又见中点

龚美华

摘要：中点作为初中数学中的基础知识，对于很多学生而言并不陌生，但中点本身涵盖的内容较多，而且随着几何知识的不断深入学习，也会了解到更多的中点知识。而在中考改革工作全面落实后，中点成为了几何专题中的核心关键内容，备受青睐，需要学生在复习阶段展开全面系统的分析。基于此，本文以2021年北京市中考数学试卷第27题为例，借助辅助线方式，强化图形认识，合情合理展开思维推理，进一步了解中点问题的解题方式，为中考考试奠定基础。

关键词：中点问题;平面几何;思维推理;图形思维

一、中点问题的解题思路分析

从目前来看，初中阶段关于中点的知识内容有很多，具体表现在以下几个方面：线段的中点，三角形的中线，全等三角形中的倍长中线法，等腰三角形中的三线合一，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，平面直角坐标系中中点坐标公式，中位线，圆中的垂径定理，相似中的重心等等。这些概念都有可能在中考中遇见，这不仅考查学生对基础概念知识的了解情况，也对学生的数学能力提出了一定要求。中点问题本身也属于平面几何证明题的一种，学生需要具备良好的逻辑推理能力，同时能够在解题过程中构造辅助线，强化自身的创新意识。新时期，教师也要有意识的培养学生的几何直观意识，为学生数学核心素养的成长奠定良好的基础。

从过往的教学经验来看，添加辅助线是中点问题常见的解题方法，虽然没有固定的方法，但却有规律可循，教师要在教学时，引导学生深入挖掘题设，让学生能够抓住特定条件的本质特征，找到已知条件和未知条件之间的必然联系，强化自身的创新意识，借助图形解题法，合情合理的进行推理，强化数学思维。总的来说，中点问题几乎贯穿了平面几何，除了辅助线解题法之外，还可以考虑中位线解题法，可以帮助学生清晰的判断数量关系和位置关系。另外，中点问题较为分散，会衍生出不同几何图形的种种变化，借助多元化的解题方式和解题思路，解决平面几何中的中点问题。在实际解题过程中，学生要学会借助不同的方式转化条件、制造联系，从而快速的解决问题。

二、中点问题的解题案例分析

中点是中考中的重点考察内容之一，下题为北京市中考数学试卷中出现的又见中点相关试题，作为经典的中点考核题目，具体内容如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE，连接BE，DE。求解：∠BAE与∠CAD谁大，并且用等式表示线段BE、BM、MD之间的数量关系，同时，还要证明过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系。

解题：

因为AB=AC，M为BC中点

可得∠CAM=∠BAM，∠AMC=90°

由MN⊥AB于K，可得∠AKM=∠AMC=90°。

考虑到Rt△AKM和Rt△AMC内角和相等，

可得∠AMK=∠C=∠ADE。

易证△ADF∽△NMF，

又∠AFM=∠DFM，于是可得△AFN∽△DFM.

可得∠ANF=∠DMF=90°，

易得AN为等腰△ADE的中线，得NE=ND。

三、中点问题的解题策略分析

中点问题作为近几年來的几何压轴题，重点考察学生的数学素养和综合应用能力，在不同题目上考察的内容各不相同，也对初中数学教学提供了一定的指导。

（一）中位线解题策略

在平面几何相关的考题中，以圆、三角形等数学核心知识，虽然综合性较强，难度较大，但解题方式很多，根据不同的解题方法选择，产生的效果也各不相同。这就需要教师在教学过程中，充分把握住课程标准，强化能力培养，让学生充分掌握基础知识和基本技能，保证每个学生都可以得到良好的发展。从中点这一专题中的试题情况来看，大多具有多种不同的解题方法，学生选择的方式不同，解题速度快慢不同。中点对于大部分学生而言，是非常熟悉的内容，辅助线是最常见的解题策略，构造中位线是最常见的一种，上述案例中也是通过构造中位线，制造出相应的两平行关系，从而完成具体的解题。一般情况下，中位线法主要应用在题目条件中出现了中点，就可以利用另一边的重点，构造出相应的中位线。中位辅助线法有两种不同的取证手段，分别为等量关系和平行关系，上述案例中采用的是等量关系。而在平行关系中，也可以通过平行关系下的相关概念定理完成解题。

（二）中线加倍解题策略

近几年来，各地区的中考试题中的平面几何考察知识点、考察能力都发生了极大的变化，除了学生的基础知识能力之外，更重视学生的综合性和实际应用能力。除了中位线解题策略之外，还可以采用中线加倍的辅助线策略，需要结合条件中的三角形中线，将中线延长，构造出全等三角形，将条件进行下一步转化，更好的完成解题。以中点问题为例，在教学过程中，还可以借助2倍角转化和高线对称法等最常见的辅助线解决策略，分析决策问题，主要考察的学生平面几何能力以及图形结合的的掌握情况，让学生认识到中点知识的重要性。除了辅助线之外，在实际解题过程中，还要充分考虑到其中存在的问题和具体条件，完成相应的解题。

综上所述，在初中数学教学中，教师要设计出多元化、全面性的课堂空间，从而让学生主动的投入到教学活动中。从目前中考试题来看，每一问都包含了多种解题方法，考察学生快速调取知识、合理选择方法的能力。实际上，就是在要求强化对学生核心素养培养，让学生在知识应用中形成经验，真正实现教育教学。

参考文献：

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