大学数学建模教学探索与实践

杜 健，胡红娟，夏 静

(陆军装甲兵学院基础部，北京 100072)

当今，科学技术以空前的广度和深度飞速发展，许多现实问题必须通过模型的定量化描述、分析并求解，才可能得出科学的结论。因此，数学建模作为连接实际问题与数学问题的桥梁技术，承担着越来越重要的作用。

1 大学数学建模教学现状

大学开设数学建模课程，并在教学内容、教学方法及课程考核等方面进行了一系列改革，极大地提升了学生的应用能力，在数学教学方面取得了一定的成效[1]。但是从当前的教学现状来看，仍然存在许多问题，主要表现在尽管教师课上讲了许多建模方法，学生面对实际问题时仍不知如何下手，无法建立有效的模型；建立的模型过于简单，不能刻画实际问题的本质特征，得不出合理的问题结果；不能将数学建模的思想、方法，应用于专业课程的学习中，以解决专业问题；毕业论文设计中，想要运用数学建模技术解决某个专业课题，却难以得出科学的结论。产生这些问题的主要原因是学生没有真正掌握建模的思想与方法，仍处于模仿阶段，仅将相关模型套用于问题中。

数学建模的本质是对实际问题引入变量，做出适当的简化和假设，运用数学解析式刻画变量间的基本关系或者结构，再通过数值求解，得出问题的解答，并应用于实际进行检验和推广[2]。因此，课程教学不应仅局限于建模方法的传授，更应着力于实际问题数学化，使学生在抽象的过程中，领略建模的思想与技术。在建模方法的讲授过程中，教师应强化案例教学，使学生能够分析问题中变量的基本关系，抽象出数学结构，建立数学模型。目前的教学更重视方法理论教学，而忽视实践教学，导致学生较弱的建模能力无法适应社会对高素质人才的需求。因此，对数学建模教学进行理论探讨与实践探索成为当前数学教育改革的重点。

2 大学数学建模教学的理论研究

2.1 将抽象思维形象化，使学生形成建模的基本意识

建立数学模型，难点是对实际问题进行抽象，这也是建模的本质工作。大学数学课程具有的前沿性和高阶性，无不渗透了抽象的过程[3]。相应地，数学建模教学要通过对相关学术文献的分析，在解决问题的过程中引导学生学会分析变量之间所蕴含的基本关系，抽象出问题的量化解析式，学会对知识进行迁移，掌握抽象建模的基本方法。只有具备了抽象的基本方法，才能将抽象思维形象化，刻画问题变量的关系才能变得更加简洁明了，建立模型就会得心应手。因此，教学强化抽象思维过程，培养学生的应用意识，是当前建模教学应着力加强的环节。

2.2 将理论知识实用化，使学生掌握建模的基本方法

大学数学知识内容庞杂，计算繁琐，理论推证较为复杂。数学建模面对的则是实际问题，如何跨越理论与现实的鸿沟，是建模教学应着力解决的问题[4]。通过对现实问题基本关系的分析，用数学语言描述问题所蕴含的基本规律，使学生理解从实际问题到数学问题的抽象过程，掌握数学知识的实用化方法，了解知识的应用背景，从而建立理论知识与现实问题的通道，学会分析问题、解决问题的基本方法。在教学过程中，要充分还原知识的发现过程，培养归纳式思维，使知识学习及方法掌握变得快捷有效，提升建模本领。

2.3 充分引入案例教学，培养学生建模能力

数学建模教学比较注重一些常用方法的传授，如微分方程建模、层次分析建模、时间序列建模等[5]。掌握建模的方法可以使学生较快掌握建模技术，面对实际问题时尽快融入某种方法，提出解决方案。但是，这样也容易形成思维定式，不利于创造性思维的培养[6]。在教学过程中可引入案例教学，在解决问题的过程中根据实际需要，引出相应的数学概念、方法和理论，使知识的产生与发现变成自然而然的过程。这不仅符合知识的产生过程，而且与学生的思维认知过程一致，有利于学生掌握数学模型的基本方法，提升建模学习的兴趣，增强应用意识，提升实践能力，使学生具备初步的建模能力，解决现实生活中的实际问题。

2.4 加强数学实验教学，提升学生建模创新水平

数学建模的对象是实际问题，因此模型求解更多的是数值求解，这就需要借助相应的数学软件编写程序，进行模拟求解。这实际是一个实验过程，因此强化实验教学必不可少[7]。为强化数学建模思想，可结合案例教学，加强数学实验教学，向学生演示MATLAB、SPSS、SAS等统计软件中的基本功能，展示数学模型的建立及求解过程[8]。通过数学工具软件演示求解过程，学生在程序运行与调试过程中，学会运用数学思维思考和解决问题，体现应用数学知识进行数学建模的全过程，进而提高学生的建模创新水平。

3 大学数学建模教学实践探索

3.1 抓住概念本质，强调知识的综合应用

学会根据问题的要求构造必需的函数，建立解决问题所需的数学模型。定积分概念是以求曲边梯形面积为例引入的，通过分割、求和、取极限三个过程实现了曲边梯形面积的计算，其中蕴涵了化整为零、积零为整的数学思想[9]。

教学中首先要归纳出两点：

第一，用定积分解决问题的共性是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量A。

3.2 突出最基本的思想，领会解决问题的过程

微元法是定积分应用中的最基本方法，教学中要以定积分概念的引出过程为例，引导学生掌握微元法的基本概念，以及微元法所满足的条件[10]。在实际问题中，如果问题变量在其取值区间上具有可加性，就可尝试构造定积分的表达式去表示该变量，建立相应的数学模型解决问题。

从以下两方面考虑建模：

第一，分析所解决的问题变量U，满足以下条件：A.U与变量x的变化区间[a,b]有关。B.U对于区间[a,b]具有可加性。C.U部分量ΔUi可近似地表示成f(ξi)·Δxi。

3.3 掌握最基本的方法，培养创新思维能力

优化问题是数学建模的重要方面，根据定积分的几何意义，确定几何图形面积、体积的最值。

为2，求函数y=f(x)，问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小？

所以当a=-5时，该旋转体体积为最小。

4 结语

大学数学建模教学关键在于使学生了解数学建模的基本思想，掌握从实际问题中提炼数学关系的方法，检验学生的知识结构和综合运用能力。面对信息社会的深刻变革，学生只有掌握了数学建模的思想与方法，才能在面对实际问题时，运用数学的思维意识，建立问题的模型结构，创造性地解决问题，凸显数学教育的功能价值，这也正是大学数学教学的意义所在。