的示数就等于。如何快速利用图像求出这两个点的坐标呢？笔者在教学时采用数形结合的方法，将线段CD分别向两边延长至与坐标轴相交，与纵轴交点为J，横轴交点为G，即可得到两组相似三角形，其一为∆CDF∽∆DJK，根据相似三角形的特点可知JK/DF=KD/FC，代入数据可快速求出JK=3V，U0=12V+3V=15V，即电源电压为15V;其二为∆CDF∽∆GCH，可知HG/FC=CH/DF，代入数据可求出HG=2A，I0=3A+2A=5A，R+R2=U0/I0=15V/5A=3Ω，因为R2=2Ω，所以可得R=1Ω。

本题在理解图像物理意义的基础上，在函数图像中运用相似三角形的几何知识能够帮学生快速计算出结果，学生对此方法甚为惊讶，感叹原来物理习题还可以这样解决。

历史上物理和数学有着十分深刻的联系。每一次物理学的重大革命，其标志都是有新的数学被引入到物理学中来。但我们的初中生在学习过程中往往将物理与数学看成彼此独立的，不能主动发现其中的联系;教师在教学过程中也会逐渐形成学科本位，而忽视了物理与其他学科知识之间的关联。因此我们在教学过程中要引导学生善于利于各种数学方法，灵活运用所学的知识方便、快捷地解决各种物理问题。

参考文献：

[1]李康.巧用图像法 妙解物理题[J].物理教师，2018（9）：26-29.