数学方法能否证明法律问题

何柏生

在法学界，越来越多的学者在研究法学的过程中注重数学方法的运用。在20 世纪八九十年代，法学界注重数学方法的学者虽然有但人数并不多。进入21 世纪，运用数学方法研究法学的人越来越多，具体体现为实证方法的广泛运用。近几年，从人工智能角度研究法学的著述非常多，几乎法学的各个分支学科都有体现，这使法学的数学化向前大大迈进了一步。

用数学方法研究法学无疑提高了法学的科学性，使法律“科学”变得更加名副其实。不过，如同自然科学那样，能否运用数学方法证明法学或法律问题，这是许多学者关心并曾探讨过的问题。本文主要研究这一问题，以使法学界同仁对数学方法有更深入的认识。

一、数学对法学学科影响等级分析

马克思曾说：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”〔1〕［法］保尔·拉法格：《忆马克思》，载中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局编：《回忆马克思》，人民出版社2005 年版，第191 页。1996 年诺贝尔经济学奖获得者莫里斯认为，虽然不能认定谁是最早应用数学的经济学家，但马克思肯定是先驱者之一。马克思在《资本论》中就曾运用数学方法研究经济问题。参见郭广迪：《马克思与经济学数学化——从相传马克思的一句话谈起》，载《华南师范大学学报（社会科学版）》2012 年第4 期，第108 页。康德也说过与此内容相近的话：“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。”〔2〕转引自［美］М·克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社1997 年版，第42 页。马克思和康德都是哲学家，也精通数学，所以，他们对数学的认识是有“哲学眼光”的，值得重视。从哲学家口中说出这样的话，与从数学家口中说出，内涵是不一样的。一门学科，想成为科学，就必须让数学参与学科建设，成功运用数学方法，建立学科体系，进行严密的理论论证。法学被称为科学，邀请数学参与学科建设，进行理论论证是题中应有之义。

数学对各门学科的影响深度和广度是不相同的。对有些学科影响深且范围广，如物理、化学、经济学；对有些学科影响浅且范围窄，如法学。学者汤姆森（М. Thomрson）把数学对各个学科的影响差异分为四个等级：第一级是数据和信息的搜集；第二级是科学原理和经验定律的定量表述；第三级是数学模型的表述、研究和证实；第四级是用数学模型来获得科学洞察力。〔3〕参见［美］汤姆森：《科学中的数学化》，刘定一译，载《世界科学》1985 年第8 期，第51-53 页。

在这四个等级内，可以说，数学对物理学、化学、生物等学科都有广泛的影响。而在人文社会科学内，数学的影响往往限于某些等级，涉及全部四个等级的不多。因为演绎法是数学的基本方法，科学家利用数学并不仅仅用于计算，或把数据资料组织起来，而是为了概念的构造，用演绎法推导出未知的定理，把世界的真实面貌展示出来。历史上，“数学化使科学理论形成一个统一的整体或严谨的公理体系，从中往往能够推出意想不到的定律或结论（比如由电磁场方程预言电磁波，从狭义相对论导出质能关系式，基于相对论性电子方程断定正电子的存在），从而洞察实在的深层秘密”。〔4〕李醒民：《科学论：科学的三维世界》（下卷），中国人民大学出版社2010 年版，第734 页。所以，第四级在人文社科领域内，数学对其影响不大。

在法学领域内，利用搜集到的数据和信息进行法学研究是非常普遍的，尤其是近一二十年。在大数据时代，数据和信息的获取都非常容易，利用获取的数据和信息进行定量分析很常见。许多采用实证方法研究问题的论文都属于第一级，如苏力所作的《从法学著述引证看中国法学——中国法学研究现状考察之二》、左卫民所作的《地方法院庭审实质化改革实证研究》、熊谋林所作的《三十年中国法学研究方法回顾——基于中外顶级法学期刊引证文献的统计比较（2001—2011）》、屈茂辉所作的《基于裁判文书的法学实证研究之审视》、白建军所作的《中国民众刑法偏好研究》等论文。〔5〕参见苏力：《从法学著述引证看中国法学——中国法学研究现状考察之二》，载《中国法学》2003 年第2 期；左卫民：《地方法院庭审实质化改革实证研究》，载《中国社会科学》2018 年第6 期；熊谋林：《三十年中国法学研究方法回顾——基于中外顶级法学期刊引证文献的统计比较（2001-2011）》，载《政法论坛》2014 年第3 期；屈茂辉：《基于裁判文书的法学实证研究之审视》，载《现代法学》2020 年第3 期；白建军：《中国民众刑法偏好研究》，载《中国社会科学》2017 年第1 期。

“所谓法律实证研究，本质上是一种以数据分析为中心的经验性法学研究。详言之，就是以法律实践的经验现象作为关注点，通过收集、整理、分析和运用数据，特别是尝试应用统计学的方法进行相关研究的范式。”〔6〕左卫民：《一场新的范式革命?——解读中国法律实证研究》，载《清华法学》2017 年第3 期，第45 页。在法律实证研究方法兴起之前，法学界的研究方法主要采用法教义学以及社科法学。法教义学、社科法学的研究方法虽然对推动我国法学发展起过重要作用，但法律实证研究方法优点是法教义学、社科法学无法替代的，它是法学向科学迈进的重要一步。因为法律实证研究方法内含着数学方法，而数学是引导诸学科走向科学的最重要的牵引力。数学化意味着科学化，哪门学科数学化程度高，意味着哪门学科科学化程度高。

程金华曾对我国21 种法学核心期刊和10 种法学扩展版来源期刊以及《中国社会科学》杂志从1979 年到2015 年发表的题目含有“实证”一词的论文进行检索，得到573 篇论文。不难看出，采用实证研究方法的研究人员在我国法学界越来越多，这意味着数学对我国法学研究的影响越来越大。尽管我国学者对“实证”的理解不尽一致，但不管怎样，“实证”中缺少不了定量分析，缺少不了数学方法的影响。也就是说，数学在第一级，即在搜集数据和信息并对之进行分析上，对我国法学的影响已经非常普遍。那么，数学在第二级、第三级和第四级上对我国法学或法律有无影响？

数学分为两类：一类是算的问题，典型算的问题是解方程；一类是证的问题，即证明定理。〔7〕参见胡作玄：《数学与社会》，大连理工大学出版社2008 年版，第19-22 页。在自然科学诸学科中，用数学方法论证某个问题司空见惯。如果在某个学科中，定理不够多，显示这个学科的发展还不够成熟，还需要不断开拓发展。但在社会科学中，除了个别学科，如经济学等学科外，其他学科中定理很少，法学就属于这样的学科。

公理不需要演绎证明，而定理需要演绎证明，用推理的方法得出结论。演绎法是数学最基本的方法，运用推理最典型的学科是数学。亚里士多德的形式逻辑虽然是研究推理的，但其形式逻辑在数学的基础上发展而来，与数学的演绎法密不可分。〔8〕参见何柏生：《法律文化的数学解释》，商务印书馆2015 年版，第209-228 页。数学方法能否证明法律问题在于能否用推理的方法或者演绎法证明法律问题。在回答这个问题之前，我们先考察能否用数学方法证明其他社会问题。

这里所说的“社会问题”是指人类社会出现的问题，是相对于自然界存在的问题而言的。用数学方法论证社会问题已有悠久的历史，早在古希腊时期，毕达哥拉斯提出“万物皆数”命题，就意味着用数学方法论证自然、社会的一切问题。老子的“一生二，二生三，三生万物”也有用数学或者说用神秘数字论证自然、社会一切问题的意味。

美国数学家韦尔德（R. L. Wilder）曾说：“我们不要忘记，所谓证明，不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义。”〔9〕转引自萧文强：《数学证明》，大连理工大学出版社2008 年版，第6 页。从中外数学史可以看出，不同的文化，数学证明的方法是不同的。巴比伦、埃及、印度和中国这四大文明古国都有自己的数学，但证明方法不是完全一样的。尤其是古希腊的数学，证明方法与四大文明古国更不一样。四大文明古国的数学是经验数学，而古希腊的数学是演绎数学，证明方法相差甚大。现代数学普遍采用的证明方法是在古希腊发展起来的演绎数学，最经典的证明方法是公理化方法，在欧几里得的《几何原本》中体现得最为典型。

问题是，直到19 世纪公理化方法才开始在数学中被普遍采用，那么，为什么公理化方法被称为数学方法？这是因为：数学在很长时期主要研究数和形，即代数和几何。虽然数学的许多领域在19 世纪之前都没有采用公理化方法，但公理化方法的完整呈现始于欧几里得的《几何原本》。况且在《几何原本》之前，公理化方法也是在数学中率先采用的。柏拉图曾说：“我想你知道，研究几何学、算学以及这一类学问的人，首先要假定偶数与奇数、各种图形、三种角以及其他诸如此类的东西。他们把这些东西看成已知的，看成绝对假设，他们假定关于这些东西是不需要对他们自己或别人作任何说明的，这些东西是任何人都明白的。他们就从这些假设出发，通过首尾一贯的推理最后达到他们所追求的结论。”〔10〕［古希腊］柏拉图：《理想国》，郭斌和等译，商务印书馆1986 年版，第269 页。所以，不仅是数学家，而且其他学科的人都将公理化方法公认为一种数学方法。正如美国数学家怀尔德所说：“据推测，为了在稳固的基础上发展几何学，避免出现像芝诺悖论以及不可通约量的危机，希腊人在数学中发展了公理化方法。事实上，我们的先辈认为公理是几何学的一部分，就像最近的学生认为对数是三角函数的一部分一样。人们在几何学中使用公理，而不是在算术或代数中（除非像希腊人操作的那样，这些东西本身能够被包含在几何中）。因此，公理化方法的引入必须归功于几何学。”〔11〕［美］R. L. 怀尔德：《数学概念的演变》，谢明初等译，华东师范大学出版社2019 年版，第67 页。

历史上，哲学家斯宾诺莎曾在其著作《伦理学》中运用数学方法证明哲学、法学、政治学、伦理学等问题。《伦理学》一书由27 个界说、22 个公则（公理）和259 个命题构成一个完整的哲学体系。可以说，自然科学著作中采用公理化方法的很多，如《几何原本》《自然科学的数学原理》，但完全采用公理化方法构筑理论体系且理论论证完全建立在公理化方法基础之上的社会科学著作中，《伦理学》可谓具有开创性。哲学家叶秀山说：“表面上看，《伦理学》的论述方式是非常古老的，它几乎完全模仿几何学的方法，先有一批‘公则’，每一个‘公则’下都有简短‘证明’；然后有许多‘命题’，‘命题’下不但有‘证明’，‘证明’下还有一些‘附释’，形式上是很刻板的，现代的人读起来会有枯燥之感。逐渐地，我从他那枯燥的‘证明’过程中，体会出一些意思来了，觉得形式虽然刻板，但内容还是很过硬的。只要你静下心来认真读，就会觉得他用‘证明’的方法把哲学——形而上学的命题‘推导’出来，显得是那样的坚定不移，要想反驳它，倒也是很不容易的。”〔12〕叶秀山：《斯宾诺莎哲学的历史意义——再读〈伦理学〉》，载《江苏行政学院学报》2003 年第1 期，第5 页。斯宾诺莎的《伦理学》虽然是哲学、伦理学著作，但书内也论证了一些法哲学问题，如自由问题；因此，也可以说，早在17 世纪，斯宾诺莎已用数学的公理化方法论证了法学问题。

我国当代学者也有采用公理化方法构筑自己的理论体系的，如北京大学哲学系的王海明教授，其在专著《新伦理学》《国家学》中就运用公理化方法以推导出全书的内容。

除了伦理学外，在人文社科中，经济学、人口学是采用公理化体系比较多的学科。在经济学中，许多名著都采用公理化方法。如美国经济学家阿罗的名著《社会选择与个人价值》对“社会选择”问题采用公理化方法处理。1983 年诺贝尔经济学奖获得者、西方著名数理经济学家德布鲁的《价值理论：对经济均衡的公理分析》一书是现代数理经济学划时代的名作，书中也采用了公理化方法。马尔萨斯的《人口原理》一书的理论体系构成也采用了公理化方法。

在哲学领域内，采用公理化方法构筑理论体系的学者也不少。笛卡尔就曾运用四个公理推导出其理论体系。〔13〕参见何柏生：《法律文化的数学解释》，商务印书馆2015 年版，第147-148 页。2011 年，牛津大学哲学、逻辑学教授沃尔克·哈尔巴赫出版了一本名为《真之公理化理论》的书，用公理化方法研究哲学的核心概念“真”。〔14〕参见［德］沃尔克·哈尔巴赫：《真之公理化理论》，邵强进等译，科学出版社2021 年版，见“内容简介”。

我国一些学者对先秦儒家经典和老子学说进行公理化诠释，甘筱青教授带领团队已出版过这方面的专著计有：《〈论语〉的公理化诠释》《〈孟子〉的公理化诠释》《〈荀子〉的公理化诠释》《〈老子〉的公理化诠释》。〔15〕参见甘筱青等：《〈论语〉的公理化诠释》（修订版），江西人民出版社2012 年版；甘筱青等：《〈孟子〉的公理化诠释》，江西人民出版社2014 年版；甘筱青等：《〈荀子〉的公理化诠释》，江西人民出版社2015 版；甘筱青等：《〈老子〉的公理化诠释》，江西人民出版社2016 年版。

用公理化方法研究社会科学的论著还有许多，如杨浩的论文《图书馆学研究与公理化方法》、欧阳维诚的论文《编辑学研究与数学公理化》、徐俊杰的论文《论政治经济学的公理化》等论文。〔16〕参见杨浩：《图书馆学研究与公理化方法》，载《图书馆学研究》1988 年第3 期；徐俊杰：《论政治经济学的公理化》，载《社会科学》1986 年第12 期；欧阳维诚：《编辑学研究与数学公理化》，载《编辑学刊》1990 年第4 期。限于篇幅，这里从略。

总之，在社会科学领域，采用公理化方法的著述是比较多的，有些著作已经成为名著，影响巨大。所以，公理化方法不但在自然科学领域被广泛采用，而且在社会科学领域不断地扩大影响力，甚至成为一些学科（如经济学）“研究的基本方法”。这是数学方法对社会科学的一次重大影响。

二、几个著名数学定理对法学的影响

在法学界，精通数学的人非常少。而在经济学界，精通数学的人则特别多，许多经济学家就是著名的数学家，如冯·诺伊曼、纳什、费雪、阿罗，等等。利用数学方法对经济问题或社会问题进行证明，现在已经很普遍，如阿罗不可能性定理、哥德尔不完全性定理、纳什均衡理论。这些定理或理论，看似与法学无关，其实密切相连。从某些角度来说，这些定理也可看成数学对法学问题的证明。

（一）阿罗不可能性定理对法学的影响

阿罗不可能性定理是诺贝尔经济学奖获得者肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J.Arrow）提出的。阿罗在纽约市立学院上大学，所学专业是数理统计学。在哥伦比亚大学获硕士学位，所学专业是统计学。以后，又在哥伦比亚大学获经济学博士学位。这就是说，阿罗既有高深的数学知识，又有专业的经济学理论，为他从数学角度研究经济学提供了条件。阿罗不可能性定理正是从数学角度证明经济学问题的重要成果。当然，阿罗不可能性定理不仅仅是经济学问题，还与政治学、法学、社会学、哲学等问题有关，因此也可以说，阿罗用数学方法证明了法学问题。

阿罗不可能性定理研究的是社会选择理论。所谓“社会选择”，也称集体选择，是将“众多社会成员的个人偏好（利益）聚合为一个最终的社会偏好（利益）”。〔17〕聂智琪：《政治学视角下的社会选择理论：一个前提性的梳理》，载《经济社会体制比较》2007 年第4 期，第92 页。所以，“社会选择理论研究的是偏好是如何聚合的，或者说，在一组偏好存在的前提下，如何将另一个偏好构建为个体偏好的共识”；〔18〕［西］维森斯·拖拉：《数学与决策——数学让你做决定》，吕红艳译，中信出版集团2020 年版，第53 页。并根据偏好序列为公众提供公共消费的产品和服务，其中提供的公共产品和服务就包括法律政策。

阿罗在《社会选择与个人价值》一书中，运用数学方法论证了投票问题，形成了著名的阿罗不可能性定理。阿罗研究的是“非市场”决策问题，他最初虽然是从经济学角度出发研究此问题的，但这个问题不限于经济学领域，因为法学领域、政治学领域、社会学领域等领域也涉及这个问题。所以，只要把某些命题、关键词加以改动，变为法学的命题、关键词，阿罗不可能性定理就会变为一个法学定理。

社会选择理论是公共选择理论的组成部分。美国著名的公共选择理论专家丹尼斯·C.缪勒就持此观点，认为：“我们可以把公共选择定义为是对非市场决策的经济学研究，或者简单地定义为是把经济学运用于政治科学的分析。就研究对象而言，公共选择无异于政治科学：国家理论、投票规则、选民行为、党派、官僚体制等。然而，公共选择的方法论却是经济学的。”〔19〕［美］丹尼斯· C. 缪勒：《公共选择理论》，杨春学等译，中国社会科学出版社1999 年版，第4 页。当然，也有学者认为社会选择理论与公共选择理论是不同的，美国学者布坎南就持此观点。本文认可丹尼斯· C. 缪勒等学者的观点。

从20 世纪40 年代末到50 年代初，公共选择理论大师共有三位，即阿罗、布坎南 （Вuchanan）和森（Sen）。〔20〕参见阮守武：《公共选择理论的方法与研究框架》，载《经济问题探索》2009 年第11 期，第1 页。公共选择理论的分析方法虽然源于经济学，分析的对象却不是经济市场而是政治市场，在许多方面涉及法律问题。三位公共选择理论大师研究的问题都与法律问题有关，尤其是布坎南，他撰写的著作，如《赞同的计算：宪法民主的逻辑基础》《自由的限度》《宪法契约中的自由》，完全是法学著作。当然，其是从经济学角度、公共选择理论角度研究法学问题的。罗尔斯的名著《正义论》也是一本公共选择理论方面的书籍。这是一本政治学专著，但谁又说它不是一本法学专著呢？这些著作丰富了法学理论，使法学理论有了新的分析视角。这种法学研究方法就是中国法学界倡导的社科法学。“社科法学的阵营本身是多元化的，不同的研究群体和学说在性质、方法和理论上有差异，其理论抱负也未必完全一样。但是，其共同点是保持智识上的开放性，否认规范性研究作为法学研究的唯一正确出路。”〔21〕王启梁：《中国需要社科法学吗》，载《光明日报》2014 年8 月13 日，第16 版。从公共选择理论角度研究法学，会使人们对法学问题的认识更加深入。

社会选择理论既然是公共选择理论的组成部分，那么社会选择理论就与政治科学密切相关，而政治科学与法律科学是密切联系的，如投票规则的制定就与宪法或选举法有关。正如英国社会学家布莱恩·特纳所说：“好的理论必须介入到道德论题，与政治世界保持关联。”〔22〕转引自王启梁：《中国需要社科法学吗》，载《光明日报》2014 年8 月13 日，第16 版。社会选择理论或者公共选择理论就与政治问题密不可分。因此，阿罗不可能性定理既研究的是经济学问题，也研究的是政治学问题、法学问题（当然还有伦理学问题）。站在布莱恩· 特纳的立场上，阿罗不可能性定理就是一个好的理论，能分析许多学科的问题。

在阿罗不可能性定理提出前，帕累托、庇古的理论在福利经济学界影响巨大。帕累托认为，社会的改革，在增加一部分人利益的情况下，又不损害他人的利益，这才是最优的，社会选择与个人选择在这种情况下才是一致的。经济领域的原理在政治、法律领域同样适用，都是集合个人的选择以形成社会选择，如立法在议会（我国是人大及其常委会）的通过过程就是如此。正常的议会表决，全体一致是极少的，所以，社会选择一般不会经每个人同意才能做出，而是由多数人的意志决定。在现代社会，社会选择与个人选择一致起来的原则就是少数服从多数。在我国，无论是政治生活还是法律生活，都遵从这一原则。这一原则为现代社会普遍接受。但阿罗却挑战这一原则，发现按少数服从多数原则所确立的社会选择并不反映多数人的意愿。阿罗这一结论是用数学方法推导证明的，其结论更具说服力。可以说，阿罗不可能性定理震惊了世界。

阿罗不可能性定理是这样表述的：如果X 中的事件个数不小于3，那么不存在任何遵循原则U、Р、I、D 的社会福利函数。由阿罗不可能性定理可以得出两个推论（设事件个数≥3）：推论1：遵循原则U、Р、I 的社会福利函数一定不遵循D，即它是独裁规则。推论2：遵循原则U、Р、D 的社会福利函数一定不遵循独立性原则I。

阿罗通过严密的数理逻辑推导证明，不可能存在任何一种社会选择方法，能同时满足如下五个条件，即无限制原则、一致性原则、独立性原则、非独裁原则和传递性原则。从个人偏好顺序出发，无法推导出反映多数人意愿的社会选择顺序，无法得到一个合乎自由民主要求的规则。不管怎么做，都要违背五个条件中的一个。〔23〕无限制原则是指任何人的表态不受限制，不能规定对某些人不允许其某种表态。一致性原则是指社会选择与个人选择应该是一致的，社会选择不能与个人选择相违背。人人都认为不好的事，社会也应该认为是不好的。独立性原则是指选择的方案不应该受到不相关的可选方案存在的影响。当人们在关于两件事进行讨论决策时，社会根据大家对两件事的态度就能决定，不必牵涉其他事。倘若不做如此假设，选举结果就会受偶发事件的影响。如选举总统，总统候选人是三人，突然一候选人死去，对另外两个候选人的投票，不应该受死去候选人的影响。非独裁原则是指不能把个人的偏好当作社会偏好，社会选择不能依赖于一个人的偏好，不能不考虑别人的意见，不能一个人说了算。传递性原则是指对于任何偏好组合，如果社会偏好a 胜于b，b 胜于c，则社会偏好a 胜于c。参见［美］肯尼斯·J. 阿罗：《社会选择与个人价值》（第3 版），丁建峰译，格致出版社、上海三联书店、上海人民出版社2020 年版，第26-35 页；史树中：《数学与经济》，大连理工大学出版社2008 年版，第164-165 页；［西］维森斯·拖拉：《数学与决策——数学让你做决定》，吕红艳译，中信出版集团2020 年版，第57-59 页；何正斌译著：《经济学300 年》，湖南科学技术出版社2010 年，第274-276 页。这就是说，阿罗用数学方法证明了民主选举投票结果的不确定性，并且易于为人操纵，千百年来形成的少数服从多数的民主选举制度的正当性被阿罗摧毁了。倘若要求社会理性在逻辑上不能互相冲突，就必然会出现一个独裁者；倘若不要任何形式的独裁，做出来的社会选择往往是非理性的。西方政治家、法学家向来炫耀的西方民主选举制度，经过阿罗的数学推导，竟然面目如此可憎，无法实现社会正义。不但绝对民主是不可能实现的，更让人感到惊悚的是，民主与独裁成为一对联体怪胎。

阿罗在《社会选择与个人价值》（第3 版）开首就提到：“资本主义民主之下的社会选择，实质上有两种方法：投票，通常用于做出‘政治’决策；市场机制，通常用于做出‘经济’决策。当今应时而生的混合经济体制的民主政体，如英国、法国和斯堪的纳维亚诸国，也同样采用这两种方法，只不过，这些国家更加重视投票方法，以及直接或间接建立在投票机制而非价格机制之上的决策流程。”〔24〕［美］肯尼斯·J. 阿罗：《社会选择与个人价值》（第3 版），丁建峰译，格致出版社、上海三联书店、上海人民出版社2020 年版，第1 页。对于民主制度，我们以往更多关注的是政治民主、法律上的民主，而忽视了经济民主。其实，政治民主、法律上的民主属于法律共同体研究的领域，经济民主也应属于，如股东民主就是公司得以形成独立意志的基石，对之进行研究既是经济学的重要内容，也是公司法不可缺少的组成部分。在现代社会，议会几乎在每个国家都有，只不过叫法不同。但现代议会制度的思想根源不是来自古希腊、古罗马，而是来自中世纪。西方中世纪的行会、贸易公司，采用的就是间接民主的代议方式，把董事会作为权力的中心。在这种公司的权力分配制度影响下，产生了今天国家政治系统中的代议制。即美国的司法审查制度也源于“英国采用公司模式进行殖民而产生的制度实践所造成的思维习惯”。〔25〕邓峰：《代议制的公司——中国公司治理中的权力和责任》，北京大学出版社2015 年版，第12-13 页。所以，阿罗研究的许多政治决策和经济决策都与法律密不可分，也可算法律的组成部分。

（二）哥德尔不完全性定理对法学的影响

哥德尔不完全性定理（有人译为哥德尔不完备性定理）是奥地利学者（后加入美籍）哥德尔创立的。由于创立了哥德尔不完全性定理，哥德尔被称为20 世纪最伟大的数学家之一，其在逻辑上的贡献仅次于亚里士多德。〔26〕1965 年，奥地利著名经济学家摩根施特恩（Oskar Мorgenstern）在致外交部部长的一封信中写道：“毫无疑问，哥德尔是在世的最伟大的逻辑学家；确实，像外尔和冯·诺伊曼这样的杰出思想家都承认他确实是自莱布尼茨以来，或者说是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家……爱因斯坦曾对我说，他自己的工作本身对他来说已不再是那么重要了，他去研究院，只是为了能享有同哥德尔一同步行回家的特权。”［奥］约翰·卡斯蒂等：《逻辑人生——哥德尔传》，刘晓力等译，上海科技教育出版社2002 年版，第1 页。1931 年，年仅25 岁的哥德尔发表了一篇题为《论〈数学原理〉及有关系统的形式之不可判定命题》论文。该文“既推翻了数学的所有领域都能被公理化的信念和努力，又摧毁了希尔伯特设想的证明数学内部相容性的全部希望。同时，这种否定最终促成了数学基础的划时代变革，既分清了数学中的‘真’与‘可证’的概念，又把分析的技巧引入数学基础。”〔27〕蔡天新：《数学简史》，中信出版集团2017 年版，第297 页。该文阐述的内容被称为哥德尔第一不完全性定理：对于包含自然数系的形式体系F，如果是相容的，则F 中一定存在一个不可判定命题S，使得S 与S 之否定在F 中皆不可证。在第一不完全性定理的基础上，哥德尔又创立了第二不完全性定理：对于包含自然数系的形式系统F，如果是相容的，则F 的相容性不能在F中被证明。

在哥德尔创立不完全性定理前，许多数学家对于数学的基础问题非常关注。最早的几何学基础是由欧几里得的《几何原本》奠定的。但欧氏几何体系存在不少缺陷，有的公理不够简明，有的是多余的；有的概念诉诸直观，有的术语没有明确定义，有的定义是无意义的循环定义。微积分出现后，引起了数学的第二次危机。为了消除危机，人们对数学的基础问题更加关注。极限理论建立后，数学的第二次危机便解决了。极限理论是以实数理论为基础的，实数理论则以集合论为基础。集合论是19世纪后期数学家康托尔创立的。数学家把数学的基础问题归结到集合论上，集合论成为整个现代数学的基础。由集合论衍生出来的数学分支很多，如一般拓扑学、维数理论、测度论等；集合论也成为分形、分维、混沌等数学理论的基础。集合论衍生出来的数学与经典数学大为不同，被称为现代数学。然而，“罗素悖论”（又称“理发师悖论”）的出现，宣告集合论这个基础也是存在问题的。为了消除悖论，数学家把集合论加以公理化，建立一种不会产生悖论的集合论。早在1899 年，希尔伯特出版的《几何基础》一书彻底清除了欧几里得几何学体系中的缺陷，发展了公理学，建立了新的公理学基础。希尔伯特使几何学具备了严密的公理化基础，并使古典数学的内容形式化。德国数学家策梅罗在希尔伯特研究公理化的基础上，对集合论加以公理化。希尔伯特也认为，罗素的“理发师悖论”主要是因为悖论性陈述中涉及语义内容。倘若建立一种无意义的形式化的框架，也就是采用形式系统，就可以解决“理发师悖论”中涉及的问题。然而，哥德尔不完全性定理证明这是不可能的，企图把数学形式化的打算是行不通的。不管是几何学还是集合论，抑或是其他数学领域，都无法做到完全的公理推演，都不能保证自身内部不存在矛盾，不出现悖论。希尔伯特尽管在几何公理化方面成绩卓著，使数学更加逻辑严密，但完全的公式化终究拯救不了数学，无法消除公理化方法的局限。“这样，哥德尔不完全性定理的证明结束了关于数学基础的争论不休的时期，走向了一个新的时代。”〔28〕胡作玄：《数学是什么》，北京大学出版社2008 年版，第239 页。

哥德尔不完全性定理研究的是数学的元问题，元问题属于根本性问题，对数学学科影响非常重大。当然，哥德尔不完全性定理也属于逻辑学中的元问题，对数理逻辑的发展影响重大。而数学、逻辑学是基础学科，对其他学科有着举足轻重的影响。因此，哥德尔不完全性定理对数学、逻辑学、其他学科的影响都是巨大的。

从古至今，人们都在追求确定的知识，渴望知识千古不变。人们把这种知识寄希望于数学和逻辑学。我们知道，世界有三大逻辑体系，即西方的亚里士多德逻辑体系、中国的逻辑体系（名辩学）和印度的逻辑体系（因明学）。亚里士多德逻辑体系与中国的逻辑体系（名辩学）、印度的逻辑体系（因明学）有很大不同。亚里士多德逻辑体系有两个支柱，即“不经证明而被看作真的前提或公设的集，以及一些保证从一个真陈述变换为另一个真陈述的推理规则”。亚里士多德逻辑体系采用的是三段论推理，也就是说，演绎推理是数学和亚里士多德逻辑体系共同采用的方法，这种推理获得的知识具有必然性、确定性。但哥德尔不完全性定理却给演绎推理致命一击，认为“即使存在纯数之间的真实关系，演绎逻辑的方法也因太弱而不能使我们证明所有这些事实。换句话说，真（Truth）就是大于证明”，〔29〕［奥］约翰·卡斯蒂等：《逻辑人生——哥德尔传》，刘晓力等译，上海科技教育出版社2002 年版，第2 页。真与证明不是同一的。在法学领域，哥德尔不完全性定理同样适用。

法学已经发展了几千年，法学的各个学科内部都有严密的逻辑体系，法学的各个学科相互之间也都有紧密联系。整个法学虽然分为许多学科，但在理论体系上却协调一致。与法学相对应，法律各部门内部之间也都有严密的逻辑体系，法律各部门之间都有紧密联系。从逻辑上说，法学系统内部理论之间、法律内部规则之间与不同层级之间的法律，都必须具有无矛盾性、完备性和可证明性。法律人竭力想使法律内部规则之间与不同层级之间的法律，具有无矛盾性、完备性和可证明性，但事实上，这种目的是无法达到的。“完美无缺”的法律在现实中从来没有出现过，相反，大量的法律存在大大小小的漏洞。有的法学家认为法律漏洞的出现是由于立法者认识上存在缺陷，以及法律滞后于飞速发展的社会生活。有一些法律漏洞确实来自这些原因，但并不全然。可以说，不管法律人多么努力，法律修改得多么及时，法律漏洞是永远消除不了的，因为，在现象的后面，存在着固有的逻辑，这就是哥德尔不完全性定理在起作用。“立法者虽然可以通过建立更多的法律条文或对法律条文进行解释以完善法律体系，这种增加法律条文的行为或法律解释在系统内是可证明的，是协调的。但新增加的法律条文和法律解释会形成新的法律系统，新的法律系统会形成新的矛盾命题，法律是永远不可完全的。法律的不可完全形成思维的逻辑困惑，它带给法律人的困惑是法律系统自身无法解决的。”〔30〕李顺万：《法律完全性悖论及其解决方法》，载《江西社会科学》2009 年第9 期，第166 页。

前面已经说过，哥德尔不完全性定理带给演绎推理致命一击的是，演绎逻辑的方法因太弱而不能使我们证明所有事实。法官运用法律进行裁判，采用的是演绎推理。但当法律存在漏洞时，法官就得想方设法填补法律漏洞，把原本的演绎推理变为类比推理。这时，“法官寻求的是相同案件相同处理，形式的演绎推理在这种场景被弱化——法律系统严密的逻辑要求与司法实践中逻辑的弱化同样形成思维的悖论”。〔31〕李顺万：《法律完全性悖论及其解决方法》，载《江西社会科学》2009 年第9 期，第166 页。法律漏洞无疑是法律系统不完全的直接表现，尽管法律人在千方百计地寻求弥补法律漏洞，但到头来，法律漏洞却永远无法填补，让众多法律人发出无奈的感叹。哥德尔的伟大之处就在于让人们知道，即使跟着逻辑的脚步走，人们也会犯错，遇到无法解决的问题。

当然，法律的不完全性与数论系统的不完全性是有一定区别的，但二者产生的原因都来自系统自身的矛盾。哥德尔发现不完全性定理启发于“说谎者悖论”和“理查德悖论”，所以，哥德尔对悖论是有研究的，认为悖论的产生与语义的封闭性有关。要排除语言的封闭性，就必须把语言分为不同的层次，不能用对象语言而只能用元语言讨论语句的意义、真假。因此，在形式语言中可以消除语义悖论，但在自然语言中是无法做到的。而法律语言属于自然语言，用自然语言建构的法律系统，用语言层次论是难以消除其存在的悖论的。

其实，哥德尔不完全性定理证明过程完全是符号化的、形式化的推理，不涉及内容。由于哥德尔不完全性定理研究的是元数学、元逻辑，它对许多学科都适用。所以，如果把法律内容带入该定理，也就是“把意义（语义内容）添加到由形式系统的符号构成的纯句法的符号中去”，〔32〕［奥］约翰·卡斯蒂等：《逻辑人生——哥德尔传》，刘晓力等译，上海科技教育出版社2002 年版，第25 页。那么，这个定理就是法律定理。由此，我们可以说，法律定理也能用形式化的数学语言或逻辑语言证明。

在法学界，德沃金认为法律是一个“封闭完美体系”，在法律帝国里，不允许存在法律漏洞。“基于哥德尔的不完全性定理，建立在逻辑形式系统模型之上的法律完全性主张不能成立; 相反，若以社会系统为模型重新审视德沃金的法律完全性命题，则该命题的成立是可以得到保证的。而由形式系统向社会系统的模型转换，则为法律完全性命题的可能性论证提供了一个新的路径。”〔33〕李贞元：《德沃金的法律完全性命题如何可能——从形式系统到社会系统》，载《系统科学学报》2015 年第2 期，第10 页。

在国内，有学者用哥德尔不完全性定理分析历史上存在的几种民主理论的局限性，指出了应当选择的可行路径。从古至今，先后出现过古典主义民主模式、平民主义民主模式、法治民主（麦迪逊式民主）模式和精英主义民主模式。万绍红在《民主的路径：哥德尔不完全性定理的视界》一文中认为，古希腊的雅典民主制度被认为是民主的古典主义模式，实行“人民的统治”，决策规则是“完全一致”的同意规则，试图将每个人的意愿融入民主系统。由于一致同意的规则不仅成本太高，更重要的是，“哥德尔不完全性定理指出要构建达致一致同意的实践系统是根本不可能的，多主体投票环境中投票悖论也证明了一致同意的虚幻性”。平民主义民主模式认为民主是多数人的绝对民主，民主以政治平等为目标，把少数服从多数规则作为决策规则。这一模式纠正了古典主义民主模式“完全一致”的不可行性，但多数规则容易形成多数人暴政，导致集体选择的非理性结果。从哥德尔不完全性定理分析，“‘多数规则’理论在逻辑上并不是自洽的，它往往会走向它的反面，即‘多数规则’悖论。平民主义民主理论为了实现自身的自洽，试图采用‘多数规则’在内部证明自己的一致性，恰恰犯了在系统内证明自己一致性的幻想。”法治民主模式认为，民主是一种妥协艺术，要实行宪法控制，对多数人的主权进行限制。但“麦迪逊的所谓完美的宪法控制形式系统，也不是自足的”，容易形成少数人的暴政。精英主义民主模式认为，民主历来不是人民统治，实际上是少数精英的统治，民主其实就是由人民选举由谁来充当政治精英。“精英主义民主意图建构一个完美的‘精英’来引领人民朝向民主，在哥德尔不完全性定理的精义那里，所谓完美是不存在的，存在的只是所谓完美的想象。”〔34〕万绍红：《民主的路径：哥德尔不完全性定理的视界》，载《阿坝师范高等专科学校学报》2005 年第3 期，第23-24 页。

以上古典主义民主模式、平民主义民主模式、法治民主（麦迪逊式民主）模式和精英主义民主模式都不符合哥德尔不完全性定理，是注定无法实现的。那么，有什么民主模式在现实中具有可行性呢？美国学者达尔提出了一个方案，即多元主义民主理论模式。达尔认为，民主社会的一个特征就是人们都生活在一定的利益集团中，在政治问题上很难形成多数，形不成控制一切的势力，政治生活中出现的是以团体为单元的大大小小的群体之间的多重博弈。所以，民主是多重少数人的统治。达尔的多元主义民主理论是一种“趋向民主”，是一步步向真实民主逼近，带有自生自发的性质。哥德尔不完全性定理告诉人们，在一个无矛盾的形式系统中，永远存在不可证明的定理，因此，人们把握真理的能力是有限度的。“达尔对理性抱有深深的疑虑，因而不曾也不敢建构一个完美的形式系统以建构民主。民主从达尔开始，从乌托邦的纯粹民主步向了经验的协商民主，既具有合理性又具有合法性，或者说正当性。”〔35〕万绍红：《民主的路径：哥德尔不完全性定理的视界》，载《阿坝师范高等专科学校学报》2005 年第3 期，第41 页。达尔建构的多元主义民主理论是符合哥德尔不完全性定理的。所以，作为法学中重要的民主理论，通过哥德尔不完全性定理也可验证其可行性。

（三）纳什均衡对法学的影响

博弈论，又称对策论，研究在不同策略情况下人们是如何行事的。博弈论是数学家与经济学家合作的产物，现代博弈论几乎与经济学同步发展，是在回答经济实践中所提问题的基础上发展起来的，如同功利主义的创始人边沁，在研究法学的基础上创立了功利主义。

博弈论主要是由冯·诺伊曼创立。1928 年，冯·诺伊曼提出了二人零和对策的极小化极大定理，宣告了博弈论的诞生。图克（TucKer）研究了“囚徒困境”问题，纳什提出了“纳什均衡”理论，师徒二人奠定了非合作博弈论的基石。纳什均衡已成为现代博弈论中最为核心的概念，极大地推动了博弈论的发展。诺贝尔经济学奖得主罗杰·迈尔森（Мyerson）认为，纳什的非合作博弈理论是20 世纪人类最杰出的智力成果之一，其发现意义堪与生物学中发现DNA 的双螺旋结构相媲美。〔36〕参见［美］汤姆·齐格弗里德：《纳什均衡与博弈论》，洪雷等译，化学工业出版社2011 年版，第36 页。而纳什均衡理论奠定了现代非合作博弈论的基础，此后，博弈论的发展大都与此有关，或完善它，或修正它。

纳什均衡是指博弈的参与者针对对方的行动作出最佳反应，使所有参与者的愿望都能得到满足。纳什均衡预示着局中人倘若不改变其策略，则别的局中人不能单方面改变自己的策略以增加自己的效用。局中人在有限的情况下参加有限行为的对策，就会至少存在一个这样的均衡。

博弈论冲击了主流的经济思想，以往亚当·斯密的比喻“看不见的手”已经成为经济学的“公理”，认为市场参与者在追逐个人利益的同时客观上会为整个社会财富的增长作出贡献。但博弈论昭示人们，个人利己的合理追求并不导致社会最优结果，“囚徒困境”就是典型例证。亚当·斯密的“看不见的手”却被“囚徒”死死地揪住不放，经济学家不得不为“囚徒”重新改写经济学理论。然而，通过“囚徒困境”，“‘纳什均衡’告诉我们，只有在利他中才能真正利己，也只有在使他人充分受益中才能使个人利益最大化，在受益者各方的共同努力下实现‘双赢’”。〔37〕程祖瑞：《经济学数学化导论》，中国社会科学出版社2003 年版，第103 页。这个结论虽然让亚当·斯密及其信徒听了不悦，但对法学却是个福音，因其与社会主义核心价值观是一致的，对指导立法、司法和守法有重要的参考价值。

在法学领域，虽然这么多年，国内已有不少学者用博弈论研究法学，但与经济学相比还相差很远，研究的领域也不够广泛。有学者说过：“没能充分利用博弈理论是不幸的，因为现代博弈理论为人们理解法律规则如何影响人的行为提供了非常深刻的洞察力。”〔38〕［美］道格拉斯·G.拜尔等：《法律的博弈分析》，严旭阳译，法律出版社1999 年版，第1 页。所以，当众多经济学家运用博弈论分析经济问题取得辉煌成就时，法学家不能袖手旁观，把这一新方法置若罔闻，使法律问题得不到庖丁解牛那样的犀利解法。

“……现代的立法理念应当积极培育利益博弈，努力使利益博弈达成有效均衡。利益博弈的充分是有效均衡的前提，而只有让更多的民众参与立法才能使利益博弈更加充分。”〔39〕参见金小鹏：《论法与利益博弈、利益衡量》，中国人民大学2009 年法学博士论文。正义是社会制度的首要价值。法律不在于它是否有条理、有效率，而在于它是否正义；不正义的法律再有条理、效率，社会都应摒弃。要想法律变得正义，在多元社会，立法时必须让社会利益与官方通过博弈形成一种平衡，实现利益的协调。

运用博弈论分析法律问题的论文不少。如王俊用博弈论分析见义勇为行为，并提出立法建议。见义勇为行为是弘扬社会正气且敢于同坏人做斗争的行为，符合社会主义核心价值观。但在很长一段时期内，这种行为在社会上得不到弘扬。王俊用博弈论分析了见义勇为行为得不到弘扬的原因，其认为作为理性人，人决定见义勇为的临界点就是预期收益等于预期成本时。在见义勇为行为得不到系统的、持续的法律保障下，见义勇为者的收益为负值。由于缺乏信任，很少有人单打独斗地将自己置于不利地位。因此，在他人遭受危难的情况下，在场者博弈的纳什均衡结果是袖手旁观、见死不救。这样，别人采取何种策略（救还是不救）对自己都不会造成损失。所以，必须通过立法，运用法律的手段填补信任的缺失，在法律中作出规定，对见义勇为行为予以适当的鼓励和保护，尤其要加大保护力度，免除其后顾之忧；在他人遭受危难，自己有条件救助却没救助时，则予以法律惩罚。〔40〕参见王俊：《从博弈论视角透析见义勇为的立法路径》，载《广东商学院学报》2010 年第2 期，第85-88 页。只有这样，才会打破纳什均衡，改变袖手旁观、见死不救的局面，使社会风气发生根本改观。

也有学者用博弈论分析司法腐败问题。何远琼在《站在天平的两端——司法腐败的博弈分析》一文中首先分析了原被告双方当事人在司法腐败问题上的博弈，用二元矩阵来表示司法腐败中原被告双方当事人之间的完全但不完美信息的博弈模型。作者用纳什均衡的方法或严格占优的方法求解这个博弈，得出原被告双方当事人都会采取贿赂策略这个解。接下来，作者构建并分析了当事人与法官之间的司法腐败博弈模型，认为当事人与法官之间的博弈存在着多个解。当事人和法官之间要达成贿赂这个均衡解，就只有在法官的腐败行为产生的收益大于腐败行为产生的成本和当事人行贿行为产生的收益大于其举报行为产生的收益的情况下才能实现。法官作为理性的博弈参与人，为了安全起见，一般只会接受当事人一方的贿赂，那种吃了原告吃被告的说法在现实生活中发生的概率不高。作者还构建并分析了法官与法官之间的司法腐败博弈模型，以及加入律师变量后的司法腐败博弈模型。总之，司法腐败属于小群体博弈，参与人对博弈的最终结果可能并不知晓。另外，司法腐败在这种小群体范围内举报率是非常低的，因为双方之间存在长期博弈的机会，如律师和法官之间。司法腐败博弈存在多重均衡。

也有学者运用博弈论研究诉讼法。上海交通大学凯原法学院教授王福华在论文《程序选择的博弈分析》一文中研究了民事诉讼过程中的博弈行为。作者认为“诉讼当事人之间的关系具有交叉和对抗的特点，彼此的诉讼行为存在相互影响，因此诉讼具备了博弈论发生作用的场景”。〔41〕王福华：《程序选择的博弈分析》，载《法治现代化研究》2020 年第5 期，第138 页。在民事诉讼的每个环节，双方诉讼当事人都存在博弈的契机。作为理性人，民事诉讼双方当事人为了自身的利益，会精心选择仲裁程序、非讼化程序或诉讼程序，以及决定诉讼的内容和范围，决定是否撤回、诉讼上和解、认诺、舍弃等。由于民事诉讼不同于刑事诉讼，诉讼当事人对主张的权利选择余地大，这就使诉讼活动的每个阶段都有可选方案，都有博弈的可能。程序选择是一种双方的博弈，不仅自己在选择，而且还要考虑对方的选择，根据对方的选择而制定自己的对策。在民事诉讼中，双方当事人的程序选择也存在一个均衡状态，即纳什均衡。“双方当事人达成协议约定管辖法院、适用简易程序以及选择调解程序解决纠纷，都是典型的程序博弈均衡；撤诉、承认对方当事人的诉讼请求等同样是博弈均衡。”〔42〕王福华：《程序选择的博弈分析》，载《法治现代化研究》2020 年第5 期，第142 页。程序博弈过程中所实现的纳什均衡未必意味着当事人会得到最佳收益，因为赢得诉讼的胜利还取决于当事人掌握信息的多少、是否聘有诉讼经验丰富的律师等条件；但纳什均衡的实现，意味着双方当事人可以根据这种一致的预测，决定应该选择的纠纷解决程序，还意味着程序选择博弈为诉讼合作提供了契机，使当事人博弈的结果趋于和谐。所以，博弈论也能在司法上为和谐社会的实现贡献力量。

诚实信用原则是民法中的一项重要原则，常被称为民法特别是债法中的最高指导原则或“帝王规则”，在大陆法系中甚至被看作民法中唯一的基本原则。西方一些学者认为诚信原则是“作为自然法之代表的对实在法的监督者”。〔43〕徐国栋：《民法基本原则解释——成文法局限性之克服》，中国政法大学出版社1992 年版，第77 页。对这样的一个重要的民法原则，我国法学界自然会对之进行多角度深入研究。褚霞在《民法诚实信用原则的博弈论分析》一文中从博弈论角度分析诚实信用原则。在当事人双方都秉持诚实、恪守承诺的情况下，诚实信用原则的应用有利于实现当事人之间利益的均衡。但在一次性交易中，若没有法律、道德这些外来约束，双方当事人的占优策略是不遵守诚实信用原则，由此形成纳什均衡。当然，这一均衡是缺乏效率的。要使诚信策略占优，成为双方当事人的首选，就必须或增加交易次数，或采用法律规制增加不诚信策略的成本。民事主体遵守诚信原则是出于利益的衡量。把诚信原则上升为法律是政府、社会和个人博弈过程中的最优选择。但在法律实施中，由于诚信原则是概括性规定，内涵和外延具有不确定性，是给法官的空白委任状，所以，要使诚信原则具有操作性，必须界定其适用条件，完善社会信用建设，健全信息公开制度，加大惩罚欺诈的力度。〔44〕参见褚霞：《民法诚实信用原则的博弈论分析》，载《东北财经大学学报》2002 年第5 期，第90-91 页。

从以上的介绍中可以看出，我国法学界运用博弈论研究法律问题的领域颇为广泛，一些研究论文相当有深度。从国内外来看，研究著作已有一批，如美国学者道格拉斯 ·G. 拜尔等撰写的《法律的博弈分析》，约翰·西拉斯（John Cirace）撰写的《法律、经济学和博弈理论》；中国学者李晟赟撰写的《法律诉讼中的博弈》，徐伟功撰写的《冲突法的博弈分析》。至于论文，已有不少。作者在知网上在“主题”选项下，用“法律的博弈分析”语句进行搜索，共出现学术期刊论文170 篇，学位论文215 篇。所以，可以得出结论，目前法学界用博弈论方法研究法律问题已经较为普遍。由于纳什均衡在博弈论中的核心地位，几乎任何一篇“法律的博弈分析”的论文，都绕不开纳什均衡。纳什均衡是数学理论，但采用这个方法研究法律问题也别开生面，增加了法学的研究深度。假如纳什当初在论证纳什均衡时，像其师艾伯特·塔克（Albert Tucker）以“囚徒困境”名义阐述非零和博弈中的模型，那么，纳什均衡就是一个法学定理。边沁在法学中研究出功利主义哲学，是功利主义法学影响了功利主义哲学。应该说，功利主义法学和功利主义哲学同时诞生。如果纳什像边沁那样做，纳什均衡就既是一个法学定理，也是一个数学定理。

三、数学方法在一定程度上可以证明法律问题

通过以上对用数学方法论证哲学社会科学问题的考察，以及几个著名数学定理对法学影响的考察，不难发现，数学方法在一定程度上可以证明法律问题。数学对社会科学、对法学的影响是全方位的，不但体现在第一级，即数据和信息的搜集上；而且体现在第二、三、四级上，即科学原理和经验定律的定量表述上、数学模型的表述、研究和证实上、用数学模型来获得科学洞察力上。

（一）数学对社会科学的影响是全方位的

从本文一、二部分可以看到，数学对社会科学产生了深刻影响。我们知道，自然科学不同于社会科学，数学对自然科学的影响是全面的、深入的，在一定意义上可以说，许多数学方法就是为自然科学的某些领域量体定制的，是为了推动自然科学的发展而发展起来的。〔45〕当然，有些数学方法也是为某些社会科学量体定制的，如射影几何、博弈论、角谷定理、集值映射的积分理论、近似不动点计算的算法等。射影几何起源于绘画，文艺复兴时期透视学的兴起，为射影几何的产生和发展创造了条件；博弈论的产生和发展与经济学有着密切联系。社会科学研究的对象是社会现象，往往受研究主体的态度和意识的影响。而自然科学研究的对象是自然界的物质现象，研究主体往往持客观中立态度。数学研究对象是人们抽象出来的，在自然界并不存在，具有形式化的特点。数学是脱离时间的，具有永恒性。数学的“秉性”与自然科学较为接近，〔46〕数学是否属于自然科学，存在争议。有人认为数学是一门独立于自然科学的学科，同思维的关系更密切一些。我国著名科学家钱学森就主张数学应该与自然科学、社会科学并列，具有同等地位。参见何柏生：《法律文化的数学解释》，商务印书馆2015 年版，第31 页。因此，用数学方法研究自然科学，二者结合会非常紧密，客观性得以保持。“基本的事实就是这样：科学现在给大自然所描绘的图像（看来只有这些图像能够与观察到的事实一致）是数学化的图像……大自然似乎精通纯数学的规则……不管怎么说这一点几乎是无可争辩的；大自然和我们的有意识的数学心智根据同样的规律来运作。”〔47〕［美］М·克莱因：《数学与知识的探求》，刘志勇译，复旦大学出版社2005 年版，第242 页。用数学方法研究社会科学，虽然在一些方面结合得较为紧密，但由于社会现象非常复杂，研究主体要持客观中立态度比较难，所以用数学方法研究社会科学，在许多领域必然存在“水土不服”现象。

不过，经过几千年的发展，数学已成为一个庞大的家族，各个分支学科在处理问题时各具特色：有些分支学科在自然科学领域游刃有余，在社会科学领域适用就比较困难；有些分支学科除能在自然科学领域适用外，还能在社会科学领域适用，尤其是20 世纪以来发展的数学分支。

学者把数学分为三代：第一代数学以“数”为研究中心，第二代数学以“事件”为研究中心，第三代数学以“思维”为研究中心。〔48〕参见闵珊华：《文学创作中的数学思维方法》，载《中国软科学》1994 年第12 期，第108 页。第一代数学用于数据和信息的搜集非常合适，第二、三代数学用于科学原理和经验定律的定量表述上，用于数学模型的表述、研究和证实上，以及用于数学模型来获得科学洞察力上都比较合适。所以，数学越发展，越能解决社会科学的问题。

（二）用数学方法论证法律问题已有诸多成功例证

大家知道，几年前，南昌大学原校长周文斌因受贿、挪用公款而受审。在庭审过程中，这位工学博士运用概率论与数理统计、误差理论、排列组合等数学理论，论证控方所提交证据的“荒谬”。〔49〕《南昌大学原校长周文斌受审 用概率论质疑证据》，来源：httрs://news.qq.com/a/20150123/001151.htm，2022 年1 月23 日访问。笔者没有旁听庭审过程，对案情不熟悉，不能判断周文斌用数学方法质证的效果，但二审对一审作出了改判，由无期徒刑改为12 年有期徒刑。另外，该案的审理，也表明数学方法在法律活动中是有用武之地的。

从博弈论中，我们知道有一个著名的“囚徒困境”，虽属博弈论问题，但用法律语言把问题表述出来了。所以，“囚徒困境”完全就是个法律问题。如同亚里士多德创立了形式逻辑，但西塞罗把它用来研究法律问题，就成了法律逻辑学，法律逻辑学就成了法学研究对象。“囚徒困境”作为法学（法律）问题，在审讯犯罪嫌疑人时经常会遇到。如果“囚徒”事先没有沟通，从利益最大化原则出发，他们会坦白，把对方罪行供出，从而受到从轻处理。但是，“坦白从宽，牢底坐穿”，这是一些累犯、惯犯的切身体会；对于他们来说，从利己出发，结果对二人都不利；而共同合作，就能早日出狱。总之，“囚徒困境”虽然有它的经济学、社会学、政治学等多方面的意义，但从字面分析，其首先是一个法律问题，最应探寻的是其法律意义。“囚徒困境”是博弈论专家、经济学专家讲的法律故事，论证方法是数学式的。所以，我们完全可以说，“囚徒困境”是用数学方法论证的法律问题。而“囚徒困境”具有广泛的应用性，其不但在解决法律方面问题上能适用（如决定订立合同后是否遵守问题），更是在许多学科领域都能适用。

在法学家的著作中，早已有名著采用公理化方法，如霍布斯的《利维坦》《论公民》、孟德斯鸠的《论法的精神》、洛克的《政府论》等著作。〔50〕参见何柏生：《法律文化的数学解释》，商务印书馆2005 年版，第315-317 页。这些名著从公理出发，通过严格的演绎推理，得出令人信服的结论。在近代西方著名的法典中，也广泛采用公理化方法，如《法国民法典》。欧陆国家的哲学家把数学方法视为认识之王，企图把一切学科数学化。在拿破仑这个数学家〔51〕拿破仑不但是政治家、军事家，而且是数学家。拿破仑对数学非常感兴趣，在行军打仗间隙，经常研究平面几何，曾为当将军还是数学家而踌躇。他提出了“拿破仑定理”，即以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。他在立法上认为：“将法律化成简单的几何公式是可能的，任何一个能识字并能将两个思想联系起来的人，就能作出法律上的裁决。”转引自沈宗灵：《现代西方法律哲学》，法律出版社1983 年版，第98 页。主持制定的《法国民法典》中，自然不缺乏数学因素。近现代法典都有基本原则，《法国民法典》也不例外。自由平等原则、所有权原则、契约自由原则和公序良俗原则是《法国民法典》的基本原则，构成其公理。宪法典在制定过程中，也设有基本原则，即自由原则、民主原则和法治原则。这三项基本原则也构成宪法典的公理。无论是民法典还是宪法典，基本原则是其逻辑推理的出发点，法典内的任何条文不得违背。

在世界各国的法庭上，用数学方法论证法律问题早已普遍化。彭中礼教授认为，数学方法在司法审判中的主题涉及三个层面：第一个层面是诉讼当事人运用数学方法来论证某个法律命题；第二个层面是法官运用数学方法分配权利义务；第三个层面是通过数学方法来实现司法规则的建构。〔52〕参见彭中礼：《法律论证中的数学方法》，载《政法论坛》2017 年第5 期，第6 页。

当然，在用数学方法论证法律问题上，值得关注的是我国学者涂少彬的观点。涂少彬认为法律行为的本质是经济行为。既然经济行为的数学化表达已经成为常态，那么，法律行为进而法律问题的数学化表达就有了理论基础。“经济学的本质是基于资源稀缺性而以效率为目标的行为选择优化的科学，它能借助边际分析将行为选择量化描述，它的研究对象适用于所有它的研究方法能够切入的学科，包括法学。”〔53〕涂少彬：《论法学表达数学化的可能及限度——基于经济学与比例原则的切入》，载《法学评论》2020 年第4 期，第38 页。当然，在这里应明确，尽管精确性是数学的一个特点，数学化表达常常意味着精确性表达，但是，数学发展到今天，模糊数学、随机数学也是其不可缺少的部分；因此，法律行为、法律问题的数学化表达也可体现为模糊、随机表达。另外，我们不应忘记，经济学是选择的科学，经济学话题都与个人选择有关。而法律行为也内含着法律主体的权衡与选择，追求效率最大化。所以，法律行为的本质是经济行为，是一种选择性的行为。

当今的经济学数学化表达已经非常普遍，但在20 世纪初，经济学如同当今的法学，数学化表达程度很低，是边际革命开辟了经济学数学化表达的新路径。把边际支出和边际收入相比较，使量化进入经济学成为可能。于是，通过边际分析可以对行为选择进行量化评估，并用数学模型来表达。由于法律行为是经济行为，法律行为同样可以适用于边际分析，借助于边际分析，数学便进入法学。“当边际分析进入法学，它不会仅仅止于法律行为，而势必顺着法学概念的位阶一步步渗入上位阶，直到贯通整个法学理论体系：法律行为的量化表达引发法律关系的构成、性质及其范围的量化确定，法律关系的数据化积累反过来影响法律制度的设定与实施，进而最终明晰法律价值的权衡、设定与落实；反过来，法律价值与法律制度层面的量化权衡与设定有利于法治共识的扩大及其实践的科学化。”〔54〕涂少彬：《论法学表达数学化的可能及限度——基于经济学与比例原则的切入》，载《法学评论》2020 年第4 期，第41 页。涂少彬具体分析了人权价值和正义价值如何数学化问题。人权在法学中被认为是至高无上的权利，人的生命是无价的。但在经济学中，可以通过成本收益分析法得出一个人生命的价值。经济学家认为，法律对人权的保障水平受资源稀缺性制约，人权的价值及其实现受本国可支配资源的制约；所以，一国法律对人权保障的水平与人权保障支出的机会成本有关，与经济发展水平有关。因此，生命权的保障受制于资源稀缺的制约，它能够通过机会成本的大小来建立函数进行估算；其他权利也可通过此方法加以估算。涂少彬的观点为法学数学化提供了一种可行途径，至少他对人权和正义价值的量化分析许多法学家从感情上未必同意，但实际生活中确实是这么做的。

（三）既精通法学又精通数学的人才在法律数学化过程中的必要性

在用数学方法证明法律问题时，必须有精通数学的学者甚至数学家的参与。我们从经济学数学化过程中可以看出，经济学之所以能在数学化过程中取得巨大成绩，就是由于大量数学家甚至一流数学家的参与。冯·诺伊曼是20 世纪顶尖的数学家，在集合论和数学基础、测度论、遍历理论、群论、算子理论和格论等方面对纯粹数学作出了杰出贡献。当然，在应用数学上，他做出的贡献更大，被称为“计算机之父”“博弈论之父”。由于这样级别的数学家用博弈论研究经济学，很快就在经济学领域取得了重要成就。他与经济学家摩根斯坦合作，于1944 年出版了《对策论与经济行为》一书，成为现代数理经济学的开拓者之一。1975 年获得诺贝尔经济学奖的康托洛维奇（Kantorovich）也是苏联著名的数学家，17 岁就解决了一些数学难题，22 岁晋升为大学教授，曾因数学成就获得斯大林奖。他因对经济问题感兴趣而研究线性规划，利用线性规划技巧研究资源配置问题，写出了《经济资源的最优利用》一书。学者史树中曾对2001 年前获得诺贝尔经济学奖的学者进行统计，在49 名获得者中，有16 人曾获得过数学学位，8 人曾获得过理工专业学位。〔55〕参见史树中：《诺贝尔经济学奖与数学》，清华大学出版社2002 年版，第7 页。沈自强认为用数学方法研究经济理论从而获得诺贝尔经济学奖的人数占全部人数的一半以上（数据截至2014 年）。参见沈自强：《诺贝尔经济学奖得主的学术贡献分布：哲理、数理与技理》，载《中国传媒大学学报（自然科学版）》2014 年第6 期，第15 页。截至2007 年，获奖的61 人中，获得数学学士17 人，占27.87%；获得数学硕士10 人，占16.39%；获得数学博士10 人，占16.39%。拥有数学学位的获奖者超过了一半，许多获奖者的获奖领域与数学有关。参见尹莉：《诺贝尔经济学奖获得者的地理分布及数学化趋势》，载《西北大学学报（自然科学版）》2008 年第2 期，第342 页。经济学数学化之所以搞得轰轰烈烈，就是因为有这些数学通在经济学领域翻江倒海。

在我国法学界，既懂法学又懂数学的人寥寥无几，更重要的是这些人对采用数学方法研究法学的兴趣。前面提到，九江学院甘筱青教授之所以能带领团队，对《论语》《孟子》《道德经》《荀子》等书从公理化角度进行阐述，对传播诸子百家做出重要贡献，就因为甘筱青既在清华大学获得过数学博士学位，又对传统文化感兴趣。由于我国法学院校普遍对数学不重视，开设数学课的院校非常少，这就使我国法律人普遍对高等数学不熟悉，在法律数学化过程中难以有所作为。要改变这种不利局面，不是一朝一夕能解决的。倒是有一些法律硕士，其中不少有理工专业甚至数学专业背景，他们在法律数学化过程中有可能会做出贡献。

四、结语

随着法学界对数学重要性认识的加深，数学方法在法学研究中的应用越来越广泛，用数学方法论证法学问题会越来越多。当然，比起自然科学来，许多法学问题目前尚无法采用数学方法论证；但法学研究人员应该清楚，科学技术是不断发展的，过去无法采用数学方法论证的法学问题，随着科学技术的发展，现在可以采用了。比如，随着计算机、信息科学的发展而可以采用大数据研究法学问题，过去无法量化处理的法律问题现在就可量化处理了。另外，数学也是不断发展的，以前无法用数学方法解决的法律问题，随着新的数学方法的出现迎刃而解。比如，随着博弈论的诞生，一些法律问题就可用数学方法解决了。“纳什的‘美丽心灵’掀起了一场智力革命，并最终推动博弈论从一种时尚转变为整个社会科学的基础。”〔56〕［美］汤姆·齐格弗里德：《纳什均衡与博弈论》，洪雷等译，化学工业出版社2011 年版，第35-36 页。

就目前数学对法学的影响来说，在数学影响的四个等级中，数据和信息的搜集已经在法学研究中广泛采用。但在法学领域中，科学原理和经验定律的定量表述、数学模型的表述研究和证实以及用数学模型来获得科学洞察力这三个等级中，虽然不乏成功的实例，但总的来说，数学的影响有待加强。而法学研究只有广泛进入这三个等级中，常态化地采用数学方法论证法学问题，数学方法才会成为法学研究的常用方法，法学研究才会更加深入。不管怎样，法学问题或法律问题，用数学方法是可以论证或证明的。“囚徒困境”就是一个法律问题，已经用博弈论这一数学方法顺利解决。

抽象性是数学的一个特点。数学概念没有直接的现实原型，不指称现实世界存在的某种具体的东西。数学理论往往有多种解释，每一解释都是一个自然科学、社会科学的理论。因此，任何一种数学方法，只要能解决法律问题，就会形成一种新的理论。如博弈论，用来解释经济学问题，就会形成一种新的经济学理论；用来解释法学问题，就会形成一种新的法学理论。所以，前文所说的阿罗不可能性定理、哥德尔不完全性定理和博弈论，切勿把它看作与法律无关的数学定理或数学理论，只要它能解释法律问题，说它是法学定理也未尝不可。只需把定理中的字母变为法律问题，数学定理就变成法学定理。