多维探究 发展素养*——对一个导数问题的探究

深圳市高级中学(集团)中心校区(518040)谭业静 平光宇

利用导数研究函数的单调性、极值、最值,进而解决与函数的零点、极值点相关的不等式恒(能)成立、等式能成立等综合问题,是高中数学教学的难点,也是高考压轴题的热门考点.在高考备考复习中,抓住典型例题,多维度剖析和探究.认清问题的本质,掌握常见的基本方法和思路,广泛联系、引申拓展,优化思维品质,不仅是分析和解决问题的关键,也是发展学生数学核心素养的必经之路.

一、题目

题目已知函数f(x)=lnx-ax有两个零点x1,x2.

(1)求a的取值范围;

(2)求证:x1x2＞e2.

二、解题探究

(一)题目第(1)问的解法及思路剖析

思路剖析方法一,原函数并不复杂,可以直接研究.对参数a分情况讨论,解析其单调性,求出极大值,依题意求解.需要注意的是对于函数f(x)在x →0 和x →+∞时的函数值的变化趋势要给予论述说明;方法二,通过分离函数,将原函数的零点问题转化为两个函数的交点问题.培养转化与划归、数形结合的思想,发展逻辑推理、直观想象等数学核心素养.方法三,通过分离参数,构建新的目标函数,将参数a有效地转化为对应新函数的函数值.利用函数的单调性、最值及函数的变化性态,促进问题的解决.以上三种方法,是解决这类问题的常见的通解通法.

(二)题目第(2)问的解法与思路剖析

三、问题的引申与发展