例谈指对型量大小比较的思维导向

安徽省濉溪县第二中学(235100)张静 祝峰

1 问题提出

指对数运算与指对函数相互关联,是高中数学的基本知识,亦是高考必考知识点.指对型量大小比较问题能灵活地考查学生指对数运算、指对函数性质的掌握程度.涉及指数运算的法则和性质、对数的概念、指对式互化、对数运算法则和性质、换底公式、指对函数图象和性质等必备知识;以及这些知识所蕴含的观察模式、验证猜想、估计结果、模型设计、抽象化、最优化、逻辑分析、数据推断、符号运用等数学特有的思维方法.转化化归、函数方程、数形结合、分类整合等数学思想常贯穿于此类问题求解的始终,对学生提出问题、分析问题、解决问题的能力要求较高.高考中,此类问题常以选择题形式呈现,合理的思维导向是求解关键.下文以近几年高考试题为例,呈现这类问题求解的几种基本思维导向,供参考.

2 思维导向及实例举隅

2.1 临界值分段

2.2 特值检验

评析特值检验是归纳思想的起始步骤,数学抽象需建立在对一系列特殊情形对比、分析和概括的基础之上.所以,特值检验不仅在这类问题的求解中有直接应用,也是数学问题求解的一般观念,即特例归纳、猜想结论、演绎证明的思维过程.

大小关系常与函数的单调性密切相关,亦可构造恰当的函数,利用函数单调性比较大小,下文会作详细分析.

2.3 奇偶性转化

利用函数的奇偶性,把不在一个单调区间上的比较大小问题,转化到函数的一个单调区间上,再结合相关函数单调性,完成指对型量大小的比较,集中体现了函数奇偶性、对称性单调性之间的关联及应用.

2.4 比较法

2.5 几何直观

2.6 构造函数

3 结语

“临界值分段、特值检验、奇偶性转化、作差作商比较、几何直观、构造函数”是指对型量大小比较问题常见的六种思维导向.具体问题的求解中,不能厚此薄彼,需全方位、多角度分析思考,恰当选择这些思维导向中一种或几种来解决问题.

上述实例求解和思维导向总结的根本目的是:巩固基本概念、提升思维能力、发展思维品质.实际教学中应引导学生养成从基本概念、基本原理及其联系性出发思考和解决问题的习惯,更应努力超越这些具体问题,体会其在发展学生思维的灵活性与深刻性、自觉性与整体性方面的意义.仅聚焦“题型+技巧”,忽视相关概念所反映的数学基本性质,淡化数学概念所蕴含数学思想和一般观念的舍本逐末之举,无法达成解题的真正目的.