2021年新高考Ⅰ卷导数压轴题求解与延伸

福建省福清第三中学 (350315) 何文昌 何 灯

2021年新高考Ⅰ卷聚焦核心素养，突出关键能力考查，科学把握必备知识与关键能力的关系，稳中求新，平和中蕴含不平凡，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.试卷导数压轴题考查函数同构与极值点偏移，虽然题型较老，但老中见新，给人以启迪，本文拟对此题进行一些思考，与同仁交流.

试题呈现已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

命题立意：本题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力，创新能力等，考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想等；体现综合性和创新性．

解法分析：(1)f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(过程略)

解法一：(构造函数)要证20，只需证f(2-x1)-f(x1)>0.要证x1+x20，只需证明f(x1)-f(e-x1)>0.构造函数g1(x)=f(2-x)-f(x)(x∈(0,1))，g2(x)=f(x)-f(e-x)(x∈(0,1))，利用导数研究g1(x)及g2(x)的单调性，可证g1(x)>0及g2(x)>0，从而得证2

在对试题进行求解的过程中，笔者发现利用上述解法二可实现原不等式链进一步的延伸，经过整理，笔者得到如下结论.

结合原试题，得证式(2)成立，从而式(1)成立.